吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，结果是的相反数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 矩形的一条对角线与一边的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知a，b，m是实数，且，那么有（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为 ，测得米，则树的高（单位：米）为（ ）
A. B. C. D.
7. 某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（ ）
A. 过点A作B. 延长BC到点D，过点C作
C. 过点A作于点DD. 过BC上一点D作，
8. 如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 单项式的系数是，次数是，则______．
10. 计算：_________．
11. 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为________．

12. 已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________．
13. 如图，中，，，，动点在边上运动，将线段绕点逆时针旋转得，取的中点，当点从点开始向右运动到点时结束，则对应的点所经过的路线的长度为___________．
14. 如图，以为直径的与相切于点C，交的延长线于点E，直径，，弦，垂足为点F，连接，，则下列结论正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）
①；
②
③扇形的面积为
④若点P线段上一动点，则有最大值
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 一个不透明口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
17. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？
18. 如图，在中，于E，点F在边上，，求证：四边形是矩形．
19. 图①、图②、图③都是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中以为底边画一个等腰直角三角形；
（2）在图②中画线段（点E、F不与点A、B重合），使与线段相交，且它们所夹锐角度数为．
（3）在图③中线段左侧作一点P，连结，使且的面积为．
20. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．；D．，E．），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？
21. 五一劳动节前夕，龙泉公园管理处购进两种类型的花卉盆景共盆，其中种类型的花并价格为每盆元，购买种类型的花卉盆景所需费用（单位：元）与购买数量（单位：盆）的函数关系图象如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）若购买种类型花卉盆景所需的数量不超过盆，但不少于种类型花卉盆景的数量，试问如何购买能使购买费用最少？并求出最少费用．
22. 【综合与实践】
问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D、E分别是点B、C的对应点），旋转角为，设线段交于点P，线段分别交、于点F、Q，如图2．
特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为___________；
探究规律：在绕点A逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论．
拓展延伸：
（1）在绕点A逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数．
（2）在图3中，作射线、交于点M，四边形面积记为，的面积记为，是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角α的度数，及此时的值；若不存在，请说明理由．
23. 如图，的面积为，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，将线段绕点顺时针旋转至，设点的运动时间为（）．
（1） ；
（2）连结，当平分的面积时，求的值；
（3）求点的运动路径长；
（4）点在线段上运动时，在射线上作一点，使，当为锐角时，直接写出的取值范围．
24. 已知抛物线经过点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线上找一点，使是以为直角边的三角形，求点的坐标；
（3）交轴于点，点是抛物线上一动点，过点作于点，过点作的平行线，交轴于点．
①点在下方的抛物线上时，的值记为，求的最大值及此时点的坐标；
②抛物线与四边形交点的纵坐标的最大值记为，最小值记为，当时，直接写出点的坐标．
数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列各式中，结果是的相反数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义、有理数的混合运算，先求出的相反数是，再根据有理数的混合运算法则逐项判断即可得出答案．
【详解】解：的相反数是，
，故A选项不符合题意；
，故B选项符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项不符合题意；
故选：B．
2. 作为中国非物质文化遗产之一紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从上面看，得到的图形是
故选：B．
3. 矩形的一条对角线与一边的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据矩形的性质和等边对等角，进行求解即可．
【详解】解：如图，矩形，
则：，，
∴，
∴，
∴两条对角线相交所成的锐角的度数为，
故选：D．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法，幂的运算法则，解题的关键是掌握整式的乘法运算，幂的运算，根据幂的运算法则和单项式乘以单项式进行计算即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 已知a，b，m是实数，且，那么有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由不一定可得，例如，但是，原式错误，不符合题意；
B、由可得，原式正确，符合题意；
C、由不一定能得到，例如时，，原式错误，不符合题意；
D、由不一定能得到，例如时，，原式错误，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为 ，测得米，则树的高（单位：米）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过解直角可以求得的长度．
【详解】解：在直角中，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
7. 某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（ ）
A. 过点A作B. 延长BC到点D，过点C作
C. 过点A作于点DD. 过BC上一点D作，
【答案】C
【解析】
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：A、由，则，．由，得，故符合题意．
B、由，则，．由，得，故符合题意．
C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．
D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键．
8. 如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义．根据题意得到，，继而得到，求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
轴于点
，
，
点在反比例函数，
，
∴．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 单项式的系数是，次数是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式次数和系数的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，再代值计算即可．
【详解】解：∵单项式的系数是，次数是，
∴，
∴，
故答案为：1．
10. 计算：_________．
【答案】18
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的乘除法．根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：18．
11. 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为________．

【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的对称轴是，设的另一根为x，利用二次函数的对称性即可求出x．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
设的另一根为x，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
12. 已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的定义、利用平方根解方程，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入一次函数的解析式可得一个关于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根据一次函数的定义可得，由此即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过原点，
∴，
解得，
又∵函数是一次函数，
∴，
解得，
综上，，
故答案为：4．
13. 如图，中，，，，动点在边上运动，将线段绕点逆时针旋转得，取的中点，当点从点开始向右运动到点时结束，则对应的点所经过的路线的长度为___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，取的中点，连接，由题意得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，得，，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，再根据勾股定理，即可．
【详解】解：如图所示：把绕点A逆时针旋转得，取的中点，连接，
∵线段绕点逆时针旋转得，
∴，，，
∴当点与点重合时，点与点重合时，是等边三角形；当点与点重合时，点在处，是等边三角形，
∴连接、两点，为点的运动路线，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质．
14. 如图，以为直径与相切于点C，交的延长线于点E，直径，，弦，垂足为点F，连接，，则下列结论正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）
①；
②
③扇形的面积为
④若点P为线段上一动点，则有最大值
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定和性质，垂径定理，构造二次函数求最值，扇形的面积公式解答即可.
【详解】解：∵以为直径的与相切于点C，交的延长线于点E，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故①正确；
∵，
∴
∴②正确；
∵，，
∴，，
∴扇形的面积为，
∴③错误；
设，则，令，
则，
∵，
∴当时，满足，故y由最大值，且最大值为，
∴④正确；
故正确的结论为①②④；
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定与性质，扇形的面积，二次函数的最值，熟练掌握和灵活运算相关知识是解题的关键.
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
；
当时，
原式．
16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握画树状图或者列表求解概率的性质；画出树状图，共有9个等可能的结果，小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4个，即可完成求解．
【详解】解：根据题意，可以画出如下树状图：
共有9种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4种，
∴P（小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同）．
17. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？
【答案】天
【解析】
【分析】首先设经过天相遇，根据题意可得等量关系：野鸭天的路程＋大雁天的路程，再根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】解：设经过天相遇，
根据题意，得∶ ，
解得：．
答：经过天相遇．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
18. 如图，在中，于E，点F在边上，，求证：四边形是矩形．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，得四边形AECF是平行四边形，然后证∠AEC＝90°，即可得出结论．
【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD−DF＝BC−BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定方法，证出四边形AECF为平行四边形是解题的关键．
19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中以为底边画一个等腰直角三角形；
（2）在图②中画线段（点E、F不与点A、B重合），使与线段相交，且它们所夹锐角的度数为．
（3）在图③中线段左侧作一点P，连结，使且的面积为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣运用与设计作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握以上知识．
（1）根据等腰直角三角形的定义，作出图形即可．
（2）根据等腰直角三角形的定义作出图形是等腰直角三角形，再利用网格线的特点作和平行与相交即可；
（3）同理（2）作出图形是等腰直角三角形，由勾股定理求出，利用相似三角形的性质即在线段上找到点P，使得，则，即可得到，连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求：
【小问3详解】
解：如图所示，点为所求：
20. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．；D．，E．），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？
【答案】（1）；96；90
（2）325人
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形圆心角度数，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求出中位数和众数即可；再用360度乘以甲校C等级的占比即可得到答案；
（2）用甲乙两校的人数分别乘以其样本中得分在90分以上的人数占比，然后求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：E的人数：（人）,
把甲校的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为91分，92分，
∴甲校的中位数；
∵乙校得分中，得96分的人数最多，
∴乙校的众数；
，
故答案为：；96；90；
【小问2详解】
解：人，
∴估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有325人．
21. 五一劳动节前夕，龙泉公园管理处购进两种类型的花卉盆景共盆，其中种类型的花并价格为每盆元，购买种类型的花卉盆景所需费用（单位：元）与购买数量（单位：盆）的函数关系图象如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）若购买种类型花卉盆景所需的数量不超过盆，但不少于种类型花卉盆景的数量，试问如何购买能使购买费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）；
（2）购买种类型花卉盆景盆，种类型花卉盆景盆，费用最少，费用最少为元．
【解析】
【分析】（）分两种情况，利用待定系数法解答即可求解；
（）设购买了种类型花卉盆景盆，则购买了种类型花卉盆景盆，列出不等式组求出的取值范围，设购买两种花卉盆景费用为元，求出与的一次函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确求出函数关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：当时，设，
把代入得，，
∴，
∴；
当时，设，把、代入得，
，
解得，
∴；
综上，；
【小问2详解】
解：设购买了种类型花卉盆景盆，则购买了种类型花卉盆景盆，
由题意可得，，
解得，
设购买两种花卉盆景费用为元，
则，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，的值最小，，
此时，，
∴购买种类型花卉盆景盆，种类型花卉盆景盆，费用最少，费用最少为元．
22. 【综合与实践】
问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D、E分别是点B、C的对应点），旋转角为，设线段交于点P，线段分别交、于点F、Q，如图2．
特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为___________；
探究规律：在绕点A逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论．
拓展延伸：
（1）在绕点A逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数．
（2）在图3中，作射线、交于点M，四边形的面积记为，的面积记为，是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角α的度数，及此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】特例分析：；探究规律：证明见解析；拓展延伸：（1）或；（2）存在，．
【解析】
【分析】特例分析：由等边对等角和三角形内角和定理，得到，根据三线合一的性质，得到，再根据旋转角的定义求解即可；
探究规律：由旋转的性质易证，即可得出结论；
拓展延伸：（1）根据三角形内角和定理得到，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，利用等边对等角的性质列方程分别求解即可；
（2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，得到，，再根据平行四边形两种对边分别平行，求出，设直线与直线的距离为，分别表示出和，即可求出的值．
【详解】解：特例分析：，，
，
，
，
，
点D是点B的对应点，
旋转角，
故答案为：；
探究规律：由旋转的性质可知，，
，，，
，即，
点D、E分别是点B、C的对应点
，
在和中，
，
，
；
拓展延伸：（1），，
，
，
，
若是等腰三角形，
①当时，，
则，
解得：；
②当时，，
则，
③当时，，
则，
解得：（舍去），
综上可知，当是等腰三角形时旋转角α的度数为或；
（2）存在四边形是平行四边形，，理由如下：
，，
，，
若四边形是平行四边形，则，，
，，
，
，
设直线与直线的距离为，
则四边形的面积，的面积，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题关键．
23. 如图，的面积为，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，将线段绕点顺时针旋转至，设点的运动时间为（）．
（1） ；
（2）连结，当平分的面积时，求的值；
（3）求点运动路径长；
（4）点在线段上运动时，在射线上作一点，使，当为锐角时，直接写出取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）过点作交于点，过点作交于点，根据三角形的面积公式求出，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，，结合锐角三角函数的定义即可求解；
（2）连接，与交于点，根据题意可得是的中线，得出，根据题意得出，，求出，，根据相似三角形的判定和性质列出方程，解方程求出的值，即可；
（3）将线段绕点顺时针旋转至，连接；在上取一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接；过点作，与线段的延长线交于点，连接；过点作交于点，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，，根据矩形的判定和性质得出，，求出，根据勾股定理求出；分两种情况：①点在上，结合相似三角形的判定和性质得出：当点在上运动时，点的运动轨迹是线段，②点在上，结合相似三角形的判定和性质得出：当点在上运动时，点的运动轨迹是线段，即可求解；
（4）过点作交于点，连接，先求出，，结合、是直角三角形，推得当点在线段（不包含端点）上和点在线段的延长线（不包含点）上时，为锐角，分别列出不等式，求出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：过点作交于点，过点作交于点，如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：连接，与交于点，如图：
∵平分的面积，
即是的中线，
∴，
∵动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，将线段绕点顺时针旋转至，点的运动时间为，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
即当时，平分的面积．
【小问3详解】
解：将线段绕点顺时针旋转至，连接；在上取一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接；过点作，与线段的延长线交于点，连接；过点作交于点，如图：
在中，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，；
分两种情况：
①点在上，
当点与点重合时，点与点重合，
在与中，
，，，
∴，
∵点在上，线段绕点顺时针旋转至，线段绕点顺时针旋转至，
∴点在上，
即当点在上运动时，点的运动轨迹是线段，
故当点在上运动时，点的运动路径长为；
②点在上，
当点与点重合时，点与点重合，
在与中，
，，，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即当点在上运动时，点的运动轨迹是线段，
故当点在上运动时，点的运动路径长为；
综上，点的运动路径长为．
【小问4详解】
解：过点作交于点，连接，如图：
由（1）可得，，
∴，
由（2）可得，
∴，，
∵是直角三角形，
∴当点在线段（不包含端点）上时，为锐角，
即，
∴，
解得：；
∵是直角三角形，
∴为锐角，
当点在线段的延长线（不包含点）上时，如图：
对于，，
即为锐角，
即，
∴，
解得：，
当点与点重合时，运动停止，此时，
即当时，点在线段的延长线（不包含点）上，此时为锐角；
综上，当或时，为锐角．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 已知抛物线经过点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线上找一点，使是以为直角边的三角形，求点的坐标；
（3）交轴于点，点是抛物线上一动点，过点作于点，过点作的平行线，交轴于点．
①点在下方的抛物线上时，的值记为，求的最大值及此时点的坐标；
②抛物线与四边形交点的纵坐标的最大值记为，最小值记为，当时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）①的最大值为,；②或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）分，两种情况，讨论，根据分别求得,的坐标，代入解析式，即可求解；
（3）①过点作交于点，过点作轴，过点作于点，过点作交于点，解，得出，进而求得的最大值，即可求解；
②根据题意，则点只能在的下方，如图所示，设与抛物线的另一个交点为，设的解析式为，根据，以及一元二次方程根与系数的关系得出的值，进而联立直线解析式与抛物线解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴
解得：
∴抛物线的表达式为
【小问2详解】
解：如图所示，过点分别作轴的垂线交于点，
作，，则
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
设，则
∴，
∵在抛物线上，
∴
解得：或（舍去）
∴，
∴；
当时，同理可得
设，则
∵
∴，
∵在抛物线上，
∴
解得：或（舍去）
∴，
∴
综上所述，或
【小问3详解】
①如图所示，点在下方的抛物线上时，过点作交于点，过点作轴，过点作于点，过点作交于点，
∵，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴,
∴,
∵，
∴四边形平行四边形，
∴
∴
∴当取得最大值时，取得最大值
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
设，则
∴
当时，的最大值为,此时
∴的最大值为,
②解：依题意，，则点只能在的下方，如图所示，设与抛物线的另一个交点为
由①可得直线的解析式为
∵
设的解析式为，
联立
消去，得
设的横坐标为，则
∴
∴
∵，
∴
∴
解得：
∴设的解析式为
联立
解得：或
∵可以互换
∴或
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，解直角三角形，线段最值问题，平行四边形的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
乙
92
b
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
乙
92
b