吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2024-2025学年七年级下学期3月考 数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2024-2025学年七年级下学期3月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 下列方程中是一元一次方程的是， 下列等式变形正确的是， 方程的正整数解的对数是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每题3分，共24分）
1. 下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，且未知数的最高次是1的整式方程”作答．
【详解】解：A、不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意；
B、，未知数的最高次是2，不是一元一次方程，该选项不符合题意；
C、有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意；
D、满足一元一次方程的定义，该选项符合题意；
故选：D．
2. 下列等式变形正确的是
A. 由=1得x=B. 由a=b,得
C. 由−3x=−3y，得x=−yD. x=y,得x-4=y-5
【答案】B
【解析】
【分析】逐一对选项进行分析即可.
【详解】A选项中，由,得故该选项错误；
B选项中，由,得，故该选项正确；
C选项中，由,得，故该选项错误；
D选项中，由,得，故该选项错误.
故选B
【点睛】本题主要考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键.
3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1的整式方程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．据此逐一判断即可．
【详解】解：A、有三个未知数，所以A选项不合题意；
B、是二元一次方程组，所以B选项符合题意；
C、有两个未知数，但的次数为2，所以C选项不符合题意；
D、有分式方程，所以D选项不符合题意；
故选：B．
4. 若关于的方程的解是，则a，b的关系为（ ）
A. 相等B. 互为相反数C. 互为倒数D. 乘积为-1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方程的解、相反数的定义，由方程的解得，由相反数的定义，即可求解；理解方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程的解是，
，
，
a，b的关系为互为相反数，
故选：B．
5. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，
，
故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
6. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船?其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只?若设有只小船，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确的列方程即可．
【详解】解：设有只小船，则大船有只，
根据题意，得，
故选：A．
7. 方程的正整数解的对数是（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】将x=1，2，…，分别代入2x+3y=17，求出方程的正整数解的对数是多少即可．
【详解】解：当x＝1时，方程变形为2+3y＝17，解得y＝5；
当x＝4时，方程变形为8+3y＝17，解得y＝3；
当x＝7时，方程变形为14+3y＝17，解得y＝1；
∴二元一次方程的正整数解的对数是3对：、和．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为正整数．
8. 如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 15B. 30C. 36D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，则小正方形的边长为2y，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用正方形的面积计算公式，即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，则小正方形的边长为2y，
依题意得：
，
解得：，
∴图中阴影部分的面积为（2y）2=（2×3）2=36．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共18分）
9. 在中，如果y＝0，那么x =_____．
【答案】6
【解析】
【分析】直接把y=0代入求出即可．
【详解】解：把y=0代入得：，解得x=6．
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是根据题意得到一元一次方程．
10. 若关于的方程是二元一次方程，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的定义可得，进一步即可求出结果．
【详解】解：根据题意，得，，
解得：，
故答案为：
11. 已知，则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】将方程组的两个方程加起来，得到，进而得到．
【详解】解：，
将①②，得：，
则：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了加减消元法，熟练掌握运算方法是解题的关键．
12. 如果满足，则________________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据绝对值的性质和平方差的性质进行计算，求得x，y的值，再得到答案.
【详解】由题意可得，，两式联立可得，解得，所以9.
【点睛】本题考查绝对值的性质和平方差的性质，解题的关键是熟悉掌握绝对值的性质和平方差的性质.
13. 一个两位数，个位数字与十位数字之和为12，如果交换个位数字与十位数字的位置，所得新数比原数大36，则原两位数为_________.
【答案】48
【解析】
【分析】设原来的两位数的十位数字是a，个位数字是b，根据等量关系“个位数字与十位数字之和为12 ”、“交换个位与十位数字，则所得新数比原数大36”列出方程组并求解即可得.
【详解】设原来的两位数的十位数字是a，个位数字是b，由题意得
，
解得：，
则原两位数为48，
故答案为48.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
14. 已知关于、方程组，若用含的代数式来表示，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，先用表示出，进一步用含的代数式来表示即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
三．解答题（共78分）
15. 解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先移项再合并同类项，得，系数化1，即可作答．
（2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，得，系数化1，即可作答．
【小问1详解】
解：，
移项得，
合并同类项得，
解得；
【小问2详解】
解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
∴．
16. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法；
（1）用代入法先求出，再代入求得；
（2）用加减消元法解得再代入求
【小问1详解】
解：将②代入①，得，
，．
将代入②，得．
所以原方程组的解是
【小问2详解】
解：①+②，得．
．
将．代入①，得．
所以原方程组的解是
17. k取何值时，代数式的值比代数式的值大4？
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到k的值．
【详解】解：依题意得：，
去分母得：
移项、合并同类项得：，
解得：．
【点睛】本题考查列一元一次方程并求解，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
18. 一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修路，还需多少天能修完？
【答案】还需8天能修完
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设还需x天能修完，由题意：一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修完，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设还需天能修完，
由题意得：，
解得：，
答：还需8天能修完．
19. 如图，用直径为的圆钢锻造一个长、宽、高分别为，和的长方体毛坯底板，应截取多长的圆钢？（结果保留）
【答案】应取长的钢．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据体积不变列方程求解即可．
【详解】解：设应截収圆钢xmm，根据题意得，
，
解得，
经检验，符合题意，
答：应取长的钢．
20. 某平台有一套科技丛书，每套丛书进价为120元，原售价为180元．该平台为拓展销路，准备通过直播间打折销售．如果要确保的利润率，那么直播间应该对原售价打几折出售？
【答案】直播间应该对原售价打八折出售
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设直播间应该对原售价打x折出售，
根据题意，得，
解得，
答：直播间应该对原售价打八折出售．
21. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演，可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
（1）____；____；
（2）按照正确的a、b求出原方程组的解．
【答案】（1）1，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组；
（1）由二元一次方程组的解得是②的解，是①的解，即可求解；
（2）用加减消元法解方程组，即可求解；
理解二元一次方程组的解，能熟练解二元一次方程组是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得
是②的解，
解得：，
是①的解，
，
解得：，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：原方程组为
①得，
③，
③②得
，
解得：，
将代入①得
，
解得：，
原方程组的解为．
22. A、B两地相距36千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．
【答案】甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：甲4小时形式的路程乙4小时形式的路程千米，甲6小时后所余路程乙6小时后所余路程，据此列方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，由题意得：
，
解得：，
答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时
23. 综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：．
拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
（3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案．
【详解】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得；
（3）方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
24. 如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题：
（1）A点表示的数为______，B点表示的数为______；
（2）t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______；
（3）请求出当t为何值时，；
（4）运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？
【答案】（1），
（2），
（3） 或
（4） 、或
【解析】
【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用等，正确用代数式表示移动过程中的点对应的数是解题的关键．
（1）根据，且即可确定表示的数；
（2）根据数轴上两点之间的距离，用代数式表示所表示的数；
（3）根据数轴上两点之间的距离，列方程求解即可；
（4）根据数轴上两点之间的距离，表示出，再分别令求出的值 ．
【小问1详解】
已知，且，
∴，
∵在点O的左侧，在点O的右侧，
∴A点表示的数为，B点表示的数为．
小问2详解】
点P从点A出发，向数轴负方向运动，
∵点P的运动速度是每秒3个单位长度，
∴点P表示数为，
点M从点B出发，向数轴负方向运动，
∵点M的运动速度是每秒5个单位长度，
∴点M表示的数为．
【小问3详解】
由（2）可知，点P表示的数为，
点Q表示的数为，
∴，
当时，即，
则或，
解得或．
【小问4详解】
由题意可知，点P表示的数为，
点Q表示的数为，
点M表示的数为，
∴，
，
，
当时，，
即，
解得，
当时，，
即，或
解得或，
当时，点M表示数为，
点P表示的数为，
此时两点重合，故舍去；
当时，，
得或，
解得或，
当时，点P表示的数为，
点表示的数为，两点重合，舍去；
综上所述，或或．