安徽省亳州市蒙城县联考2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省亳州市蒙城县联考2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了、选择题，、填空题等内容，欢迎下载使用。
一 、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 若，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．二次根式有意义的条件是，据此判断各选项即可得到答案．
【详解】解：A、有意义的条件是，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意；
B、 有意义的条件是，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意；
C、有意义的条件是，所以时二次根式一定有意义，符合题意；
D、有意义的条件是 ，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意．
故选：C．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂时2次的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、整理后不含二次项，不一元二次方程，不符合题意；
D、含有2个未知数，不符合题意；
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，不能合并，选项计算错误；
B、，不能合并，选项计算错误；
C、，选项计算正正确；
D、，选项计算错误；
故选C．
4. 若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键．
【详解】解：
∵一元二次方程化成一般式为，
故选：A．
5. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：．
6. 解方程，选择相对合适的方法是（ ）
A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项变形，再提取公因式即可求解．
【详解】解：，
，
，即，
∴最合适的方法是因式分解法，
故选：D．
7. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间
C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，先根据二次根式的混合运算法则计算，再估算出，即可得解．
【详解】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴估计的值应在6和7之间，
故选：C．
8. 已知是实数，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式定义，代数式求值．根据题意利用二次根式定义即可求出，再将结果代入中即可．
【详解】解：∵有意义，
∴,
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，原式变形后计算即可求出值．
【详解】解：设a＝，
原式＝（1﹣a）（a+）﹣（1﹣a﹣）×a
＝a+﹣a2﹣﹣a+a2+
＝．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10. 若实数满足，则方程根情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 有一个实数根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：B．
二 、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 若与最简二次根式可以合并，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可．
【详解】解：∵，且与最简二次根式可以合并，
∴，
∴；
故答案为：2．
12. 用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，进而可得答案．
【详解】解：
，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义，将它代入算出a值即可．
【详解】解：将代入方程得：
，
解得：或
由一元二次方程的定义知：
∴，
∴，
故答案为：2．
14. 若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．
（1）“优雅数”50的“优点”为______；
（2）的“优点”为的“优点”为，若，且，则的值为______．
【答案】 ① 8 ②. 25
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，掌握“优雅数”的定义，是解题的关键：
（1）根据“优点”的定义，进行求解即可；
（2）根据“优雅数”，“优点”的定义，结合推出，因式分解后，整体思想代入求值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴“优雅数”50的“优点”为8；
故答案为：8；
（2）由题意，得：，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：25．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式乘法，最后计算二次根式加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键；
（1）利用公式法解方程即可；
（2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【小问1详解】
解；∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
四、(本大题共2小题；每小题8分，满分16分)
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代值计算即可．
【详解】原式
；
∴当时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握平方差公式和完全平方公式，正确的进行计算，是解题的关键．
18. 已知是一元二次方程的一个根，求的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可．
【详解】解：由题意，将代入方程，
得，
∴，，
∴
，
∴的值为2．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 观察下列各式：．
（1）请根据规律直接写出结果：______；
（2）请根据以上等式规律，写出第个等式，并证明．
【答案】（1）
（2）第个等式为，（且为整数），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查二次根式运算中的规律问题：
（1）根据给定的等式，求解即可；
（2）根据给定的等式，写出相应的规律，根据二次根式的性质进行化简，证明即可．
【小问1详解】
解：∵
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
∵
∴，
证明如下：
．
20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）求物体从的高空落到地面的时间．
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
【答案】（1）
（2）；严禁高空抛物
【解析】
【分析】（1）根据公式，代入计算即可．
（2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
【小问1详解】
∵，,
∴．
【小问2详解】
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
对人构成伤害，
故严禁高空抛物．
六、(本题满分12分)
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根．
（2）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2）另一个根为2
【解析】
【分析】此题考查根的判别式、解一元二次方程，解题关键在于掌握根的判别式和一元二次方程的解法．
（1）要想证明不论取何值，方程有两个不相等实数根，只要证明即可；
（2）把方程的一根代入原方程求出k的值，然后把k的值代入原方程求出方程的另一个根．
【小问1详解】
证明：
∵，
∴，
∴不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
∵此方程的一个根为，
∴
解得
∴当时,一元二次方程为： ，
解得：
即方程的另一个根为2．
七(本题满分12分)
22. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是__________，分母有理化得_______．
（2）计算：
①当，，则________；
②________（且为整数）．
（3）根据你的推断，比较和的大小．
【答案】（1），；（2）①；②；（3）
【解析】
【分析】（1）先找出各式的有理化因式，然后再进行分母有理化计算即可；
（2）①先求出a+b与ab，再将原式分解因式后整体代入计算即可得到结果，
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果；
（3）先求它们的倒数，进行分母有理化，比较它们倒数的大小，再确定原数的大小即可．
【详解】解：（1）根据平方差公式的有理化因式可以是，
根据平方差公式有理化分母为，，
故答案为：，；
（2）①∵，，
∴，，
则；
故答案为
②，
=，
=，，
=，
=，
故答案为：；
（3），
，
，即，
．
【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
八、(本题满分14分)
23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“连根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值；
（3）若关于的方程（是常数）是“连根方程”，请直接写出之间满足的关系式．
【答案】（1）是连根方程
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，掌握“连根方程”的定义，是解题的关键．
（1）因式分解法解方程，根据“连根方程”的定义，进行判断即可；
（2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系进行求解即可；
（3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，解得：，
∵，
∴是连根方程；
【小问2详解】
∵方程（是常数）是“连根方程”，
设的两个根为，
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小问3详解】
方程（常数）是“连根方程”，
设方程的两个根为：，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
故．