湖南省衡阳市四校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市四校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．分式与的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
3．最薄的金箔的厚度为，用科学记数法表示为（ ）．
A．B．C．D．
4．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ）
A．金额B．数量C．单价D．金额和数量
5．分式有意义的条件是（ ）
A．B．C．D．
6．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以每小时80千米/小时的速度用了6小时，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v = 80tB．v =C．v =D．v =6－
8．如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ）
A．缩小为原来的B．不变
C．扩大到原来的3倍D．扩大到原来的9倍
9．解分式方程，去分母后，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．某施工队挖一条的渠道，开工后，每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共8小题）
11．约分： ．
12．计算3-2的结果是
13．若分式的值为零，则的值为 ．
14．在边长为的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积（）与圆的半径（）之间的函数表达式为 （不要求写自变量的取值范围）．
15．若分式方程无实数解，则
16．下图是关于变量，的计算程序，若开始输入的值为，则最后输出因变量的值为 ．
17．某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知类器材比类器材的单价低10元，用150元购买类器材与用300元购买类器材的数量相同，若设类器材的单价为元，则可列方程 ．
18．若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
19．（1）计算：；
（2）化简：．
20．解分式方程：
21．先化简，再求值：，并从0，1，3中选一个合适数代入求值．
22．如图，点在数轴上，它们所表示的数分别是，且点到原点的距离相等．求的值．
23．王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为．
(1)分别求出，与x之间的关系式；
(2)王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由．
24．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______或填为______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请你写出该分式化简后的正确过程及结果．
25．“四方食事，不过一碗人间烟火”，地摊经济、小店经济是另一类就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用360元购进型玩具的数量比用100元购进型玩具的数量多20个，且型玩具单价是型玩具单价的2倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
(2)该经营者准备用1022元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
26．如图， 在长方形中， ，点 是对角线 的中点．动点 从点出发，沿方向以的速度向点 匀速运动；同时动点从点出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延长交于点 ， 连接 并延长交 于点， 设运动时间为 ． 解答下列问题：
(1) 的长为 ， 的长为 ；
(2)当 为等腰直角三角形时，求的值；
(3)设四边形 的面积为 求与之间的关系式．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据分式的定义逐项判断即可．
【详解】因为是单项式，所以A不符合题意；
因为是单项式，所以B不符合题意；
因为是分式，所以C符合题意；
因为是多项式，所以D不符合题意．
故选C．
2．【答案】A
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式与的最简公分母是
故选A．
3．【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可．
【详解】解：，
故选C．
4．【答案】D
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选D．
5．【答案】A
【分析】分式有意义的条件：当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．据此可得，求解即可获得答案．
【详解】解：依题意得：，
解得．
故选A．
6．【答案】B
【分析】根据二次根式的非负性列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意，，
解得：，
故选B．
7．【答案】B
【分析】先求得路程，再由等量关系“速度=路程÷时间”列出关系式即可．
【详解】解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6=480千米，
∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v =．
故选B．
8．【答案】B
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：把中的与都扩大3倍，得．
故选B．
9．【答案】C
【分析】方程两边都乘3x去分母即可判断．
【详解】解：分式两边同时乘3x得，
故此题答案为C．
10．【答案】A
【分析】根据“每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务”列方程求解．设原计划每天挖，根据“每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务”可列出方程．
【详解】解：设设原计划每天挖，根据题意得：
2
故此题答案为A．
11．【答案】
【分析】直接将分子与分母约去公因式即可．
【详解】解：
12．【答案】
【分析】直接运用负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：
13．【答案】
【分析】根据且，计算即可．
【详解】解：分式的值为0，
故且，
解得
14．【答案】
【分析】剩下铁皮的面积正方形的面积圆的面积．据此求解即可．
【详解】解：依题意得．
15．【答案】4
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解；原方程去分母，解整式方程求得x，再根据分式方程无解可得的值．
【详解】解：分式方程去分母，得，
整理得：，
当，即时，分式方程无解，
把代入，得，
解得：
16．【答案】
【分析】根据程序流程图，按照要求，当开始输入的值为6时，代入计算即可．
【详解】解：由题意可得，当时，，
输出
17．【答案】
【分析】设B类器材的单价为x元，则A类器材的单价是元，根据150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同列出方程即可．
【详解】解：设B类器材的单价为x元，则A类器材的单价是元，由题意得
18．【答案】8
【分析】先求出不等式组的解集，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴，
∵不等式组至少有4个整数解，即，0，1，2，
∴，
解得：，
根据分式方程解得：，
∵分式方程解为非负数，
∴且，
解得：且，
∴a的范围是且，
则整数解为，0，2，3，4,
整数a的值之和为．
19．【答案】（1）3；（2）1
【分析】（1）先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再加减即可；
（2）根据分式的乘除混合运算解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】x＝2
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
【详解】解：去分母得：2﹣x＝x﹣3+1，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
21．【答案】，当时，原式的值为.
【分析】此题可先对分式进行加减乘除运算，然后再将能使分母不为0的数代入进行求解即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴当时，则原式．
22．【答案】
【分析】根据列出方程，再解出方程，即可求解．
【详解】解：由题意，得．
去分母，得，
解得．
检验∶当时，，
∴是原方程的根，
的值是．
23．【答案】(1)，
(2)买25个练习本到乙商店购买更优惠，见解析
【分析】（1）根据甲、乙两个商店的优惠方案写出关系式即可；
（2）把分别代入两个关系式求出费用，再比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
，
；
（2）解：买25本练习本，
甲商店的费用为（元）
乙商店的费用为（元）
因为44＞42.5，
所以买25个练习本到乙商店购买更优惠．
24．【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变
②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
任务二：过程见解析，
【分析】任务一：①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；
②根据去括号法则进行分析判断；
任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算；
任务三：结合分式的化简求值要求，异分母分式加减法运算法则进行分析解答．
【详解】解：解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，
故答案为：三，分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；
②第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：五；去括号时，括号前面是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：原式
．
25．【答案】(1)型玩具的单价是8元，型玩具的单价是4元
(2)则最多可购进型玩具55个
【分析】（1）设型玩具的单价是元，则型玩具的单价是元，根据A，B型玩具的数量关系列出分式方程求解；
（2）设购进型玩具个，则购进型玩具个，根据总价不超过1022元列出一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：设型玩具的单价是元，则型玩具的单价是元，
由题意，可列方程，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：型玩具的单价是8元，型玩具的单价是4元；
（2）解：设购进型玩具个，则购进型玩具个，由题意得，
，
解得，
整数最大值为55．
答：则最多可购进型玩具55个．
26．【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形到现在列方程即可得到结论；
（3）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，证明，根据长方形的面积的面积的面积，即可得到结论．
【详解】（1）解： ，
（2）四边形是长方形，
，
，
点是对角线的中点，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
；
（3）四边形是长方形，
，
，
，，
，
由（2）知，，
又∵
，
同理，
长方形的面积的面积的面积
，
即与之间的关系式为．
金额
数量/升
单价/元