江苏省扬州市江都区第三中学2024-2025学年七年级第下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省扬州市江都区第三中学2024-2025学年七年级第下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念判断即可，熟练掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解决此题的关键．
【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法，幂的运算法则，解题的关键是掌握整式的乘法运算，幂的运算，根据幂的运算法则和单项式乘以单项式进行计算即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3. 学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质得出修建小路后剩余草坪面积等于矩形的面积小路的面积解答．
【详解】解：A、B、D三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长小路的宽）长方形的宽，
而C方案剩余草坪面积比其他三种方案多减一个小长方形的面积，
故选：C．
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等；本题判断出阴影部分的面积与梯形的面积相等是解题的关键．
4. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式的计算，熟练掌握平方差公式的形式是解题关键；
能用平方差公式分解的式子的特点是：二个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可．
【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故不符合题意；
B．，能用平方差公式计算，故不符合题意；
C．，能用平方差公式计算，故不符合题意；
D．，不能用平方差公式分解，故符合题意；
故选D．
5. 如图，是变压器中的L型硅钢片，其面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：S=(2a+b)b+b(2a－b－b)
=2ab++2ab－2
=4ab－．
故选∶B
6. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】解：
∴
∴
故选：B．
7. 若，则a，b，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是有理数的比较大小，关键是先根据平方差公式、完全平方公式以及积的乘方法则计算出各数的大小．
先根据平方差公式、完全平方公式以及积的乘方法则计算出、、的值再进行比较．
【详解】解：，

，


，
，
．
故选：B．
8. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）．
A. 512B. 128C. 64D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到，，则，， 再由进行求解即可．
【详解】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球．
∵一共有球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共30分）
9. 若，，则的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为；．
10. 华为新麒麟芯片突破5纳米（1纳米毫米）制程工艺，数据“5纳米”用科学记数法表示为____毫米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键，根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，5纳米毫米，
，
故答案为：．
11. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含的一次项确定出的值即可．
【详解】解：由题意得，，
由结果中不含的一次项，得到，
解得：，
故答案为：．
12. 已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
故答案为：．
13. 已知是关于的完全平方式，则的值为____________．
【答案】7或
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而即可求解
【详解】∵多项式是完全平方式，
∴，即，
故或，
解得或
故答案：7或
14. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键，逆向运用同底数幂的乘除法法则求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
15. 如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、平移的性质，解答本题的关键是熟练掌握平移的性质．
根据平移的性质可得到阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】解：将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，
阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，
阴影部分的面积为，
故答案为：10．
16. ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的应用，同底数幂的乘法，熟悉运算法则是解题关键．根据平方差公式进行计算即可．
详解】解：
=
=
=
=
=
=
=
=．
故答案为：
17. 如图，长方形中，沿折痕翻折得，已知被分成的两个角相差，则图中的度数为 _______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠问题，设，则或，分两种情况进行讨论：①当时，，②当时，，分别根据列式计算即可．
【详解】解：如图，
设，则或，
①当时，，
∵，
∴，
解得，
∴；
②当时，，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上所述，图中的度数为或，
故答案为：或．
18. 观察等式：；；；若，则用含m的式子表示的结果是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的运算，同底数幂的乘法的逆运算，平方差公式，将要求的算式进行转化是解题的关键，由所给等式，对比两边式子的变化规律，即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据有理数乘法，零指数幂，负整数指数幂，绝对值法则进行化简，再算乘除，最后计算加减，即可解题；
（2）根据整式乘法的混合运算法则进行求解，即可解题．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，整式乘法的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．
20. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了乘法公式，积的乘方计算，积的乘方的逆运算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（2）根据积的乘方的逆运算法则把原式变形为，再利用乘法公式求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法、完全平方公式、平方差公式展开化简，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：
∵，
∴
原式．
【点睛】此题主要考查了整式的加减—化简求值，涉及到完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．
（1）经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全；
（2）平移过程中，线段扫过的部分的面积是 ；
（3）若点和是关于直线l的对称点，请画出直线l的位置；
（4）在方格纸中，存在一点Q，则能使和（点Q不与点A重合）的面积相等的格点Q共有 个．
【答案】（1）详见解析
（2） （3）详见解析
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图一平移变换，轴对称等知识点，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
（1）将三个顶点分别向左平移2个单位，向上平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）利用平移的性质可知，线段扫过的部分是，利用方格即可求得面积；
（3）根据网格和轴对称的性质画图即可；
（4）点分布在过点且平行于的直线上，再确定此直线上的格点即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，
线段扫过的部分（）的面积为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图所示，直线即为所求；
【小问4详解】
解：如图所示，能使和(点不与点重合)的面积相等的格点共有4个，
故答案为：4．
23. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）8.5 （2）24
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，考查整体代入思想，把多项式进行适当变形是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，即可解答；
（2）根据完全平方公式，即可解答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
。
24. 已知多项式，A与B的乘积中不含有x项，常数项是，
（1）求m，n的值．
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．
（1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为，列方程即可得到答案；
（2）把代入利用整式的四则运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是，
∴，
∴，
把，代入，解得：，
故，；
【小问2详解】
根据（1）可知，，
∴，
．
25. 在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题：
（1）经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________．
（2）若，求的值．
（3）延伸迁移：若，请直接写出a的值．
【答案】（1）1 （2）1或2025
（3）或或
【解析】
【分析】此题主要考查有理数的乘方及零指数幂的意义，解题的关键是熟知有理数乘方的运算法则及零指数幂的意义．
（1）根据1的任何次幂都等于1解答即可；
（2）根据（1）三种情况讨论解答即可；
（3）根据0的非零次幂等于0，1的任何次幂等于1，的奇数次幂等于解答即可．
【小问1详解】
当时，（n为整数）；
故答案为：1；
【小问2详解】
由，
当时，，
解得；
此时底数为，成立
当时，
解得；
指数，是奇数，
结果，不成立；
当时，
解得．
此时指数为，
此时结果为
所以x的值是1或2025；
【小问3详解】
由，可知
当时，，
解得；
当时，
解得；
当时，是奇数，
解得．
所以a的值是或或．
26. 如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为．
（1）若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______；
（2）求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）．
（3）若，求出b与c满足的数量关系．
【答案】（1）20，28
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含a，b，c的代数式表示出，，，是解题的关键．
（1）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将代入计算，即可求解；
（2）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可获得但；
（3）结合（1）（2）可得，，再代入进行运算，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意可知，长方形的长为，宽为，
则，
，
当时，
，．
故答案为：20，28；
【小问2详解】
由图形可知，长方形的长为，宽为，
则，
，
∴；
【小问3详解】
由（1）（2）可知，，，，
∴，
将，代入，
可得，整理可得，
即，
∴b与c满足的数量关系为．
27. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．
（1）的商是_______．
（2）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a．
（3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，熟知多项式与多项式的乘除法计算法则是解题的关键．
（1）根据题中竖式求解；
（2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于a、x的等式即可得到答案；
（3）先求出长方形B的面积，进而求出长方形C的面积，再利用短除法求出长方形C的另一边长即可．
【小问1详解】
解：，
∴的商是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得：；
【小问3详解】
解：长方形B的面积为，
∴长方形C的面积为 ，
，
∴长方形C的另一边长为．
28. 配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方
解：
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“雅美数”有 个；
①10 ②28 ③45 ④39
（2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ；
探究问题：
（3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值；
（4）拓展结论：已知实数x，y满足，直接写出的最小值．
【答案】（1）2；（2）9；（3）13；（4）3
【解析】
【分析】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握雅美数的定义是解题的关键．
（1）根据“雅美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论；
【详解】（1）解：∵，，
∴10，45，都是“雅美数”，
故答案为：2；
（2）∵，
∴，，
∴
故答案：9；
（3）∵
；
∵S为“雅美数”，
∴，
∴；
（4）∵，
∴，
∴，
∴的最小值为3．