山西省太原市第五中学校2024-2025学年七年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山西省太原市第五中学校2024-2025学年七年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方运算可判断A，根据同底数幂的乘法运算可判断B，根据合并同类项的法则可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，不是同类项，不能合并，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
2. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ）
A. ②③B. ①②③C. ①②④D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】解：图①中的∠1与∠2是同位角，
图②中的∠1与∠2是同位角，
图③中的∠1与∠2不是同位角，
图④中的∠1与∠2是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角定义，属于基础概念题型，熟记同位角的含义概念是关键．
3. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
4. 如图，由以下条件可以得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【详解】解：A、由，可推出，不能得到，本选项不符合题意；
B、由，可推出，本选项符合题意；
C、由，可推出，不能得到，本选项不符合题意；
D、由，不能推出，本选项不符合题意．
故选：B．
5. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的结构，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式的结构是解此题的关键．
【详解】解：A，C，D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B中两项互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选 B．
6. 下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( )
A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B. 两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．
【详解】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选A．
【点睛】考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
7. 甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（ ）
A. 第①、②题B. 第①、④题C. 第②、③题D. 第③、④题
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要查了平方差公式，单项式乘以多项式，完全平方公式．根据平方差公式，单项式乘以多项式，完全平方公式计算，即可求解．
【详解】解：①，正确；
②，错误；
③，错误；
④，错误；
∴乙同学批改正确是第①、②题．
故选：A
8. 如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据角平分线的性质可得，再由平行线的性质可得．
【详解】解：∵，且平分，
∴，
∵，
∴．
故选B
【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9. 下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用图形面积直接得出等式，从而可选择．
【详解】解：等式是由边长为的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；
等式是由长为，宽为的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；
等式是由边长为的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；
等式，图中找不到有关于的面积，故D不可验证，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积．利用数形结合的思想是解题关键．
10. 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ）
A. 105°B. 120°C. 130°D. 145°
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
二、填空题（本大题共5个小题，共15分．请把答案写在题中的横线上）
11 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了负整数指数幂．根据负整数指数幂法则计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
12. 若，则的补角比的余角大____________．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．根据余角和补角的定义，结合题意即可求解．
【详解】解：，
的补角，的余角，
的补角比的余角大．
故答案为：90．
13. 若，，则______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：，，
故答案为：24．
14. 如图，直线相交于点，垂足为，平分．若，则的度数为_____．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质等知识，先根据角平分线的定义求出的度数，然后根据对顶角的性质求出的度数，再根据垂直的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，E，F分别是正方形的边与上的点，以为边在正方形内部作面积为10的长方形，再分别以为边作正方形和正方形．若图中阴影部分的面积为61，则长方形的周长为______．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，先根据题意结合图形得到，，然后根据完全平方公式求得，进而可求解．
【详解】解：设，
由题意得：长方形的面积为，图中阴影部分的面积为，
∵，
∴（负值已舍去），
∴长方形的周长为，
故答案为：18
三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程与演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）（用乘法公式简便计算）；
（4）；
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查多项式乘以单项式，多项式除以单项式，利用平方差公式进行简算：
（1）利用单项式乘以多项式的法则，进行计算即可；
（2）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可；
（3）利用平方差公式进行简算即可；
（4）利用完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，进行计算即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：
【小问4详解】
解：
17. 先化简，再求值：，其中 .
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则．
首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 如图，点是射线上一点，利用尺规作BE∥AD，依据是：______．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析，同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】在∠CAD的内部，利用尺规作∠CBE，使得∠CBE=∠A即可．
【详解】解：如图，AD∥BE的依据是：同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与作图，关键是熟练掌把握作一个角等于已知角的作图方法．
19. 下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
计算：
解：原式第一步
第二步
．第三步
任务一：仔细检查聪聪同学的解题过程，回答下列问题．
①以上解题过程中，第一步需要依据________和________公式进行运算（用字母表示公式）．
②第________步开始出现错误．
任务二：请写出本题的正确解题过程．
【答案】任务一：①；；②一；任务二：见解析
【解析】
【分析】本题主要查了整式的混合运算：
任务一：①根据完全平方公式和平方差公式解答即可；②第一步中的完全平方公式运用错误；
任务二：先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，即可求解．
【详解】解：任务一：①第一步需要依据和公式进行运算；
故答案为：；
②第一步开始出现错误；
故答案为：一．
任务二：
原式
．
20. 如图，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键；
根据平行线的判定和性质定理进行作答，即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
21. 如图，某学校有一块长为米，宽为米的长方形地块，其中有两条宽为b米的通道，该校计划将除通道外其余部分进行绿化．
（1）用含有a，b的式子表示阴影部分绿化的总面积．（结果写成最简形式）
（2）若，，请你计算出阴影部分绿化的总面积．
【答案】（1）
（2）78平方米
【解析】
【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值，正确表示去掉路宽后的长方形的长与宽是关键．
（1）长方形地块的长与宽分别减小b米后的长方形面积就是要绿化的总面积，最后化简即可；
（2）把a与b的值代入（1）中化简后的代数式中，求值即可．
【小问1详解】
解：绿化总面积
．
【小问2详解】
当，时，
原式．
答：绿化的总面积为78平方米．
22. 【问题提出】
当多项式是某一个多项式的平方时，实数，，是否存在一定的数量关系？
【问题探究】
当，，时，，发现：
当，，时，，发现：；
【问题解决】
（1）当时，猜想，，之间的数量关系，并验证你的结论；
拓展运用】
（2）若多项式加上一个含字母的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．
【答案】（1）猜想，验证见解析；（2）单项式为或或
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）猜想，由题意得到，进而得到，，，即可验证结论；
（2）设单项式为或，得到，得出，或，即可得到答案．
【详解】解：（1）猜想，
验证：，
，，，
；
（2）这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，
，
，
这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为，
，
这个单项式为，
单项式为或或．
23. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【答案】（1）平行，见解析
（2），见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
（1）在△BEG中，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得；
（2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，．
小问1详解】
解：，理由如下：
在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
在中，，
∴
；
【小问3详解】
解：或．
理由如下：①当时，如下图所示：

∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
则，
则，
由内角和，得
②当时，如果在边反射后与平行，则，
与题意不符；
则只能在边反射后与EF平行，
如下图所示：

根据三角形外角定义，得
，
由，且由（1）的结论可得，
，
则．
综上所述：γ的度数为：或150°．