安徽省合肥四十八中2025年中考数学一模试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥四十八中2025年中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (−2a2)3=−8a6
C. (a+b)2=a2+b2D. 2a+4a=6a2
3.如图几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.2023年我国经济持续发展，国内生产总值达到126万亿元，同比增长5.2%.其中126万亿用科学记数法可表示为( )
A. 1.26×1012B. 1.26×1013C. 1.26×1014D. 1.26×1015
5.如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是( )
A. 16，10.5B. 8，9C. 16，8.5D. 8，8.5
6.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠β=46°，则∠α的度数是( )
A. 54°
B. 46°
C. 34°
D. 44°
7.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是( )
A. y=2x2+3B. y=−1xC. y=x−5D. y=−2x+1
8.已知整数a，b满足a0，3a−b=−4，则a+b的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 2
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=(c+3a)x−ba的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，∠ABC=120°，∠ADC的平分线DE交AB于点E，AB=2AD，连接OE.下列结论：①S▱ABCD=AD⋅BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④OE：BD= 3：6；⑤S△ADE=5S△OFE，其中正确的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.分解因式：3x2−18x+27= ．
12.如图，⊙C经过正六边形ABCDEF的顶点A、E，则弧AE所对的圆周角∠APE等于______．
13.如图，把一块直角三角板(∠ABO=30°)的直角顶点O放在坐标原点处，顶点A在函数y1=−1x的图象上，顶点B在函数y2=kx的图象上，则k= ______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，连接AB′．
(1)AB′的最小值是______；
(2)若△AB′F为直角三角形，则BE的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 9−(2024−π)0+ 2cs45°．
16.(本小题8分)
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八，问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，问甲，乙二人原来各有多少钱？”
17.(本小题8分)
某校数学兴趣小组一次综合实践活动中，利用无人机测量一个池塘的宽度.如图，无人机在距离地面的铅直高度为24 3米的A处测得池塘左岸B处的俯角为63.4°，无人机沿水平线AC方向继续飞行12米至C处，测得池塘右岸D的俯角为30°.求池塘的宽度BD(结果精确到1米，参考数据： 3=1.7，sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)．
18.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)．
(1)将△ABC先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1(其中A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1)；
(2)再将线段AB绕点B1顺时针旋转90°得到线段A2B2，请画出线段A2B2；
(3)在网格内描出两个格点M，N，请画出直线MN，使得直线MN垂直平分线段A2B2．
19.(本小题10分)
观察以下等式：
第1个等式：1+11+21=52+32；
第2个等式：1+14+22=64+68；
第3个等式：1+19+23=76+1118；
第4个等式：1+116+24=88+1832；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______(用含n得到等式表示)，并证明．
20.(本小题10分)
如图1，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，且B为弧CF的中点，CF交AB于点H，若CG=2，CF=8．
(1)求半径的长；
(2)如图2，连接OH，BC，求证：OH⊥BC．
21.(本小题12分)
深化素质教育，促进学生全面发展，某校开展了丰富多彩的社团活动.为了了解七年级新生对选择社团的意向，对600名七年级新生进行了抽样调查．
秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图(不完整)，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求扇形统计图中m为______，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“B.足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为______；
(3)在社团招新生时，七(2)班的甲同学从他喜欢的A.机器人社团、B.足球、篮球社团、C.模拟联合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A.机器人社团、C.模拟联合国、D.民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率．
22.(本小题12分)
四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=90°．
(1)如图1，已知AC=CD．
①求证：∠ACD=2∠BAC；
②若OCOA=25，求OBOD的值；
(2)如图2，若∠BCD=90°，AB=AD，CD=3BC，求ACBD的值．
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于C．
(1)若点C的坐标为(0,3)．
①求抛物线的函数表达式；
②点P为该抛物线上一动点，过点P且与x轴垂直的直线交线段AC于D，交x轴于E.若PD−DE=1，求点P的横坐标；
(2)设a0，
解得a>−43，
∵a0，−ba=2是解题的关键．
【解答】
解：∵对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∴−ba=2
∵当x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，即a+2a+c>0，
∴3a+c>0，
∴一次函数y=(c+3a)x−ba的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于(0,2)，
故选：B．
10.【答案】B
【解析】解：在▱ABCD中，
∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=12AB，
∴E是AB的中点，
∴DE=BE，
∴∠BDE=12∠AED=30°，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，
∴S▱ABCD=AD⋅BD，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，
∴∠CDB=∠CDE−∠BDE=60°−30°=30°，
∴∠CDB=BDE，
故DB平分∠CDE，故②正确；
依据Rt△AOD中，AO>AD，即可得到AO>DE，故③错误；
∵O是BD中点，E为AB中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=12AD，OE/​/AD，
在Rt△ABD中，BD=AD⋅tan∠BAD= 3AD，
∴BD=2 3OE，
∴OE：BD= 3：6，故④正确；
∵OE/​/AD，
∴△ADF∽△OEF，
∴S△ADFS△OEF=(ADOE)2=4，AFOF=ADOE=2
∴S△ADF=4S△OEF，S△AEF=2S△OEF
∴S△ADE=S△ADF+S△AEF=6S△OEF，故⑤错误；
∴正确的有3个，
故选：B．
求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD⋅BD；根据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO>AD，即可得到AO>DE；由三角形中位线定理可得OE=12AD，OE/​/AD，解直角三角形得到BD=AD⋅tan∠BAD= 3AD，则BD=2 3OE，可得OE：BD= 3：6；证明△ADF∽△OEF，得到S△ADFS△OEF=(ADOE)2=4，AFOF=ADOE=2则S△ADF=4S△OEF，S△AEF=2S△OEF 即可得到S△ADE=S△ADF+S△AEF=6S△OEF．
本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，关键是平行四边形性质的应用．
11.【答案】3(x−3)2
【解析】解：3x2−18x+27，
=3(x2−6x+9)，
=3(x−3)2．
故答案为：3(x−3)2．
12.【答案】30°
【解析】【分析】
本题考查了正多边形与圆、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、多边形的内角和、三角形的内角和定理等知识点，能求出∠ACE的度数是解此题的关键．
根据正六边形的性质求出∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠BCD=∠D=120°，AB=BC，CD=DE，求出∠BCA=30°，∠DCE=30°，求出∠ACE，根据圆周角定理求出即可．
【解答】
解：连接AC、EC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠BCD=∠D=(6−2)×180°6=120°，
AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=12(180°−∠B)=30°，
同理∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠ACE=∠BCD−∠BCA−∠DCE=120°−30°−30°=60°，
∴∠APE=12∠ACE=30°，
故答案为：30°．
13.【答案】3
【解析】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∴∠EAO+∠AOE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
∴△AEO∽△BFO，
∵∠ABO=30°，
∴tan30°=AOBO= 33，
∴S△AEOS△BFO=(AOBO)2=13，
∵A在函数y1=−1x的图象上，
∴S△AEO=12，
∴S△BFO=32，
∴k=3．
故答案为：3．
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，易证△AEO∽△BFO，根据∠ABO=30°求出对应边的比，进而求出两个三角形面积的比求出k的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确添加辅助线构造相似三角形．
14.【答案】 7− 3 1或65
【解析】解：(1)由题意可得，CD=BD=B′D，
∴B′在以D为圆心CD为半径的圆上，如图一所示：
在点B′运动过程中，在△ADB′中，由三边关系得，
AB′≥AD−B′D，
在变化过程中，AD和B′D保持不变，
故AB′的最小值为AD−B′D，即如图二所示：
在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，
∴BC=2 3，AB=4，
∴CD=BD=B′D=12BC= 3，
在Rt△ACD中，AC=2，CD= 3，
∴AD= AC2+CD2= 22+( 3)2= 7，
故AB′的最小值为AD−B′D= 7− 3．
(2)△AB′F为直角三角形，分两种情况：
①∠AFB′=90°，
在Rt△BDF中，BD= 3，∠B=30°，
BF=32，
设BE=x，EF=32−x，
在Rt△B′EF中，∠EB′F=30°，EF=32−x，B′E=x，
x=2(32−x)，
解得x=1，
即BE=x．
②∠AB′D=90°，过E点作EH⊥AH交AB′的延长线与H点，如图四所示：
由折叠的性质可知，∠DBE=∠DB′E=30°，
∵∠AB′D=90°，
∴∠AB′E=90°+30°=120°，
∴∠EB′H=60°，
设BE=B′E=x，
∴在Rt△B′EH中，B′H=12x，HE= 32x，
在Rt△ACD和Rt△AB′D中，
AD=ADCD=B′D，
∴Rt△ACD≌Rt△AB′D(HL)，
∴AB′=AC=2，
在Rt△AHE中，AH=2+12x，HE= 32x，AE=4−x，
∴(2+12x)2+( 32x)2=(4−x)2，
解得：x=65．
综上，BE的长是1或65．
(1)找到点B′的运动轨迹，用三角形三边关系确定AB′的最小值即可；
(2)分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题．
本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题．
15.【答案】解：原式=3−1+ 2× 22
=3−1+1
=3．
【解析】先根据数的开方法则，非零数的零次幂，特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题主要考查的是实数的运算，非零数的零次幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握计算法则是解题的关键．
16.【答案】解：设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，根据题意，得
x+12y=4823x+y=48，
解得：x=36y=24，
解得：答：甲、乙两人各带的钱数为36和24．
【解析】设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48，乙的钱+甲所有钱的23=48，据此列方程组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
17.【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F.则四边形EBFD是矩形．

∴BE=DF=24 3,EF=BD，
在Rt△ABE中，∠BAC=63.4°，
∴tan63.4=BEAE=2，
∴24 3AE=2，
∴AE=12 3，
在Rt△FCD中，∠FCD=30°，
∴tan∠DCF=DFCF，
∴tan30°=24 3CF= 33，
∴DE=24 3× 3=72，
∴BD=EF=AC+CF−AE=72−12 3+12，
=84−12 3≈84−12×1.7=84−20.4≈64米．
答：池塘的宽度BD约为64米．
【解析】池塘的宽度BD约为64米
【分析】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，分别解Rt△FCD、Rt△ABE即可．
本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，线段A2B2即为所求；

(3)如图，直线MN即为所求．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．
本题考查作图−旋转变换，线段垂直平分线的性质，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．
19.【答案】解：(1) 1+125+25=910+2750．
(2)第n个等式：1+1n2+2n=n+42n+n2+22n2，
证明：等式左边=n2+1+2nn2=(n+1)2n2，
等式右边=n+42n+n2+22n2=n2+4n2n2+n2+22n2=2n2+4n+22n2=(n+1)2n2，
即等式左边=等式右边=(n+1)2n2，
∴等式成立，
【解析】解：(1)第5个等式：1+125+25=910+2750，
故答案为：1+125+25=910+2750．
(2)第n个等式：1+1n2+2n=n+42n+n2+22n2，
证明：等式左边=n2+1+2nn2=(n+1)2n2，
等式右边=n+42n+n2+22n2=n2+4n2n2+n2+22n2=2n2+4n+22n2=(n+1)2n2，
即等式左边=等式右边=(n+1)2n2，
∴等式成立，
故答案为：1+1n2+2n=n+42n+n2+22n2．
(1)根据前4个等式写出第5个等式即可；
(2)根据上述等式可得第n个等式：1+1n2+2n=n+42n+n2+22n2，再证明等式左边=等式右边即可．
本题考查的是列代数式和数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
20.【答案】5； 见解析．
【解析】(1)解：如图1，连接OB，设OB=OC=r．
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，
∴AC=BC,AG=BG=12AB，
∵B为弧CF的中点，
∴BC=BF，OB⊥CF，
∴AC+BC=BC+BF，即AB=CF，
∴AB=CF=8，
∴AG=BG=12AB=4，
在Rt△OGB中，则有r2=(r−2)2+42，
解得r=5；
(2)证明：如图2，连接BC，OB，
∵AC=BF，
∴∠BCH=∠CBH，
∴HB=HC，
在△OCH和△OBH中，OC=OB，HC=HB，OH=OH，
∴△OCH≌△OBH(SSS)，
∴∠COH=∠BOH，
∵OC=OB，
∴OH⊥BC．
(1)如图1，连接OB，设OB=OC=r.利用勾股定理构建方程求解；
(2)如图2，连接BC，OB，证明△OCH≌△OBH(SSS)，推出∠COH=∠BOH可得结论．
本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解题时的关键是掌握相关知识解决问题．
21.【答案】A 20 144°
【解析】解：(1)总人数=15÷25%=60(人)．
A类人数=60−24−15−9=12(人)．
∵12÷60=0.2=20%，
∴m=20；
条形统计图如图：
，
故答案为：20；
(2)∵2460×360°=144°，
∴圆心角的度数为144°；
故答案为：144°；
(3)画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中甲乙进入同一社团的有2种结果．
所以P(甲乙进入同一社团)=29．
(1)由C类人数除以其占比可得总人数，再求解A类人数，补全图形即可；
(2)由B类的占比乘以360°即可得到圆心角；
(3)先画树状图得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形的圆心角，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
22.【答案】(1)过C作CN⊥AD于M，交BD于N，如图：

①证明：设∠ACD=a，
∵AC=CD，
∴∠ACD=2∠ACM，
∵AD⊥AB，AD⊥CM，
∴AB/​/CM，
∴∠ACM=∠BAC，
∴∠ACD=2∠BAD；
②解：∵AB/​/CM，M为AD中点，
∴BN=DN，
∵OCOA=25，
∴ONOB=25，
∴OBOD=59；
(2)延长CD至E，使得DE=BC，连接AE，如图：

∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BDE=∠ADE+∠ADB=∠BCD+∠CBD，
∴∠ADE=45°+∠CBD，
又∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=45°+∠CBD，
∴∠ADE=∠ABC．
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠ABC=∠ADEBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴AE=AC，∠DAE=∠BAC，
∵∠BAD=90°，
∴∠CAE=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴CE= 2AC，即，BC+CD=CE= 2AC，
∵CD=3BC，
∴4BC= 2AC∴，
AC=2 2BC．
在直角△BCD中．BD= 10BC，
∴ACBD=2 55．
【解析】(1)过C作CN⊥AD于M，交BD于N，
①根据平行线的判定得出AB和CM平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；
②根据平行线分线段成比例，求出OB和ON的比，再根据中位线定理得出BN和DN的关系，从而得解；
(2)延长CD到E，使得DE=BC，连接AE，根据三角形全等得出AE=AC，从而求得AC和BC的关系，再根据勾股定理求出BD和BC的关系，从而得解．
本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键．
23.【答案】解：(1)①将A，B，C三点坐标，代入抛物线解析式得：
9a−3b+c=0a+b+c=0c=3，
解得：a=−1，b=−2，c=3，
∴抛物线的函数表达式为：y=−x2−2x+3；
②设AC所在直线的表达式为：y=tx+n，
∴−3t+n=0n=3，
解得：t=1，n=3，
∴y=x+3，
设P(t,−t2−2t+3)，则D(t,t+3)，E(t,0)，且−3≤t≤0，
∴PD−DE=PE−2DE=−t2−2t+3−2(t+3)=−t2−4t−3(−3≤t≤0)，
∵PD−DE=1，
∴−t2−4t−3=1，
解得：t=−2，
即点P的横坐标为−2；
(2)∵抛物线过A(−3,0)，B(1,0)两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，即b=2a．
∵a