2024-2025学年浙江省湖州市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年浙江省湖州市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析），共13页。试卷主要包含了 函数的图象在点处的切线方程是， 函数的大致图象为， 已知，则=， 已知，则下列结论正确的是， 已知函数，下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共4页，答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
2.所必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 函数的导数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用求导公式可求答案.
【详解】因为，所以选项D正确.
故选：D.
2. 的展开式中第四项是（ ）
A. -20B. 20C. -160D. 160
【正确答案】C
【分析】根据通项公式计算.
【详解】由题意得展开式的第四项为.
故选：C.
3. 函数的图象在点处的切线方程是
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：由函数知，，所以，在点处的切线方程是，化简得．
考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义．
4. 某学校安排了A，B，C，D共4场线上讲座，其中讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法种数是（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【正确答案】C
【分析】根据相邻排列，先排再将他们与作全排，即可得.
【详解】先安排有种排法，再把作为整体与作全排列有种排法，
所以共有种.
故选：C
5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.
【详解】由题意可知，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，.
故选：A.
6. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ）
A. 4种B. 6种C. 21种D. 35种
【正确答案】B
【分析】元素相同问题用隔板法.
【详解】利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有种.
故选.
7. 已知函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】依题意转化为，令，利用导数求出可得答案．
详解】依题意，，
因函数在上单调递减，
所以，则，
令，则，
令，则，故当时，，
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
故，故，则，
故实数a的取值范围为．
故选：A.
8. 已知，则=（ ）
A. 9B. 10C. 18D. 19
【正确答案】D
【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得.
【详解】由得，
分别对两边进行求导得
，
令，得，
得，
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BC
【分析】由通项公式与赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A：令，可得：，故A错误；
对于B：因为的通项公式为，
故，A正确；
对于C：令可得：
故C正确；
对于C：因为，
所以为的展开式中各项系数的和，
即，
故D错误；
故选：BC
10. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的极大值为，极小值为
B. 当时，函数的最大值为，最小值为
C. 函数的单调减区间为
D. 曲线在点处的切线方程为
【正确答案】ACD
【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案.
【详解】因为
所以，
由，得或，由，得，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确，
所以当时，取得极大值，
时，取得极小值，故选项正确，
当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确，
因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确.
故选：ACD.
本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题.
11. 2024年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）

A. 小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B. 小明到老年公寓选择最短路径条数为35条
C. 若图中H处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条
D. 若小明要去图中H处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条
【正确答案】BC
【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，结合各个选项的要求分别求解.
【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于A，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即共走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以A错误，
对于B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以B正确，
对于C，若图中H处修路不通，则小明第一步只能向上，则需要再向上2格，向右4格，即共走6步，其中2步向上，最短路径的条数为条，小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条，所以C正确，
对于D，小明要去图中H处取参加活动的必需物资，先去H则小明到老年公寓需要再向上3格，向右3格，即共走6步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以D错误；
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ________.（用数字作答）
【正确答案】
【分析】由排列数、组合数计算公式即可求解.
【详解】，
故
13. 设函数，则的单调递增区间为_________．
【正确答案】
【分析】根据，则单调递增，求解的范围即为的单调递增区间．
【详解】，则
令，则
∴的单调递增区间为
故．
14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．
【正确答案】90
【分析】根据有限制的排列问题求解即可.
【详解】由于六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则排法有种．
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知二项式，的展开式中常数项为.
（1）求的值；
（2）求展开式中系数最大的项.
【正确答案】（1）
（2）第3项
【分析】（1）由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别求得展开式中奇数项的系数，然后比较大小，即可得到结果.
【小问1详解】
二项式展开式的通项公式为，
令，则，所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，即展开式的通项公式为，
则其展开式中的奇数项系数为正数，偶数项系数为负数，
则第1项的系数为，
第3项的系数为，
第5项的系数为，
第7项的系数为，
所以展开式中系数最大的项是第3项.
16. 已知某广场准备从7人中（其中男4人，女3人）选择4人参加活动.
（1）若至少有一名女生，共有多少种选法?（结果用数字作答）
（2）若7人中甲乙丙三人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种?（结果用数字作答）
【正确答案】（1）34种；
（2）31种.
【分析】（1）（2）分别求出所选4人没有女生、甲乙丙同时参加活动的情况数，再由7人中任选4人的方法数，应用间接法求对应选法数.
【小问1详解】
若所选4人没有女生，只有1种选法，而7人中任选4人有种选法，
所以至少有一名女生，共有34种选法；
【小问2详解】
若甲乙丙同时参加活动，则只需在其它4人任选1人有种选法，
而7人中任选4人有种选法，
故甲乙丙三人不能同时参加该活动，不同的选择方法有31种.
17. 已知函数.
（1）当时，求曲线的经过点的切线方程；
（2）讨论的单调区间.
【正确答案】（1）或 （2）答案见解析
【分析】（1）利用导数求切线斜率，再用点斜式求切线方程即可；
（2）利用求导，再因式分解，结合定义域和分类讨论思想即可判断单调区间.
【小问1详解】
当时，，则，
设切点横坐标为，则，，
所以在点处的切线方程为：，
由于该切线经过点，则，
即，
所以该切线方程为或；
【小问2详解】
由求导得：
，
因为定义域，所以令，得，
当时，有，f′x=2x−ax+1x>0，
又有，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时， f′x=2x−ax+1x>0，
所以在区间上单调递增；
综上：当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增
18. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有多少种不同的放法?
（2）每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子编号与球的编号相同，不同的放法有多少种?
（3）将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种?
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据题意，利用分步计数原理，即可求解；
（2）先选出两个球，放入编号相同的盒子，在把其他的2个球放入盒子，即可求解；
（3）根据题意，转化为有4个盒子每个盒子放1个球，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，4个编号为1，2，3，4的球和5个编号为1，2，3，4，5的盒子，
把球全部放入盒子内，共有中不同的放法.
【小问2详解】
解：每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，
不同的放法有中不同的方法；
【小问3详解】
解：将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒，
即有4个盒子每个盒子放1个球，共有种放法.
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
【正确答案】（1）的极大值为，极小值为；（2）．
【分析】（1）利用导数求解函数的极值即可.
（2）首先利用导数求出函数的最小值，从而得到，再解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
，
令，解得或．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的极大值为，极小值为．
（2）．
令，即，解得或．
因为，所以当x变化，，的变化情况如下表：
当时，有，，，
所以，从而．
又函数在处取得极小值，
所以为函数在R上的最小值．
因为不等式对恒成立，
所以，解得．
所以a的取值范围是．
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增