山西省运城市部分学校2024-2025学年七年级下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份山西省运城市部分学校2024-2025学年七年级下学期3月月考 数学试卷（含解析），共16页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下面描述的含义不正确的是（ ）
A. 8个6相乘B. 6个6相乘C. 4个相乘D. 2个相乘
【答案】B
【解析】
【分析】本题幂的概念，幂的乘方运算，根据，结合幂的概念，进行判断即可．
【详解】解：，
∴可以表示为8个6相乘，4个相乘或2个相乘，
∵6个6相乘；
故B选项含义不正确，符合题意；
故选B．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项的法则逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选D．
3. 人体中成熟的红细胞的平均直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示方法：为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可．
【详解】解：；
故选：C．
4. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是整式的除法，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
5. 在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（ ）
A. 1B. ﹣1C. 3xD. ﹣3x
【答案】C
【解析】
【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，将等式左边进行单项式乘多项式的计算，从而求解
【详解】解：-3x（-2x2+3x-1）=6x3-9x2+3x．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
6. 如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形，掌握数形结合思想成为解题的关键．
分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等列式即可解答．
【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：，
图乙中阴影部分的面积为：，
所以．
故选：A．
7. 已知，，，那么三个数的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比例有理数的大小，幂的运算，根据负整数指数幂，零指数幂和乘方法则进行计算后，比较大小即可．
【详解】解：，，，
∴；
故选D．
8. 如图是某小区的一块长方形区域，该区域的一边长为，另一边长为，中间是半径为的圆形喷泉池，社区计划将喷泉池以外的部分设计为花池，则花池的面积可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式运算的实际应用，用长方形的面积减去圆的面积，进行求解即可．
【详解】解：；
故选A．
9. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘除法，利用幂的运算法则结合，得到，进而得到，得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
10. 如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别是1，1；
，它有三项，系数分别是1，2，1；
，它有四项，系数分别是1，3，3，1；
，它有五项，系数分别是1，4，6，4，1．
……
将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（ ）
A. 6B. 10C. 15D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的推广、多项式乘法中的规律性问题等知识点，根据题意找出展开式的规律是解题的关键．
观察已有式子的项数、次数和各项的系数的规律，再利用这个规律即可解答．
【详解】解：通过观察可得（为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于相邻两项的系数和，展开式的项数是比所给代数式的次数多1，a的次数依次减1，b的次数依次加1
所以展开后的第四项的系数为20．
故选D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂的计算，掌握计算法则是解题的关键．
根据，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：9．
12. 查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s．
【答案】或500
【解析】
【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可.
【详解】解：；
故答案为：500
13. 若计算的结果不含项，那么的值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，得到关于m的方程是解题关键．
先根据多项式乘多项式法则计算，再根据“不含项”列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：
∵的结果不含项，
∴，解得：．
故答案为：5．
14. 某古书记载有一个狡猾的地主，把一块边长为的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把这块地的一边减少，另一边增加，变成长方形继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用学过的相关知识分析一下，马老汉租用的土地面积少了______．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式与图形的面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用正方形土地的面积减去长方形土地的面积列出运算式子，再利用平方差公式计算即可得．
【详解】解：由题意得：
，
即马老汉租用的土地面积少了，
故答案为：100．
15. 结合“（是正整数），即积的乘方等于乘方的积”计算：______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：6
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）0 （2）
（3）
（4）1
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、因式分解的应用、幂的运算、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先根据乘方的性质化简，然后再运用同底数幂相乘的运算法则计算，然后合并同类项即可；
（2）直接根据平方差公式因式分解并化简即可解答；
（3）根据整式的混合运算法则计算即可；
（4）运用平方差公式进行简便运算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：
．
【小问4详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中，．
【答案】（1），
（2），5
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）先根据单项式乘以多项式法则完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后把代入求值即可；
（）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则去括号，再计算多项式除以单项式，然后合并同类项化简，最后把，代入求值即可．
【小问1详解】
解：原式
．
当时，
原式．
【小问2详解】
解：原式
．
当，时，
原式．
18. 下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务．
……第一步
……第二步
……第三步
任务：
（1）运算从第 步开始出错，出现错误的原因是 ．
（2）正确运算结果为 ．
【答案】（1）二；与相乘时，的指数没有相加
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．
（1）根据多项式乘多项式的运算法则判断即可；
（2）根据多项式乘多项式运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：运算从第二步开始出错，出现错误的原因是与相乘时，的指数没有相加，
故答案为：二；与相乘时，的指数没有相加；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
故答案为：．
19. 计算：
（1）若，求；
（2）若，求的结果．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查整式乘除法，掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，除法运算法则是解题的关键．
（1）根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法可得，代入求值即可；
（2）根据题意可得，根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法可得，代入计算即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴原式．
20. 某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，求出长方体的体积，再除以速度，即可得出结果．
【详解】解：长方体废水池中废水的体积为，
∵净化速度为，
净化废水所需时间为．
答：这池废水需要能净化完．
21. 某超市计划购进两个品牌的矿泉水共100箱，这两个品牌矿泉水的进价和售价如表所示．
该超市积极参与做慈善活动，超市每售出一箱B品牌矿泉水，会向社会福利机构捐款元，假设100箱矿泉水全部售出，设购进A型号矿泉水箱，超市获得的利润为元．
（1）用含的式子表示．
（2）当时，求超市获得的利润为多少元．
【答案】（1）
（2）超市获得的利润为2400元
【解析】
【分析】本题考查了整式乘法的应用，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设购进A品牌矿泉水箱，则购进B品牌矿泉水箱，根据表格数据列出，然后化简，即可作答．
（2）由（1）得，再把代入计算，即可作答．
【小问1详解】
解：设购进A品牌矿泉水箱，则购进B品牌矿泉水箱，
由题意得，
．
小问2详解】
解：当时，
（元）．
答：超市获得的利润为2400元．
22. 阅读下列材料，解决相应问题．
（1）参照材料中“总结”的格式，计算边上有100个点的三角形数：____________．
（2）边上有个点的三角形数______．
（3）仿照上述的“计算过程”求图4中三角形的点的个数．

【答案】（1），5050
（2）
（3）25个
【解析】
【分析】本题考查图形类规律探究：
（1）直接根据题干信息进行总结计算即可；
（2）根据题干信息总结即可；
（3）类比题干方法，进行求解即可．
【小问1详解】
解：；
故答案为：，5050；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
已知两个三角形组合成的平行四边形的底为，高（行数）为5，
所以该平行四边形数为底高．
则所求三角形的点的个数为．
23. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个形状大小一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ．
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值．
（3）类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
①如图3，写出一个代数恒等式： （用含的式子表示）．
②已知，，利用上面的规律求的值．
【答案】（1）
（2）13 （3）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，掌握数形结合思想意义利用完全平方公式对等式进行变形成为解题的关键．
（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，据此即可解答；
（2）利用（1）得出的结论以及对完全平方公式变形求解即可；
（3）①先利用两种方式求解长方体的体积，然后得出恒等式；②先利用上述关系式变形，然后将、代入计算即可．
【小问1详解】
解：用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：由（1）知．
所以．
当，时，原式．
【小问3详解】
解：①由题意可得：
②由①得，
变形得．
当，时，
原式．
所以．品牌
A
B
进价（元/箱）
24
30
售价（元/箱）
48
57
“有形数”
如图1，四个图形中点个数可以类比正方形的面积公式计算，即，其中是正方形边上的点的个数，称为正方形数．

图2是边上有5个点的三角形，如图3，创新小组在图2的基础上增加一个相同的三角形，连接相应线段形成一个平行四边形．将求三角形数转化为求平行四边形数．计算过程如下：已知两个三角形组合成的平行四边形的底为个点，高（行数）为5，所以该平行四边形数为底高，则该三角形数．

总结：边上有5个点的三角形数．