2024-2025学年浙江省湖州市南太湖双语学校高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省湖州市南太湖双语学校高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数y=2lg2x的导数是( )
A. y′=12xlg2eB. y′=2xlg2eC. y′=12xln2D. y′=2xln2
2.2 x−1 x6的展开式中第四项是( )
A. −20B. 20C. −160D. 160
3.函数f(x)=x(ex−1)+lnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程是
A. y=2ex−e−1B. y=2ex−e+1C. y=2ex+e−1D. y=2ex+e+1
4.某学校安排了A，B，C，D共4场线上讲座，其中讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法种数是( )
A. 6B. 8C. 12D. 16
5.函数y=x2ex的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有( )
A. 4种B. 6种C. 21种D. 35种
7.已知函数fx=xlnx−ax2，若fx在0,+∞上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. 12,+∞B. 1,+∞C. e2,+∞D. 12e,+∞
8.已知2x−39=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+a8x−18+a9x−19，则a0+2a1+3a2+⋯+9a8+10a9=( )
A. 9B. 10C. 18D. 19
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知2−x6=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6，则下列结论正确的是( )
A. a0=1B. a6=1
C. a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a6=1D. a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a6=1
10.已知函数f(x)=13x3−4x+2，下列说法中正确的有( )
A. 函数f(x)的极大值为223，极小值为−103
B. 当x∈3,4时，函数f(x)的最大值为223，最小值为−103
C. 函数f(x)的单调减区间为−2,2
D. 曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=−4x+2
11.2024年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是( )
A. 小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B. 小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C. 若图中H处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条
D. 若小明要去图中H处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.C74+A113= .(用数字作答)
13.设函数fx=xlnx，则fx的单调递增区间为 ．
14.六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高，则共有 种排法．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式ax−1x6，a∈R的展开式中常数项为−540．
(1)求a的值；
(2)求展开式中系数最大的项．
16.(本小题15分)
已知某广场准备从7人中(其中男4人，女3人)选择4人参加活动．
(1)若至少有一名女生，共有多少种选法?(结果用数字作答)
(2)若7人中甲乙丙三人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种?(结果用数字作答)
17.(本小题15分)
已知函数fx=−alnx+x2+2−ax+4．
(1)当a=0时，求曲线y=fx的经过点0,0的切线方程；
(2)讨论fx的单调区间．
18.(本小题17分)
现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1)共有多少种不同的放法?
(2)每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种?
(3)将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种?
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−x−1aeax(a>0)．
(1)当a=12时，求fx的极值；
(2)若fx+2a≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.C
5.A
6.B
7.A
8.D
9.BC
10.ACD
11.BC
12.1025
13.1e,+∞
14.90
15.解：(1)二项式ax−1x6展开式的通项公式为Tr+1=C6rax6−r−x−r=−1ra6−rC6rx6−2r，
令6−2r=0，则r=3，所以−13a3C63=−540，解得a=3．
(2)由(1)可知a=3，即3x−1x6展开式的通项公式为Tr+1=−1r36−rC6rx6−2r，
则其展开式中的奇数项系数为正数，偶数项系数为负数，
则第1项的系数为36⋅C60=729，
第3项的系数为34⋅C62=1215，
第5项的系数为32⋅C64=135，
第7项的系数为30⋅C66=1，
所以展开式中系数最大的项是第3项．

16.解：(1)若所选4人没有女生，只有1种选法，而7人中任选4人有C74=35种选法，
所以至少有一名女生，共有34种选法；
(2)若甲乙丙同时参加活动，则只需在其它4人任选1人有C41=4种选法，
而7人中任选4人有C74=35种选法，
故甲乙丙三人不能同时参加该活动，不同的选择方法有31种．

17.解：(1)当a=0时，fx=x2+2x+4，则f′x=2x+2，
设切点横坐标为t，则ft=t2+2t+4，f′t=2t+2，
所以fx=x2+2x+4在点t处的切线方程为：y−t2+2t+4=2t+2x−t，
由于该切线经过点0,0，则0−t2+2t+4=2t+20−t⇒t2+2t+4=2t2+2t⇒t2=4，
即t=±2，
所以该切线方程为y−12=6x−2⇒y=6x或y−4=−2x+2⇒y=−2x；
(2)由fx=−alnx+x2+2−ax+4求导得：
f′x=−ax+2x+2−a=2x2+2−ax−ax=2x−ax+1x，
因为定义域x|x>0，所以令f′x=2x−ax+1x=0，得x=a2，
当a>0时，有x>a2，f′x=2x−ax+1x>0，
又有02a，a>0，
所以x2−x−1a>0，从而fx>0．
又函数fx在x=1处取得极小值f(1)=−1aea