安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

这是一份安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试题满分：150分）
一、单选题（共40分）
1. 自行车支架一般都会采用如图设计．这种方法应用的几何原理是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短
C. 三角形的稳定性D. 垂线段最短
2. 下列函数①；②；③；④中，是y关于x的一次函数的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点 ，“車”位于 ，则“炮”位于点 ( )
A. B. C. D.
4. 在中作边上的高，下列画法正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度后得到的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 垂线段最短D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
7. 如图，在与中，点在上，，，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 下列各图象中，是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
9. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（共20分）
11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：_____．
12. 若一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是__________．
13. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换：
①②，例如按照以上变换有：；．则________．
14. 已知等腰中，，直线l经过点C，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，，则_______．
三、解答题（共90分）
15. 已知与成正比例，当时，．
（1）写出与之间的函数关系式．
（2）当时，求函数值．
16. 如图，在中，于点平分．若，求的度数．
17. 已知点，解答下列各题：
（1）若点在轴上，求点的坐标；
（2）若，且∥轴，求点的坐标．
18. 如图，点在同一直线上，点在直线同侧，
（1）证明：．
（2）若，求的度数．
19. 如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中．
（1）“岭”和“船”的坐标依次是________________；
（2）将第2行与第3行对调（由下往上数），再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为_______和_______；
（3）“泊”开始坐标是2,1，使它的坐标变换到，应该哪两行对调（由下往上数），同时哪两列对调?
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点．
（1）求的面积；
（2）直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P坐标．
21. 综合与实践
【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程；
*请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至．已知的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于，求的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知．
22. 某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案．
23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，，，，连接，DE，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”）
2024-2025学年度第一学期八年级阶段质量诊断
数学试题卷
（试题满分：150分）
一、单选题（共40分）
1. 自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短
C. 三角形的稳定性D. 垂线段最短
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性．
【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故选：C．
2. 下列函数①；②；③；④中，是y关于x的一次函数的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
根据一次函数的定义进行判断作答即可．
【详解】解：①中，是一次函数，正确，故符合要求；
②中，不是整式，不是一次函数，错误，故不符合要求；
③中，是一次函数，正确，故符合要求；
④中，不是一次函数，错误，故不符合要求；
故选：B．
3. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点 ，“車”位于 ，则“炮”位于点 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系和点坐标，根据棋子的位置确定坐标系的原点，进而判断即可．
【详解】解：在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点，“車”位于点，
则原点位于“将”向左平移一个单位，再向上两个单位的位置，
“炮”坐标是，
故选：B．
4. 在中作边上的高，下列画法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高的概念，解题的关键是正确作三角形一边上的高；作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【详解】解：过点作边的垂线段，即画边上的高，
所以画法正确的是C选项；
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度后得到的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可．
【详解】解：将函数的图象向左平移3个单位长度，所得函数图象的表达式是，即为，
故选：A．
6. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 垂线段最短D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查命题真假的判断，平行线与相交线的相关性质，掌握平行线与相交线的相关性质是解题的关键．根据平行线与相交线的相关性质进行判断即可．
【详解】解：命题：对顶角相等；垂线段最短；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，都是真命题；而命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则是假命题；
故选：B．
7. 如图，在与中，点在上，，，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴；
故选C．
8. 下列各图象中，是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的概念，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．对函数概念的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意事项：判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与其对应；函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．函数的意义反映在图象上一个简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
根据函数的概念逐项分析判断即可．
【详解】解：A、根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项符合题意；
B、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意；
C、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意；
D、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意；
故选：．
9. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形判定和性质、角平分线的定义等知识．用证明，则，即可得到解答．
【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是，
证明如下：
由题意得，，
在和中，
，
∴，
∴，
即为的平分线．
故选：A．
10. 如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和以及角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键．
根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，
，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．
【详解】解：在中，，
，
分别平分，
，
，
∴，故结论①正确；
，
又∵，
，
，
，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴，故结论③正确；
又∵，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是4个．
故选：D．
二、填空题（共20分）
11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：_____．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可．
【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
12. 若一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据一次函数的图象在坐标平面内的位置关系确定各系数的取值范围，从而求解．
【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得，；
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换：
①②，例如按照以上变换有：；．则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题一种新型运算方式，解决的关键是理解相关定义，难点是确定运算顺序．
先根据，计算，然后根据进一步化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
即，
故答案为：．
14. 已知等腰中，，直线l经过点C，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，，则_______．
【答案】或##2或28
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，分两种情况讨论：点，在直线的同侧和点，在直线的异侧．
【详解】如图①，点，在直线的同侧．
∵，，，
∴．
∴，．
∴．
在和中
∴．
∴，．
∴．
如图②，点，在直线的异侧．
∵，，
∴．
∵，
∴．
在和中
∴．
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（共90分）
15. 已知与成正比例，当时，．
（1）写出与之间的函数关系式．
（2）当时，求函数值．
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值或函数值，正比例函数的定义：
（1）根据题意可设设，再利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中求出y的值即可．
【小问1详解】
解：∵与成正比例，
∴可设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：在中，
当时，．
16. 如图，在中，于点平分．若，求的度数．
【答案】59°
【解析】
【分析】本题考查了垂线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理．理解相关知识是解答关键．
由垂线的性质和求出，进而得到，结合角平分线的性质得到的度数，再利用三角形内角和定理求解．
【详解】．解：，
，
．
．
平分，
．
．
17. 已知点，解答下列各题：
（1）若点在轴上，求点的坐标；
（2）若，且∥轴，求点的坐标．
【答案】（1）点M的坐标为；
（2）点M的坐标为．
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，
（1）根据在轴上点的坐标的纵坐标为0，以此建立方程求解即可；
（2）根据轴可知，点M，N的横坐标相等，以此建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点在轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点M的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点N的坐标为，直线轴，
∴，
解得，
∴，
∴点M的坐标为．
18. 如图，点在同一直线上，点在直线的同侧，
（1）证明：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）通过证明，即可作答．
（2）先由三角形内角和性质得出，再结合得出，最后运用三角形内角和性质得出，即可作答．
【小问1详解】
解：，
∴，
，
，
．
【小问2详解】
解：，
．
，
．
．
19. 如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中．
（1）“岭”和“船”的坐标依次是________________；
（2）将第2行与第3行对调（由下往上数），再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为_______和_______；
（3）“泊”开始的坐标是2,1，使它的坐标变换到，应该哪两行对调（由下往上数），同时哪两列对调?
【答案】（1），
（2）；
（3）应该第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调
【解析】
【分析】本题考查了坐标确定位置，点的坐标是前横后纵，中间逗号隔开，注意行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化．
（1）根据平面直角坐标系内点的坐标是：前横后纵，中间逗号隔开，可得答案；
（2）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案；
（3）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案．
【小问1详解】
解：“岭”的坐标是，“船”的坐标是，
故答案为：；；
【小问2详解】
将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为和．
故答案为：；；
【小问3详解】
“泊”开始的坐标是2,1，使它的坐标变换到，第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点．
（1）求的面积；
（2）直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）16 （2）2,0或
【解析】
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键．
（1）当时，可求；当时，可求B4,0，则，计算求解即可；
（2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标．
【小问1详解】
解：当时，，即；
当时，，
解得，，
∴B4,0，
∴，
∴的面积为16；
【小问2详解】
解：联立，
解得，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴点坐标为2,0或．
21. 综合与实践
【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程；
*请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至．已知的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于，求的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案
（2）先推导出，再推导出，进而可以求解
（3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解
详解】解：（1）如图，
∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
（2）如图，
∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，
∴，
∴；
∴；
（3）延长，交于点M，延长、交于点N，
如图所示，
∵、平分
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键．
22. 某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案．
【答案】（1）与之间的函数表达式为：
（2）与乙种产品进货量之间的函数表达式为：
当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元．
【解析】
【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式．
（2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案．
【小问1详解】
解：（1）当时，设，根据题意可得，，
解得：；
．
当时，设，
根据题意可得，，解得：，
．
与之间的函数表达式为：．
【小问2详解】
根据题意可知，购进甲种产品千克，
，解得．
当时，，
，
随值的增大而减小．
当时，的最大值为元；
当时，，
，
随值的增大而增大．
当时，的最大值为元，
综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：，
当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数表达式、一次函数在利润问题中的应用，能够根据图像信息求出分段函数的表达式，利用乙产品进货量的范围求出总利润的函数表达式，并结合取值范围及一次函数增减性求得最值是解决本题的关键．
23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，，，，连接，DE，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”）
【答案】（1），，（2）见解析，（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）根据全等三角形性质可直接进行求解；
（2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题；
（3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为，
（2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可知，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点是的中点；
（3），理由如下：
如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于
∵四边形与四边形都是正方形
∴，，
∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
同理可以证明，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴即，
故答案为：．