2024~2025学年湖北省宜昌市伍家岗区九年级上期中数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省宜昌市伍家岗区九年级上期中数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是二次函数，故本选项符合题意；
C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 关于x的一元二次方程没有实数根；则m的值可能是（ ）
A. －2B. 0C. 3D. 5
【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴△=，
解得，
故选D．
4. 用配方法解方程x2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】解：把方程x2+4x﹣1=0的常数项移到等号的右边，
得到x2+4x=1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，
得到x2+4x+4=1+4
配方得（x+2）2=5．
故选：A．
5. 抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：，
抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
所得到的抛物线解析式为，
故选：B．
6. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( )
A. 1.5和2之间B. 2和2.5之间
C. 2.5和3之间D. 3和3.5之间
【答案】C
【解析】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间.
故选C.
点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间.
7. 若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】A
【解析】和为一元二次方程的两个根,
,
．
故选A．
8. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵,
∴该函数的对称轴为x=-1,
∴当x＜-1，y随x的增大而增大；当x＞-1，y随x的增大而减小；且距x=-1距离越远，y越小,
∵-1＜1＜2,
∴y1＞y2,
∵|-1-(-2)|=1＜|-1-1|=2,
∴y3＞y1,
∴．
故选A．
9. 已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（ ）
A B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】解：由图象可知，当时，或，
故选：B．
10. 线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】解：设C点为的黄金分割点，
当时，如图，
根据黄金分割点的定义得，，
即，，
整理得，，
解得，，（舍去），
∴米；
当时，同理可得，米，
∴米，
∵
∴主持人至少走米才最理想．
故选：C．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 一元二次方程的根是__________．
【答案】，
【解析】解：，
移项得：，
∴，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________．
【答案】
【解析】设小路的宽度为，则由题意可得：,
解方程，得：，,
当时，，不合题意，舍去,
所以,
故答案为：．
13. 在二次函数中，当时，则y的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】解：∵二次函数，
∴该函数图象开口向下，当有最大值，
∴当时，，当时，，
∵，
∴y的取值范围为，
故答案为：．
14. 如图，二次函数的图象经过点和，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是__________．
【答案】②③④
【解析】解：观察图象得：抛物线开口向上，对称轴，且与轴交于负半轴，
，
，
，故①错误；
观察图象得：，，
，
，故②正确；
观察图象得：当时x=1时，，
，故③正确；
图象经过点和，，
，，
，即，
，
，故④正确；
正确有②③④．
故答案为：②③④．
15. 如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为______.

【答案】
【解析】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．

，，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：本大题共9小题，共75分．
16. 解方程：．
解：∵，
∴，
∴，
∴此方程的解为：，．
17. 已知是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根．
解：设方程的另一根为．
∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得；
又由一元二次方程根与系数的关系知：，
解得．
即方程的另一根是5．
18. 已知顶点为的抛物线经过点B0,3，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）连接，求的面积．
解：（1）∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为：，
把B0,3带入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，化解得；
（2）当时，，
解方程得，，
∴，，
如下图所示，

∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
19. 已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
解：（1）证明：=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)
=k2-2k+1
=( k-1)2，
∵无论k取什么实数值，(k-1)2≥0，
∴≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：x2-(3k+1)x+2k2+2k=0，
因式分解得：(x-2k)( x-k-1)=0，
解得：x1=2k，x2=k+1，
b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，
分三种情况讨论：
第一种情况：
∵若c为等腰三角形的底边，a、b为腰，则a=b=2k=6，
∴k=3，c=k+1，
∴c=4，
检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a，
∴a=b=6，c=4，可以构成等腰三角形，
此时等腰三角形的周长为：6+6+4=16；
第二种情况：
∵若b为等腰三角形的底边，a、c为腰，则a=c=k+1=6，
∴k=5，b=2k，
∴b=10，
检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，b-a＜c，a-c＜b，b-c＜a，
∴a=c=6，b=10，可以构成等腰三角形，
此时等腰三角形的周长为：6+6+10=22；
第三种情况：
∵若a为等腰三角形的底边，b、c为腰，则b=c，
∴即：2k=k+1，解得k=1，
∴a=6，b=2，c=2，
检验：b+c＜a，
∴a=6，b=2，c=2，不能构成等腰三角形；
综上，等腰三角形的周长为16或22．
20. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．
（1）求和的解析式，并直接写出自变量取值范围；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）；
（3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
解：（1）由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，；
抛物线还经过，
则有：，解得：，
即：抛物线；
抛物线还经过，
则有：，解得：
即：抛物线．
（2）当炒菜锅里的水位高度为时，，即，
解得：，
∴此时水面的直径为．
（3）锅盖不能正常盖上，理由如下：
当时，抛物线，
抛物线，
而，
∴锅盖不能正常盖上．
21. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）将点C向左平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上．求a的值；
（3）将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图象其余部分组成一个新图象，若直线与新图象有四个交点，直接写出m的取值范围．
解：（1）对于，
当时，，
解得，，
∴，,
当时，，
∴C0,-3；
（2）∵C0,-3，
又将点C向左平移个单位长度得到点D，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
把点代入，得：
，
解得，或（不合题意，舍去），
所以，；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后图象的顶点坐标为1,4，如图，
∴直线与新图象有四个交点时，．
22. 【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
任务二：观察分析
（1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的函数知识，发现与的函数关系为一次函数关系，与的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，直接写出与的函数关系式和与的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．）
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑动距离；
（3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围．
解：（1）设，将点代入得，
，
解得：，
∴，
设，将点代入得，
，
解得：，
∴，
（2）由，当时，，
解得：，
当时，，
∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为；
（3）当时，，解得：，
当时，
∴
23. 四边形和四边形均为正方形，连接、．
（1）如图1，E在上，G在延长线上，求证：；
（2）正方形绕点B旋转，请仅就图2的情形探究和之间的位置关系和数量关系；
（3）已知，，连接，在正方形绕点B旋转一周的过程中，当C、E、G三点共线时，求的长．
解：（1）证明：∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
∴；
（2）解：，，
∵四边形和四边形均为正方形，
∴
∴
∴
∴，
设交于点，交于点，如图所示，
∵
∵，
∴
∴，即，
（3）解：如图所示，当在正方形内部时，连接，
∵
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴，
∴
设，
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
在中，；
当在正方形外部时，连接，
同理可得，
设，
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
在中，；
综上所述，当C、E、G三点共线时，的长为或
24. 已知抛物线L：（m为常数），顶点为M．
（1）求M的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若抛物线L与直线有唯一公共点P，求的长．
（3）如图，若抛物线L的对称轴为y轴，顶点为C，过y轴正半轴上一定点F（点F在点C上方）的任意直线交抛物线L于点A，B，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点D，E，连，．
①直接写出抛物线L的解析式；
②若记，，的面积分别为，，，当为定值时，求定点F坐标．
解：（1）∵，
∴M的坐标是；
（2）由题意得，，
，
，
∵抛物线与直线有唯一公共点，
，
，
，
∴M的坐标是，
当时，，
∴点的坐标是，
；
（3）①∵抛物线的对称轴是轴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
②设过点的直线解析式为：，
由得，，
，
，
，
设
整理得，，
∵是定值，是定值，
，
，
，
．x
1.5
2
2.5
3
3.5
x2－2x－2
－2.75
－2
－0.75
1
3.25
运动时间
10
运动速度
10
滑行距离
19