2024-2025学年江苏省南京市鼓楼区南京市第二十九中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市鼓楼区南京市第二十九中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设函数fx=x−4e2x+3，则f′x=( )
A. x−3e2x+3B. 2x−3e2x+3C. 2x−5e2x+3D. 2x−7e2x+3
2.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2MA，BN=NC，则MN等于( )
A. 23a+23b+12cB. 12a+12b−12cC. −23a+12b+12cD. 12a−23b+12c
3.已知an是单调递增的等比数列，且a4+a5=27,a3a6=162，则公比q的值是( )
A. 3B. −3C. 2D. −2
4.已知双曲线x2a2−y24=1a>0的一条渐近线与直线2x+y−3=0垂直，则a的值为( )
A. 4B. 2 3C. 2D. 12
5.已知点A4,0，圆C：x−a2+y−a2=1，若圆C上存在点P使得PA=3，则实数a的最小值是( )
A. −1B. 1C. 0D. 2
6.在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有( )
A. 25种B. 150种C. 300种D. 50种
7.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1,A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. PBA2=411B. 事件A1与事件B相互独立
C. PA3B=12D. P(B)=310
8.已知函数fx=xlnax+aex，gx=−x2+x，当x∈0,+∞时，fx≥gx恒成立，则实数a的取值范
围是( )
A. 0,1eB. 1e,+∞C. 0,eD. e,+∞
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若PN>0，则PMN≥PMN
B. 若PM=0.64,PMN=0.32，则PMN=0.32
C. 若随机变量X∼Bn,13，且D3X+2=12，则E3X+2=8
D. 若随机变量X的分布列为PX=k=C2kC133−kC153k=0,1,2，则EX=13
10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F在底面ABCD内运动(含边界)，点E是棱CC1的中点，则( )
A. 若F是棱AD的中点，则EF//平面AB1C
B. 若EF⊥平面B1D1E，则F是AC上靠近C的四等分点
C. 点E到平面B1D1C的距离为 34
D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线B1E的距离最小值为25 5
11.已知函数f(x)=sin2x+ecsx(参考数据：e2≈7.4)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在(0,π2)上单调递增
B. f(x)在x=0处的切线方程为y=e
C. f(x)在(−π,π)内共有1个极值点
D. 设g(x)=f(x)−1，则g(x)在R上共有3个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. x3+1x2n展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是 ．
13.如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有 种．
14.在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，按照这个原理，已知O是滑杆上的一个定点，D可以在滑杆上自由移动，线段OA=AD=4，点B，E是AD上两点，E是AD中点，且AB=43，如图，过B作AD的垂线，满足BC=1，则点E所形成的轨迹C1的离心率e1= ；点C所形成的轨迹C2的离心率e2= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记数列an的前n项和为Sn，已知a1=1且2Sn=(n+1)an．
(1)求an的通项公式；
(2)记bn=1anan+1+2an，求数列bn的前n项和Tn
16.(本小题15分)
“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的20%，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计n台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为p．
(1)若n=3，p=0.2，记X为一次计算中正常运行的计算机数量，求X的分布列和数学期望；
(2)若n=24，p=0.16，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？
17.(本小题15分)
已知动点M到点0,32的距离比它到直线y+3=0的距离小32，记动点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程．
(2)已知直线l:y=kx+3与轨迹C交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为l1，l2，且l1，l2相交于点P.若点P在直线y=−x+3上，求k的值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面PAD，PA⊥AD．
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形，AP=AB=6．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 33．
(ⅰ)求PF；
(ⅱ)平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数fx=x−alnx−x．
(1)当a=e时，求fx的单调区间；
(2)设x1,x2x12e；
②求证：2 1+aeelnx1
即证明ex1−1>lnex1，设F(x)=x−lnx−1，x∈0,1，
则F′(x)=x−1x，则当x∈0,1时，F′(x)F1=0，则x−lnx−1>0在0,1上恒成立，从而左边得证．
因为g′1=1，g′(e−2)=1+lne−2=−1，且g(1)=0，g(e−2)=−2e−2，
则g(x)在(1,0)和e−2,−2e−2处的切线分别为y=x−1和y=−x−e−2，
令y=a，得x3=−a−e−2,x4=a+1，
再证明xlnx>x−1恒成立，
设G(x)=xlnx−x+1，则G′(x)=lnx，令G′(x)=0，解得x=1，
且x∈0,1时，G′(x)0，此时函数Gx单调递增；
则G(x)>G1=0，则xlnx>x−1恒成立，
再证明xlnx≥−x−e−2恒成立，
设H(x)=xlnx+x+e−2，H′x=lnx+2，
则当x∈0,e−2时，H′x0，H(x)单调递增；
则Hx≥He−2=0恒成立，
所以x2−x1