湖北省宜昌市伍家岗区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省宜昌市伍家岗区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考公式：一元二次方程的求根公式是（）， 二次函数图象的顶点坐标是，弧长，．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 的倒数为（ ）
A. B. 2025
C. D.
【答案】D
【解析】的倒数为是，
故选：D．
2. 下列图案中，一定不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】、不是中心对称图形，该选项符合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
故选：．
3. 某班在“生命安全”主题教育活动中，开展了生命安全知识有奖竞答活动，以下公布的是某5位同学的竞答成绩（分）：90， 78， 82， 85， 90，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 78和82B. 82和85C. 85和90D. 82和90
【答案】C
【解析】这组数据按照从小到大的顺序排列为： 78， 82， 85， 90，90，中位数为：85．
则众数为：90，
故选：C．
4. 计算 的值为（ ）．
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】，故选：D
5. 下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意；
B．可以作为一个正方体的展开图，符合题意；
C．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意；
D．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意．
故选：B．
6. 如图是一副三角板拼成的图案，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，，
∴，
∴，
故选：A．
7. 一个不透明的布袋里装有个除颜色外其余都相同的小球，其中有10个红球，每次从袋中任意摸出1个球并记下颜色后放回摇匀，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数约为（ ）
A. 50B. 40C. 30D. 20
【答案】A
【解析】估计盒子中小球的个数m约为（个），
故选：A．
8. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图可得：，且，
∴，故A选项符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项不符合题意；
故选：A．
9. 一个门框的尺寸如图所示，以下长方形薄木板能从门框内通过的是（ ）
A. 长，宽B. 长，宽
C 长，宽D. 长，宽
【答案】D
【解析】连接，则与、构成直角三角形，
根据勾股定理得，
A．∵宽，∴不可以通过；
B．∵宽，∴不可以通过；
C．∵宽，∴不可以通过；
D．∵，∴可以通过；
故选：D
10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．” 意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据题意可列方程组为，
故选：B．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 计算 的结果是____________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 如图，直线l与相交于点A，B，点A的坐标为，则点B的坐标为____________．
【答案】
【解析】由图可以发现：点A与点B关于原点对称，
∵点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
13. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是____________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
14. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为____________．
【答案】
【解析】如图，过点A作于H．
在中，
∵，，
∴
∴，
故答案为：
15. 如图，是的切线，半径交于C，，则劣弧的长是____________．（结果保留）
【答案】
【解析】∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴劣弧的长为：，
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
解：8+3x-2≥x①2x+13>x-1②，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
17. 在一个不透明的袋子中装有黄、白、蓝小球各1个，除颜色外，无其它差别．随机摸出一个小球记下颜色后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表或树形图法求两次都摸到白球的概率．
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有1种，
∴两次都摸到白球的概率为
18. 已知：如图，E，F分别是ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE = CF，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE.
19. 如图，为了测量一条河的宽度，假设两岸基本平行，在它的对岸岸边任意取一点 ，再在河的这边取两点，，测得，，米，求河宽．（结果精确到1米，参考数据：，，）
解：作 ，垂足为H；
设 ，而，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴河宽约米；
20. 钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度 与退火时间 之间的函数关系，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分．
（1）已知加热过程中与成一次函数关系，求这个函数关系式；
（2）当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好．若工人师傅要想效果最好，应该在冷却开始后几分钟内完成操作？
解：（1）设加热过程中y与x的函数解析式为，
把，代入解析式得，解得：，
∴加热过程中y与x的函数解析式为；
（2）设在冷却过程中y与x的函数关系式为，
将点代入解析式，
解得．
∴在冷却过程中y与x函数关系式，
将代入，解得，
，
答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作．
21. 已知是的直径，点是的中点，弦交半径于点 ．
（1）如图1，点是延长线上一点，若，求证：是的切线；
（2）如图2，连接，若，求的值．
（1）证明：连接，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：作，垂足为，连接，
∵，
设，，∴，
∴,∴,
∴．
22. 超市销售某种商品，进价为8元/件． 在销售过程中发现，此商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，数据如下表所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若超市希望销售此商品的周销售额达到3000元，将此商品单价定为多少元合适？请通过计算说明理由；
（3）若超市希望销售此商品每周获得的纯利润最大，此商品单价定为多少元合适？周最大纯利润是多少元？
解：（1）设 与 的函数关系式为，
得，解得，
∴与的函数关系式为；
（2）由，解得：，
即单价定为10元；
（3）设周纯利润为 元，
，
，
，
∴当 时，取最大值，最大值为1080，
即当单价定为14元时，能使超市周纯利润最大，最大纯利润是1080元．
23. 已知正方形中，，为边上一点，过点作，垂足为．
（1）如图1，若平分，求证：；
（2）如图2，若点是边的中点，连接，求的长；
（3）如图3，若点是线段的中点，的延长线交于点，当时，求的长．
（1）证明：四边形是正方形，
，即，
平分，，
，
在和中，，
；
（2）解：如图，过点作于，
四边形是正方形，
，，，
，
点是边的中点，
，
，，
，
，
，
；
（3）延长交于，
点是线段的中点，，
，
，
在 和 中，，
，
，
设，，，则，
，
，
，
，即，
整理得：，
在中，，
在中，，
，
整理得：，
将①代入②得：，，即．
24. 在平面直角坐标系中，，，，．
（1）填空： ， ；
（2）若 ，，三点组成的三角形是等腰三角形，求的值；
（3）已知点在第一象限，直线交轴于点，直线交轴于点． 当时，抛物线经过，两点，且的对称轴经过点，求与轴的两个交点间的距离．
解：（1）由A、B、C坐标可得在垂直于x轴的直线上，在x轴上，
∴；
（2）分三种情况：
①当时，如图，
此时可知，∴；
②当时，如图，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得；
③当时，如图，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得（负值以舍去）；
综上，m的值为6或或4；
（3）如图，延长交x轴于点G，过D作轴于点H，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴设直线表达式为，
将点代入可得，，
解得：，
直线表达式为，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
设直线表达式为，
将点和点代入得，，解得：，
则直线表达式为，
联立，解得，
∴，
设抛物线L解析式为，
将B和D坐标代入，解得：，
∴抛物线L解析式：，
令得，，
∴L与x轴的两个交点坐标为，
∵，
∴两交点间的距离为4．黄
白
蓝
黄
（黄，黄）
（黄，白）
（黄，蓝）
白
（白，黄）
（白，白）
（白，蓝）
蓝
（蓝，黄）
（蓝，白）
（蓝，蓝）
前四周销售单价（元）
12
14
16
18
前四周每周的销售量（件）
240
180
120
60