吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解符题等内容，欢迎下载使用。
1. 根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、如果，那么，故选项A中变形错误，不符合题意；
B、如果，，那么，故选项B中变形错误，不符合题意；
C、如果，那么，故选项C中变形正确，符合题意；
D、如果，那么，故选项D中变形不正确，不符合题意，
故选：C．
2. 在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，解题的关键是把代入，再去括号即可．
【详解】解：在解方程组的过程中，
将②代入①可得：，
去括号，可得：．
故选：C．
3. 若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是解题的关键，将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：将代入原方程得，
解得：，
∴的值为．
故选：A．
4. 不等式的解集在数轴上的表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，然后在数轴上表示其解集．
【详解】解：解不等式x+1≤0得x≤-1，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．也考查了数轴．
5. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，解答的关键是熟知不等式基本性质，尤其是不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此得出关于的不等，求解即可．
【详解】解：∵关于的不等式的解集为，
∴，
解得：，
故选：B．
6. 已知方程组，则的值为（ ）
A. 6B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，直接把三个方程相加即可得到答案．
【详解】解：，
得：，
∴，
故选：C
7. 已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了换元法解一元一次方程；先对关于的一元一次方程进行变形为，再根据关于x的方程的解为，得出，然后求解即可．
【详解】解：把方程变形为：
，
∵关于x的方程的解为，
∴，
∴，
故选：D．
8. 我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊只，则下列说法正确的是（ ）
A. 列方程：
B. 列方程组为：
C. 设乙有羊只，列方程组为：
D. 甲有羊27只，乙有羊18只
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找等量关系列出方程（组）是解题的关键．
设甲有羊只，乙有羊只，根据“乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”列出方程组为．可判定A、B错误，C正确，再解方程组求得x、y值，可判定D错误．
【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，得，
故A、B选项错误，C选项正确；
解方程组得：，即甲有羊63只，乙有羊45只．故D错误．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
9. “x与2的差不大于3”用不等式表示为___．
【答案】x-2≤3
【解析】
【分析】首先表示出x与2的差为（x-2），再小于等于3，列出不等式即可．
【详解】解：由题意可得：x-2≤3．
故答案为：x-2≤3．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号．
10. 已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程．
由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值．
【详解】解：由可得：，
解得：；
由二元一次方程组的定义可得：
，
解得：；
，
故答案为：．
11. 在解方程组时，小明看错了a，得到的解为请用含有c的代数式表示b为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据题意可得是方程的解，据此把代入方程中求解即可．
【详解】解：由题意得，是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 某计算程序如图所示．当输入的值为_______时，输出．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值以及解一元一次方程，看懂程序流程图分情况讨论是解答本题的关键．
分两种情况讨论：当时；当时，解答即可．
【详解】解：当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：，
综上所述，或，
故答案为：或．
13. 如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可知长加上宽的两倍等于15，长为宽的三倍，据此列出方程组求解即可．
【详解】解；设小长方形的长为x，宽为y，
由题意得，，
解得，
∴阴影部分的正方形边长为，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为．
14. 某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船小时，已知船在静水中的速度是每小时千米，水流速度是每小时千米，已知、、三地在一条直线上，若、两地距离千米，则、两地之间的距离是__________千米.
【答案】12.5或10千米．
【解析】
【分析】此题的关键是公式：顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度，设未知数，列方程求解即可．
【详解】设A．B两地之间的距离为x千米，
当C在AB的延长线上时：
则=3
解得x=-40不合实际意义应舍去．
当C在线段AB上时：
则=3
解得x=12.5
当C在AB的反向延长线上时：
=3
解得：x=10
则A、B两地之间的距离是12.5或10千米．
【点睛】考核知识点：一元一次方程的应用.分类讨论问题是关键.
三、解符题（共10题，共78分）
15. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．
【小问1详解】
解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1得；
【小问2详解】
解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化1得．
16. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键．
（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得，解得的值，进而求得的值即可；
（2）利用加减消元法，将方程，得，然后将代入②，得，求得x的值即可．
【小问1详解】
解： ，
将①代入②，得，
解得，
将代入①，得，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
，得，
将代入②，得，
解得，
∴原方程组的解为．
17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见详解
【解析】
【分析】本题考查解不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键；
根据题意，先解不等式，再将不等式的解集表示出来即可求解；
【详解】解：
；
该解集在数轴上表示如下：
；
18. 已知关于的方程与方程同解，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意先解，得到，再将代入中即可求出的值．
【详解】解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
把代入中得，
解得：．
19. 下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①，得．③…（第一步）
②③，得，解得，…（第二步）
将代入①，得…（第三步）
所以原方程组的解为…（第四步）
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）加减消元法，第二步
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
【小问1详解】
解：根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第二步合并同类项出错，
故答案为：加减消元法，第二步．
小问2详解】
解：方程组：
解：①，得……③ ，
②③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
20. 【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第69页的部分内容．
已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围．
写出这道题完整的解题过程．
【拓展探究】若关于的方程组的解满足，求的最小整数值．
【答案】教材呈现：；拓展探究：m的最小整数值是7．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求一元一次不等式的最小整数解，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键．
教材呈现：先解一元一次方程，然后根据关于x方程的解是非负数列出不等式，解不等式即可求得答案；
拓展探究：先把两个方程相减可得，结合，再建立不等式即可确定m的最小整数值．
【详解】教材呈现：
解：，
移项得：，
化系数为1得：，
∵关于x方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∴k的取值范围．
拓展探究：
，
得：；
∵，
∴，
解得：，
∴m的最小整数值是7．
21. 为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个．
（1）应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？
（2）若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？
【答案】（1）A盲盒5人，B盲盒12人
（2）280 元
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键；
（1）设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，列出方程进行求解即可；
（2）设每套礼盒的标价为元，根据利润等于售价减成本，等于成本乘以利润率，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒．
根据题意得
解得 ，
；
答：应分配 5 名工人生产 盲盒，12 名工人生产 盲盒．
【小问2详解】
设每套礼盒的标价为 元，
根据题意得：
，
解得：；
答：每套礼盒的标价为 280 元．
22. 草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩．
（1）每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？
（2）若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？
【答案】（1）每台甲型割草机每小时割草6亩，每台乙型割草机每小时割草8亩
（2）可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是∶(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，根据“已知3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m台甲型收割机，台乙型收割机，根据每小时需要割草54亩，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案．
【小问1详解】
解∶设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，
依题意得，
解得∶，
答∶每台甲型收割机每小时割草6亩，每台乙型收割机每小时割草8亩；
【小问2详解】
解∶ 设租用m台甲型收割机，n台乙型收割机，
依题意得∶，
，
又均为正整数，
或，
该收割队共有2种租用方案，
方案1∶租用5台甲型收割机，3台乙型收割机；
方案2∶租用1台甲型收割机，6台乙型收割机．
23. 阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便：
解：①②得，，所以，
将③，得，
②④，得，由③，得，
所以方程组的解是
（1）请采用上面的方法解方程组．
（2）直接写出关于x、y的方程组的解．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题例进行解题即可；
（2）根据题例进行解题即可．
【小问1详解】
①②，得，
∴，
将③，得，
②④，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
，
①②，得，
∴，
将③，得，
②④，得，
解得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
24. 已知，数轴上点、对应的数分别为、，且满足，点对应点的数为．
（1）①___________，___________；
②若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间、两点的距离为；
（2）在②的条件下，若点运动到点立刻原速返回，到达点后停止运动，点运动至点处又以原速返回，到达点后又折返向运动，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点相遇的点在数轴上表示的数．
【答案】（1）①，；②或；
（2）在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是，0，．
【解析】
【分析】（1）①由绝对值和偶次方的非负性列方程组求出a、c即可；②设经过t秒两点的距离为，根据题意列绝对值方程求解即可；
（2）分类讨论：点P未运动到点C时；点P运动到点C返回时；当点P返回到点A时．分别求出不同阶段运动时间，进而求出相关点所表示的数即可．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，，
∴，；
②动点、分别从、间时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为1个单位长度/秒，
∴对应的数为，对应的数为，
∴，
∴，
解得：或；
【小问2详解】
解：点P未运动到点C时，设经过x秒P，Q相遇，
由题意得：，
∴，
相遇点表示数为：，
点P运动到点C返回时，设经过y秒P，Q相遇，
由题意得：，
∴，
相遇点表示的数是：，
当点P返回到点A时，用时秒，此时点Q所在位置表示的数是，
设再经过z秒相遇，
由题意得：，
∴，
∵，
∴此时点P、Q均未停止运动，
故z还是符合题意．
此时表示的数是：，
答：在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是，0，．
【点睛】本题综合考查了绝对值和偶次方的非负性、数轴上两点之间的距离，利用方程来解决动点问题与行程问题，本题难度较大分类讨论是解题关键．