安徽省亳州市蒙城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省亳州市蒙城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若成立，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
4. 下列长度的线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 一元二次方程解是（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
6. 一个多边形的内角和与外角和之和是，则这个多边形的边数是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
7. 的三个角的关系为，则是（ ）
A. 等边三角形B. 以AC为斜边的直角三角形
C. 以为斜边的直角三角形D. 不确定
8. 一元二次方程有实数根，则取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
9. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 两个城市需要从临近的一条河流引入水源，通过数学方法，建立了平面直角坐标系，如图所示，单位长度为，轴为河流，城市的坐标为，城市的坐标为，现在要在轴（河流）上建造一座供水站分别向城市供水，使得输水管道总长度最小，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________．
12. 如图，的三条边，，，，则______．
13. 已知是方程的两个实数根，那么的值为______．
14. 若方程的两个不相等的实数根，恰好是一个直角三角形的两条边长，则此直角三角形的第三条边长是______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 解方程：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知是关于的方程的一个根．求方程的另一个根及m的值．
18. 观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）第5个等式：______；
（2）请写出第个等式，并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 下列网格中，每个小正方形的边长为1，请在网格中画出一个三边长分别为，，的三角形，求出它的面积．
20. 已知关于一元二次方程，求证：无论取何值，该方程一定有实数根，并用含有的代数式表示方程的根．
六、（本题满分12分）
21. 如图，中，，，，分别在上，且垂直平分，
（1）求证：；
（2）求的长．
七、（本题满分12分）
22. 某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．
（1）______；
（2）的长度为______m（用含有的代数式表示）；
（3）当长方形区域的面积为时，求的长度．
八、（本题满分14分）
23. 如图，点在四边形内部，且，，，，，
（1）求证：等边三角形；
（2）求的度数；
（3）求的长．
2023-2024年第二学期期中质量检测卷
八年级 数学 试题
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，正确理解最简二次根式的定义是解题关键．
根据最简二次根式的定义满足：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断即可．
【详解】解：不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
，是最简二次根式，故该选项符合题意；
，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：C．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式性质化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用二次根式的乘法，加法，减法进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、2与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D
3. 若成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据形如的式子叫作二次根式．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键．
【详解】根据成立，
故，
解得，
故选D．
4. 下列长度的线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，利用两个短边的平方和与最长的边的平方比较是解题的关键．
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此逐一计算后判定．
【详解】解：A．，不能组成直角三角形，该选项符合题意；
B． ，能组成直角三角形，该选项不符合题意；
C． ，能组成直角三角形，该选项不符合题意；
D． ，能组成直角三角形，该选项不符合题意；
故选：A．
5. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
把左边提公因式，用因式分解法求解即可．
【详解】
或
，，
故选：B．
6. 一个多边形的内角和与外角和之和是，则这个多边形的边数是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意，得，计算即可，本题考查了多边形的内角和和外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，
故选B．
7. 的三个角的关系为，则是（ ）
A. 等边三角形B. 以AC为斜边的直角三角形
C. 以为斜边的直角三角形D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且以AC为斜边的直角三角形，
故选：B．
8. 一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据一元二次方程的定义可得，方程有实数根，可得判别式的值大于或等于零，据此求解即可．
【详解】∵方程是一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且，
故选：C．
9. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键．
设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．根据等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染求解即可．
【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
列方程得：，
即．
故选：C．
10. 两个城市需要从临近的一条河流引入水源，通过数学方法，建立了平面直角坐标系，如图所示，单位长度为，轴为河流，城市的坐标为，城市的坐标为，现在要在轴（河流）上建造一座供水站分别向城市供水，使得输水管道总长度最小，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】关于x轴对称点，设直线的解析式为，
根据题意，得，得到解析式，解析式与x轴的交点即为所求，本题考查了轴对称，解析式计算，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】根据题意，得关于x轴的对称点，
连接，交x轴于点P，此时最小，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为，
当，
解得，
故,
故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数即可求解．
【详解】解：由题意可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
12. 如图，的三条边，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】∵，，，
且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 已知是方程两个实数根，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，变形后将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
则原式．
故答案为：．
14. 若方程的两个不相等的实数根，恰好是一个直角三角形的两条边长，则此直角三角形的第三条边长是______．
【答案】13或
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
【详解】解方程得：或5，
即直角三角形的两边为12或5，
当12为直角边时，第三边为：；
当12为斜边时，第三边为：；
故答案为：13或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能更简便．
先化简二次根式，再利用平方差公式计算，然后化简后合并即可．
详解】
．
16. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法法求解即可．本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择解方程的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知是关于的方程的一个根．求方程的另一个根及m的值．
【答案】，
【解析】
【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．利用根与系数关系定理可计算另一个根，本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键，熟练掌握根与系数关系定理也是一个解题关键．
【详解】把代入，
得，
解得，
∴，
设另一个为，
则．
18. 观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）第5个等式：______；
（2）请写出第个等式，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
（1）依照前面的等式求解即可；
（2）规律：不变的有：等式左边被开方数的分子是4，等式右边被开方数的分子是1；变化规律：等式左边被开方数的整数是依次增加1，等式右边的有理数因数是依次增加1．两边被开方数的分母是相同的，也是依次增加1，确定每个变化的数与前面的序数的关系，求解即可．
【小问1详解】
解：第5个等式：，
故答案为：；
【小问2详解】
第个等式：，
证明： ∵是正整数，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 下列网格中，每个小正方形的边长为1，请在网格中画出一个三边长分别为，，的三角形，求出它的面积．
【答案】图见解析，三角形的面积为2
【解析】
【分析】本题考查网格与勾股定理及其逆定理；根据勾股定理，利用数形结合的思想画出，，的；再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据三角形的面积公式求出三角形的面积即可．
【详解】解：如图①中，即为所求，
由勾股定理，得，
，
，
故即为所求．
∵
∴是直角三角形
．
20. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，该方程一定有实数根，并用含有的代数式表示方程的根．
【答案】证明见解析，，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，掌握根的根的判别式和解一元二次方程的方法是解题的关键．
先把方程整理为一般形式，求出的值，证明这个值大于或等于零，再用求根公式求出方程的根．
【详解】原方程整理，得，
∵，
∴该方程一定有实数根；
方程的根为：，
，．
六、（本题满分12分）
21. 如图，中，，，，分别在上，且垂直平分，
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理；
（1）如图，连接，证明即可；
（2）根据勾股定理先求出的长，然后设，则，由勾股定理列方程计算即可；
准确假设未知线段并由勾股定理列方程是关键．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
垂直平分，
在与中
【小问2详解】
，，，
设，则
解得
故的长为．
七、（本题满分12分）
22. 某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．
（1）______；
（2）的长度为______m（用含有的代数式表示）；
（3）当长方形区域的面积为时，求的长度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据题意，四边形，四边形，四边形都是矩形，得到，，根据题意，得到，，列式计算即可．
（2）根据，计算即可；
（3）根据题意，得，解方程计算即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【小问1详解】
设，根据题意，
得四边形，四边形，四边形都是矩形，
设，，
根据题意，得，，
∴,
∴,
解得，
故
故答案为：．
【小问2详解】
根据(1),得，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
根据题意，得，
整理，得，
解得，
答：的长度为．
八、（本题满分14分）
23. 如图，点在四边形内部，且，，，，，
（1）求证：等边三角形；
（2）求的度数；
（3）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用证明，根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定证明即可；
（2）先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用等边三角形的性质求解即可；
（3）延长交于点，根据证明，根据全等三角形的性质，结合等腰三角形的性质和等边三角形的性质，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，，
∵，等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
延长交于点，如图所示，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，是综合型试题，熟练运用这些知识是解题的关键．