2024-2025学年江苏省南京市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质结合题意求解即可.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为，
故选：A
2. 将乘积 多项式展开后的项数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据分步计数原理即得.
【详解】由题可得多项式展开后每项的字母分别取自三个括号内的项，应分三个步骤取出，
故由分步计数原理可得.
故选：B．
3. 已知向量，且//，则实数的值为（ ）
A. 或B. C. 或D.
【正确答案】D
【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析运算.
【详解】显然，
若//，则，
可得，解得.
故选：D.
4. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【正确答案】C
【分析】利用向量共面的判定方法可得答案.
【详解】因为构成空间的一组基底，所以不共面；
由于，所以，，共面，A不正确；
由于，所以，，共面，B不正确；
由于，所以，，共面，D不正确；
对于C，不存在实数，使得成立，所以，，不共面.
故选：C
5. 已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解.
【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.
故选:C．
6. 空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：由空间向量加法法则得到，由此能求出结果．
详解：由题空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则


故选C.
点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
7. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ）
A. 720B. 360C. 240D. 120
【正确答案】C
【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.
【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法.
故选：C
8. 如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，且的长为定值，则点Q到平面的距离（ ）
A. 等于B. 和的长度有关
C. 等于D. 和点Q的位置有关
【正确答案】A
【分析】取的中点G，连接，利用线面平行判断出选项B,D错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.
【详解】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错．又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，∴，，，
设是平面的法向量，则由得
令，则，所以是平面的一个法向量．
设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错．
故选：A．
本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线方向向量分别是，，则
B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
【正确答案】AC
【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D.
【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；
B选项：因为，所以
所以或，B错误；
C选项：因为，所以，C正确；
D选项：记直线l与平面所成角为，则，
因为，所以，D错误.
故选：AC
10. 若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A. 17B. C. D. 1
【正确答案】AC
【分析】根据空间向量夹角公式得到方程，求出或.
【详解】由题意得，即，
化简得，解得或
故选：AC
11. 如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，，P，D三点共线
B. 当时，
C. 当时，平面
D. 当时，平面
【正确答案】ACD
【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：
则，
，
设，，则，
可得，
，
对于A：当时，则点P为对角线的中点，
根据长方体性质可得三点共线，故A正确；
对于B：当时，
∴，解得，
所以，
则，
因此不正确，故B错误；
对于C：当时，，
设平面的法向量为，
，
∴，，
当时，，，故，
∴，∴，
又平面，∴平面，故C正确；
对于D：当时，可得，，
设平面的法向量为，
则，，
取，则，∴，
而，∴，∴平面，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 若三个向量，，共面，则实数m的值为______．
【正确答案】21
【分析】根据向量共面基本定理即可求解.
【详解】，，共面，则存在实数，使得，即，
故21
13. 已知平面的一个法向量为,点在内,则到的距离______
【正确答案】4
【分析】解利用点到面的坐标距离公式即可求解.
【详解】解：由题意得：
则到平面的距离
故
14. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.
【正确答案】
【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值.
【详解】设，其中，
，
，，
因为、、、四点共线，则向量、、共面，
由共面向量定理可知，存在、使得，
即
，
所以，，解得.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）求最小值.
【正确答案】（1）2 （2）
【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）计算出，利用模长公式得到，求出最小值.
【小问1详解】
因为，所以，
即，
解得；
【小问2详解】
所以，.
所以当时，取得最小值为.
16. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．
【正确答案】（1）见解析 （2）
【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，平面,平面,
所以 ，
又由题可知，，
,平面
且,
所以平面,
又因为平面,所以.
【小问2详解】
以为坐标原点，分别为轴建系如图，
由，，可得，
则有
设平面的一个方向量为 ,
所以 即 令则，
所以
因为平面,所以为平面的一个法向量，
所以,,
即二面角的余弦值等于.
17. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.
（1）以为基底表示；
（2）若，且，，，求.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得；
（2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得.
【小问1详解】
由图可得，;
【小问2详解】
由题意，，
则，
于是，由两边取平方，
，
故.
18. 用0，1，2，3，…，9这十个数字．
（1）可组成多少个三位数？
（2）可组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？
【正确答案】（1）900；
（2）648； （3）379
【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案.
（3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析1位数，两位数与三位数满足条件的数字计算出正确答案.
小问1详解】
要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；
第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法，
根据分步乘法计数原理，共有个.
【小问2详解】
要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法，
根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个．
【小问3详解】
作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类：
第一类，满足条件一位自然数：有10个，
第二类，满足条件的两位自然数：有个，
第三类，满足条件的三位自然数：
第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；
第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个，
所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）.
19. 如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，且.
【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出平面的法向量后，借助向量的数量积为零即可得两向量垂直，即可得线面平行；
（2）求出平面的法向量后，结合所得平面的法向量，利用夹角公式计算即可得；
（3）假设存在，设出对应未知数，可表示出向量，再结合空间向量夹角公式计算即可得.
【小问1详解】
过作，垂足为，则，
如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
为的中点，，则，
，
设平面的一个法向量为 ，
则，令，解得，
，即，
又平面，所以平面；
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，
所以 ，令，解得，
所以 ，
即平面与平面所成二面角的余弦值为；
【小问3详解】
存在，且，理由如下：
假设线段上存在一点，设，
，
则
又直线与平面所成角的正弦值为，
平面的一个法向量，
，
化简得，即，
，故存在，且.