湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年上学期12月月考八年级 数学试卷（含解析）

这是一份湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年上学期12月月考八年级 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列选项中是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．2B．C．5D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．9B．C．12D．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．所有定理都有逆命题
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．同位角相等
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
7．如图，点分别在线段上，与 相交于点， 已知，现添加以下的哪个条件仍无法判定的是（ ）

A．B．
C．D．
8．如图，中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．25°C．30°D．35°
9．勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（ ）
A．8B．4C．2D．34
10．如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从C运动到B的过程中，周长的变化规律是（ ）
A．先变大后变小B．不变C．先变小后变大D．一直变小
二、填空题（本大题共8小题）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．若a，b为实数，且．则的值是 ．
13．若，，则 ．
14．若是完全平方式，则m的值为 ．
15．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ．
16．如图，在等边三角形中，BD是边上的高，延长至点，使，则的长为 ．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是 ．
18．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．其中结论正确的是 ．（填序号）
①；②若，则；③；④．
三、解答题（本大题共8小题）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中，．
21．如图，点在上，，，且．
(1)求证：．
(2)求证：．
22．在中，AD平分，于点，点在上，．

(1)求证：．
(2)若，求CF的长．
23．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求的值．
(3)在（2）的条件下，把多项式因式分解．
24．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形， 那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”．
(1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证AD是的双腰分割线．
(2)如图2，已知中，，AD是的双腰分割线，且，求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．
25．如图，在长方形中，点M在AD上，，，过点B作射线（与CD在AD同侧），若动点P从点B出发，沿射线匀速运动，运动速度为秒，设点P的运动时间为秒．
(1)当_________秒时，；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)连接，是否存在某个的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
26．【观察探索】
（1）如图1，中，，．连接延长线与交于点．
①________________（用含的式子表示）；
②猜想和的数量关系，并给出证明．
【应用拓展】（2）如图2，在和中，，连接的延长线交于点，当于点时，求证：．
参考答案
1．【答案】C
【分析】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答．
【详解】解：A、是小数，小数是有理数，故本选项错误；
B、是分数，分数是有理数，故本选项错误；
C、是无理数，故本选项正确；
D、，3是有理数，故本选项错误．
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】根据幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数乘法和除法运算法则，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意；
B. ，本选项运算错误，不符合题意；
C. ，本选项运算错误，不符合题意；
D. ，本选项运算正确，不符合题意．
故此题答案为D．
3．【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式法则，可知，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴．
故此题答案为A．
4．【答案】B
【详解】解：A、，该选项分解错误，不合题意；
B、，该选项分解正确，符合题意；
C、，该选项分解错误，不合题意；
D、，该选项分解错误，不合题意；
故此题答案为B．
5．【答案】C
【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算法则计算即可．
【详解】解：．
故此题答案为C．
6．【答案】A
【分析】由命题逆命题的概念，同位角的定义，三角形外角的性质，轴对称图形，中心对称图形的定义，即可判断．
【详解】解：A、定理也是命题，有逆命题，正确，故A符合题意；
B、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故B不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故C不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故此题答案为A．
7．【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定条件逐项排除即可．
【详解】解：∵∠A=∠A,AB=AC
∴A. 添加，符合SAS，可以证明；
B. 添加，符合ASA，可以证明；
C. 添加,为SSA，不可以证明；
D. 添加，符合AAS，可以证明；
故此题答案为C．
8．【答案】A
【分析】首先根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合易得，然后根据求解即可．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故此题答案为A．
9．【答案】C
【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为，
∴，
∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积，
∴正方形B的面积是，
∴正方形B的边长是2，
故此题答案为C ．
10．【答案】C
【分析】由“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
则周长为，
在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小，
在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大，
故此题答案为C．
11．【答案】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
12．【答案】
【分析】利用非负性求出、的值．首先根据题意，可得：，，据此分别求出、的值，然后把、的值代入计算即可．
【详解】解：，为实数，且，
，，
，，
=1．
13．【答案】
【分析】根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：∵，，
∴
14．【答案】
【分析】注意：完全平方式有两个分别是和．根据完全平方式得出，即可求出答案．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
15．【答案】或
【分析】分情况讨论这个的角是顶角还是底角．
【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为；
若的角是底角，则顶角是，
综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或．
16．【答案】
【分析】根据题意可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵在等边三角形中，BD是边上的高，
∴，
又∵，
∴
∴
17．【答案】2
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积=
18．【答案】①②③④
【分析】根据三角形内角和可判断①；延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质，可判断②；作的平分线交于点G，可得，证明，，可得，，可判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，可判断④．
【详解】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④
19．【答案】
【分析】首先根据乘方运算法则、算术平方根运算法则、立方根运算法则和绝对值的性质进行运算，再去括号，然后相加减即可．
【详解】解：原式
．
20．【答案】，2
【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，再去括号、合并同类项，然后根据多项式除以单项式法则完成化简，将，代入求值即可．
【详解】解：原式
，
因为，，
所以，原式
．
21．【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）首先证明，然后利用“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，结合“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
22．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明．
（2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：设，则，，
∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，即，
解得，即．
23．【答案】(1)
(2)的值为，的值为0
(3)
【分析】（1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可获得答案；
（2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案；
（3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后进行因式分解即可．
【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式，
∴当时，可有，
解得；
（2）∵和是多项式的两个因式，
∴可有，整理可得，
解得，即的值为，的值为0；
（3）由（2）可知，的值为，的值为0，
∴多项式为，
∴．
24．【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，可得，由外角的性质可得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（3）过点作于点，由勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：线段的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条双腰分割线；
（2）解：是三角形的双腰分割线，且．
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，
，
，
中，，
∴．
25．【答案】(1)
(2)见解析
(3)为秒或秒或秒
【分析】（1）根据题意求出，由，当时，，即可解答；
（2）根据，推出，结合，即可得到，进而求出，即可证明；
（3）先利用勾股定理求出，再根据是等腰三角形，分，三种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴当时，；
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，t的值为秒或秒或秒，理由如下：
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
当时，则是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴；
当时，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，存在t的值为秒或秒或秒时，是等腰三角形．
26．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）①根据全等三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可；
②过点作交延长线于点，先证明，得出，证明，得出即可；
（2）连接，过A作，交延长线于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出即可．
【详解】解：（1）①∵中，，
∴，，
∴，
∴；
②，理由如下：
过点作交延长线于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【应用拓展】（2）连接，过A作，交延长线于点，如图所示：
，
为等腰直角三角形，，
，
在和中，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
又于点，
，
在和中，
，
，
．