湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年八年级下学期 数学3月月考试卷（含解析）

这是一份湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年八年级下学期 数学3月月考试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1. “草色青青柳色黄，桃花历乱李花香”是唐朝诗人贾至描写春天的诗句．桃花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
的值为，
故选：B．
2. 下列分式中是最简分式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键．
直接利用最简分式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.是最简分数，故此选项符合题意；
B．则原式不是最简分式，故此选项不合题意；
C. ，则原式不最简分数，故此选项不合题意；
D．，则原式不是最简分数，故此选项不合题意．
故选：A．
3. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的求解，注意每一项都乘，即可求解；
【详解】解：两边同乘后的式子为：，
故选：D
4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标，由第四象限的点的特点，可得，解之可得m的取值范围．
【详解】解：因为点在第四象限，
所以，；
解得m的取值范围是：．
故选：B．
5. 若分式的值为零，则的值为（ ）
A. 2或B. 2C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，利用平方根的含义解方程，解题的关键是掌握分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0．根据分式的值为零的条件可得分子为0，分母不为0即可求解．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
解得．
故选B．
6. 若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值（ ）
A. 扩大到原来的倍B. 扩大到原来的倍
C. 缩小为原来的D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的7倍，就是用分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系．
【详解】解：由题意得：，
∴若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值不变，
故选：D．
【点睛】本题考查分式基本性质，解答本题的关键是明确分式的基本性质的含义．
7. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设这批椽有x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这批椽有x株，根据题意得：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
8. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．
【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，
所以对应图象第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故选：D．
9. 若且，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据且，得到a,b的取值范围，再根据一次函数的图像即可求解.
【详解】解：∵，且，
∴a＞0，b＜0.
∴函数的图象经过第一、三、四象限．
故选A．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知不等式的性质及一次函数的图像.
10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为（ ）
A. 3B. 4C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解．
【详解】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
，，
，
在中，，，
，
，
．
故选B．
二、填空题（共8题，每小题3分，共24分）
11. 一次函数的图象向上平移1个单位长度后，则函数解析式变为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
直接利用一次函数平移规律“上加下减”进而得出即可．
【详解】解：一次函数的图象向上平移1个单位长度后，函数解析式变为．
故答案为：．
12. 在函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零是解答本题的关键．
根据被开方数是非负数且分母不等于零，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13. 已知点、都在直线上，则_____（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据可得随的增大而增大，据此即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而增大，
∵点、都在直线上，，
∴．
故答案为：
14. 在第三象限内，点到轴距离为5，到轴的距离为2，则点坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查直角坐标系，解题的关键是熟知点的坐标的几何意义．根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵点到轴距离为5，到轴的距离为2，
∴，
∵点在第三象限内，
∴，
∴点坐标为。
故答案为：
15. 若是关于的一次函数，则的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的解析式的形式的记忆，熟记一次函数解析式的形式，特别是对系数的限定是解本题的关键．
根据一次函数的定义，形如的式子是一次函数解答．
【详解】解：∵是关于的一次函数，
∴，且，
解得：．
故答案为：0
16. 直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查两条直线相交或平行问题，解题的关键在于确定k的值．
根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据直线相交于点，计算求出b，即可得解．
【详解】∵直线与直线平行，
∴，
∵直线与直线相交于点，
∴，
∴直线的解析式为．
故答案为：
17. 若关于的分式方程有增根，则的值_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值．
【详解】方程变形得：，
去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-2，
∵方程有增根，
∴x=2，即a-2=2，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18. 在平面直角坐标系中，正方形、正方形、正方形、正方形、…、正方形按如图所示的方式放置，其中点，，，，…，均在一次函数的图象上，点，，，，…，均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标规律题，正方形的性质、用待定系数法求函数解析式、根据正方形的性质可得的坐标为，的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式为，分别求得、，总结规律，即可求解．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴正方形的边长为1，正方形的边长为2，
∴的坐标为，的坐标为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，点的坐标为，
∴的纵坐标是1，的纵坐标是2，
在直线中，令，则，
∴的坐标为，
∴正方形的边长为4，
则的横坐标是，的纵坐标是，
据此可得的纵坐标是，横坐标是，
即的坐标为，
故答案：．
三、解答题（共8题，共66分）
19. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，乘方，绝对值的含义，先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，绝对值，再合并即可．
【详解】解：
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了解分式方程．先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：
∴，
解得：，
当时，，
∴原方程的解为．
21. 先化简，然后在、1、0、2025四个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的化简求值，掌握“分式的除法运算”是解本题的关键．
先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，由分式有意义得出符合条件的x的值，代入求解即可．
【详解】解：
，
根据题意得：且，
∴且，
当时，原式．
22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）设直线的解析式为，把点与点代入直线解析式进行求解即可；
（2）设点的坐标，由B（0，-4），可得OB=4，再由，即可得到，由此求解即可．
【详解】解：（1）设直线的解析式为：，把点与点代入得：
，
，
直线的解析式为；
（2）设点的坐标，
∵B（0，-4），
∴OB=4，
∵，
，
，
点的坐标为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式．
23. 在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）．
（1）若点与点关于原点对称，则点的坐标为________．
（2）线段的长为________．
（3）请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）见详解，19
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、关于原点中心对称的点的坐标特征、勾股定理、求三角形面积等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征“将原坐标的横纵坐标都取相反数”，即可获得答案；
（2）根据，，利用勾股定理求解即可；
（3）首先在图中表示出、、三点，顺次连接，然后利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：点与点关于原点对称，则点的坐标为．
故答案为：；
【小问2详解】
∵，，
∴．
故答案为：；
【小问3详解】
在图中表示出、、三点，顺次连接，如下图所示，
由图可知，．
24. 新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，购买A种消毒液花费了5000元，购买B种消毒液花费了4000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．
（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？
（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中A、B两种消毒液准备购买共60桶且购买A种消毒液数量不多于购买B种消毒液数量，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，A种消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B种消毒液按第一次购买时售价的9折出售，那么学校此次如何购买消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）购买一桶A种消毒液需50元，购买一桶B种消毒液需80元；
（2）学校此次购买30桶A种消毒液，30桶B种消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少，最少费用是3780元．
【解析】
【分析】（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，根据数量=总价÷单价结合用5000元购买A种消毒液的数量是用4000元购买B种消毒液数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校此次购买了m桶A种消毒液，则购买了（60-m）桶B种消毒液，费用为y元，依题意得：y=-18m+4320，再由题意：购买A种消毒液数量不多于购买B种消毒液数量，得m≤60-m，解得m≤30，然后由一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，
依题意，得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=80．
答：购买一桶A种消毒液需50元，购买一桶B种消毒液需80元；
【小问2详解】
解：设学校此次购买m桶A种消毒液，（60-m）桶B种消毒液，费用为y元，
依题意，得：y=50×（1+8%）m+80×0.9×（60-m）=-18m+4320，
∵m≤60-m，
∴m≤30，
∵-18＜0，
∴y最m的增大而减小，
∴当m=30时，y的值最小=-18×30+4320=3780（元），
此时60-m=30，
答：学校此次购买30桶A种消毒液，30桶B种消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少，最少费用是3780元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，，所以是的“分裂分式”．
（1）填空：分式________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
（2）分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值．
（3）若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值．
【答案】（1）是 （2）整数的值为，1或3，分式的值是正整数，此时分式的值分别为1，5或3
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“分裂分式”的定义进行判断即可；
（2）根据“分裂分式”的定义，可得，从而得到，再由分式的值是正整数，即可求解；
（3）设关于的分式的“分裂分式”为M，根据“分裂分式”的定义，可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：因为，，所以是的“分裂分式”；
故答案为：是
【小问2详解】
解：∵分式是分式的“分裂分式”，
∴，
解得：，
∵，分式的值是正整数，
∴整数x的值为，1或3，
此时分式的值分别为1，5或3；
【小问3详解】
解：设关于的分式的“分裂分式”为M，
∴，
∴
，
∵关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，
∴
∴
整理得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
（1）点的坐标是________，的长为________；
（2）求直线的解析式；
（3）点是轴上一动点，若，请求出点的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；5
（2）
（3）或
（4）或或
【解析】
【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长；
（2）由折叠的性质可得到，，可得D的坐标，设，则，然后在中，依据勾股定理即可求解；
（3）设点M的坐标为，则，根据，建立方程求解即可；
（4）分三种情况：若；若，；若，，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可．
【小问1详解】
解：对于，
当时，，
∴点B的坐标为；
即，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
即，
∴；
故答案为：；5
【小问2详解】
解：由折叠的性质得：，，
∴，
∴点D的坐标为，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
解：设点M的坐标为，则，
∴，
∵，，
∴，
解得：或16，
∴点M的坐标为或；
【小问4详解】
解：存在，理由如下：
若，如图，过点P作轴于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
此时点P的坐标为；
若，，如图，过点P作于点H，
同理，
∴，
此时点P的坐标为；
若，，如图，过点P作轴于点M，轴于点N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点P的坐标为，
∴，
解得：，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．