2024年安徽省合肥四十二中中考数学模拟试卷（一）附解析

这是一份2024年安徽省合肥四十二中中考数学模拟试卷（一）附解析，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
2．（4分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.45×107B．4.5×107C．4.5×106D．45×106
3．（4分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a8B．（3xy）2＝6xy2
C．（b3）2＝b6D．3a÷2a＝a
5．（4分）如图，已知直线l1∥l2，将一个含45°角的三角尺按图中方式放置，如果∠1＝24°，那么∠2的度数为（ ）
A．24°B．45°C．66°D．21°
6．（4分）若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
7．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＞﹣1C．x＞0D．x＞1
8．（4分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，△EBC的边EB，EC分别与AD边相交于点F，G，若△EBG的面积为6，则FG与BC的长度比为（ ）
A．3：4B．3：5C．3：7D．3：8
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB+PQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．+3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）分解因式：x2+5x＝ ．
12．（5分）不等式x+2＞3x﹣4的解集是 ．
13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝6，则⊙O的半径为 ．
14．（5分）如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E，连接EF．
（1）tan∠EFC＝ ；
（2）将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，此时k的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）计算：﹣23+|1﹣|﹣2sin45°．
16．（8分）我国古代有一道著名的估算题，原文如下：
甲，乙二人隔溪牧羊，二人相互商量，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？
译文为：
甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？
请回答上述问题．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）如图，在网格纸中，有一个格点△ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请直接画出平移后的△A1B1C1；
（2）仅使用无刻度直尺画出∠CAB的角平分线，交BC于E点，标出点E（保留作图痕迹，无需写作法．）
18．（8分）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案：
（1）根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方形 个，白色正方形 个；
（2）第n个图案中有黑色正方形 个，白色正方形 个．（用含n的代数式表示）
（3）在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，csα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）
20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E．
（1）求证：∠DBE＝∠DCB；
（2）若BC＝4，BE＝4，求OE的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校七年级开展了一次知识竞赛活动，赛后随机抽取了七（1），七（2）两班各20名同学的初赛成绩x（单位：分）进行整理分析，给出了部分信息如下：
【信息一】七（1）班同学的样本成绩频数分布表：
【信息二】七（1）班样本成绩在70≤x＜80一组的是（单位：分）：73，73，73，77，79；七（1）班样本成绩的众数在70≤x＜80这一组．
【信息三】七（2）班样本成绩的平均数为74.5分，中位数为76分．
（1）七（1）班样本成绩的众数是 分，七（1）班样本成绩的中位数是 分，七（1）班样本成绩的平均数 分；
（2）根据两个班样本成绩的平均数和中位数，请你判断哪个班的竞赛初赛成绩较好；
（3）七（1）班抽取样本成绩在中90≤x≤100共有两名男生和两名女生，若从中选择两位同学参加决赛，恰好男女生各一名的概率是多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在正方形ABCD中，点F是CD的中点，连接AF并延长，与BC的延长线交于点E，作∠BAE的平分线交DC的延长线于点G，分别交BD，BC于点H，M．
（1）如图1，求的值；
（2）如图1，求证：△CGE≌△BMA；
（3）如图2，连接HF，FM，求证：FH＝FM．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线L：y＝ax2﹣4x+c（a＞0）与直线y＝ax﹣c都经过点A（﹣1，m），y＝ax﹣c与抛物线L的对称轴交于点B．（1）求m的值；
（2）求证：a2+c2＞4；
（3）当a＝1时，将抛物线L向左平移n（n＞0）个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求BM﹣AN的最大值，并求出此时n的值．
2024年安徽省合肥四十二中中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【答案】B
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
【解答】解：∵﹣2×＝1．
∴﹣2的倒数是﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．
2．（4分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.45×107B．4.5×107C．4.5×106D．45×106
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可．
【解答】解：4500000＝4.5×106，
故选：C．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数，正确确定a、n的值是解题的关键．
3．（4分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据简单组合体的三视图的画法可得答案．
【解答】解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，
因此选项D的图形比较符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提，掌握三视图的画法是解决问题的关键．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a8B．（3xy）2＝6xy2
C．（b3）2＝b6D．3a÷2a＝a
【答案】C
【分析】运用同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方和单项式除以单项式的计算方法进行逐一辨别．
【解答】解：∵a2•a3＝a5，
∴选项A不符合题意；
∵（3xy）2＝9x2y2，
∴选项B不符合题意；
∵（b3）2＝b6，
∴选项C符合题意；
∵3a÷2a＝，
∵∴选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方和单项式除以单项式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
5．（4分）如图，已知直线l1∥l2，将一个含45°角的三角尺按图中方式放置，如果∠1＝24°，那么∠2的度数为（ ）
A．24°B．45°C．66°D．21°
【答案】D
【分析】利用平行线的性质同旁内角互补，计算可得结论．
【解答】解：由题意含45°角的三角尺可知，
∠3＝45°，∠4＝90°．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2+∠4＝180°．
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3﹣∠4
＝180°﹣24°﹣45°﹣90°
＝21°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．解决本题亦可过三角形的另一个顶点作l1的平行线，利用45°角求解．
6．（4分）若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【答案】B
【分析】根据2、3、4的最小公倍数是12，设2a＝3b＝4c＝12k（k≠0），然后表示出a、b、c，再代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：设2a＝3b＝4c＝12k（k≠0），
则a＝6k，b＝4k，c＝3k，
所以，＝＝＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，利用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
7．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＞﹣1C．x＞0D．x＞1
【答案】C
【分析】先把（﹣1，0）代入y＝kx+b得b＝k，则k（x﹣1）+b＞0化为k（x﹣1）+k＞0，然后解关于x的不等式即可．
【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得﹣k+b＝0，解b＝k，
则k（x﹣1）+b＞0化为k（x﹣1）+k＞0，
而k＞0，
所以x﹣1+1＞0，
解得x＞0．
故选：C．
方法二：
一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移1个单位得y＝k（x﹣1）+b，
∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），
∴一次函数y＝k（x﹣1）+b（k＞0）的图象过点（0，0），
由图象可知，当x＞0时，k（x﹣1）+b＞0，
∴不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是x＞0，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点（﹣1，0）代入解析式求得k与b的关系是解题的关键．
8．（4分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
【答案】B
【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，△EBC的边EB，EC分别与AD边相交于点F，G，若△EBG的面积为6，则FG与BC的长度比为（ ）
A．3：4B．3：5C．3：7D．3：8
【答案】C
【分析】由正方形的性质可求S△BGC＝8，BC＝4，由面积的和差关系可求S△BCE＝14，即可求EM＝7，EN＝3，由相似三角形的判定和性质可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，交AD于N，
在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
又∵EM⊥BC，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB＝MN，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴正方形ABCD的面积＝4×4＝16，
∴S△BGC＝×16＝8，
∵△EBG的面积为6，
∴S△BCE＝8+6＝14＝×BC•EM，
∴EM＝7，
∴EN＝3，
∵AD∥BC，EM⊥BC，
∴△EFG∽△EBC，EN⊥AD，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB+PQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．+3
【答案】C
【分析】先算出AC，根据△ACP的面积为3，可得P点到AC的距离，画出P点所在直线l，作B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P，EQ即PB+PQ的最小值，因为点Q为AB中点，可得BQ＝CQ＝5，证△QFC≌△QFB，可得BF的长，由勾股定理得QF的长，因为B与E关于直线l对称，可得BE、EF的长，由勾股定理可得EQ的长，即PB+PQ的最小值．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
，
过P作PD⊥AC，交AC于点D，
∵△ACP的面积为3，S△ACP＝×AC×PD，
∴PD＝1，
作直线l∥AC，距离为1，则点P在直线l上运动且在△ABC内，B到直线l的距离为7，
作B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P，
∴EP＝BP，
∴PB+PQ＝EP+PQ＝EQ，EQ即PB+PQ的最小值，
过Q作QF⊥BC，交BC于点F，
∵点Q为AB中点，
∴BQ＝AQ＝CQ＝5，
∴∠QCF＝∠QBF，
∵QF⊥BC，
∴∠QFC＝∠QFB＝90°，即∠CQF+∠QCF＝∠BQF+∠QBF＝90°，
∴∠CQF＝∠BQF，
∵QF＝QF，
∴△QFC≌△QFB（SAS），
∴CF＝BF＝4，
∵BQ＝5，∠QFB＝90°，
∴QF＝＝3，
∵BE＝14，BF＝4，
∴EF＝10，
∴EQ＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是掌握将军饮马模型．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）分解因式：x2+5x＝ x（x+5） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过观察可知此题的公因式是x，直接提取可得．
【解答】解：x2+5x＝x（x+5）．
【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．
12．（5分）不等式x+2＞3x﹣4的解集是 x＜3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】解一元一次不等式步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
【解答】解：移项，得x﹣3x＞﹣4﹣2，
合并同类项，得﹣2x＞﹣6，
化系数为1，得 x＜3，
故答案为x＜3．
【点评】本题考查了一元一次不等式，熟练解一元一次不等式是解题的关键．
13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝6，则⊙O的半径为 ．
【答案】．
【分析】连接CO和BO，根据∠A＝45°，CD⊥AB于点D，推出AD＝CD＝6，算出BD，根据勾股定理算出BC，证△BCO是等腰直角三角形，根据代入计算即可．
【解答】解：如图，连接CO和BO，
∵∠A＝45°，CD⊥AB于点D，AB＝8，CD＝6，
∴∠ACD＝∠A＝45°，
AD＝CD＝6，
BD＝AB﹣AD＝8﹣6＝2，
∴，
∵∠A＝45°，
∴∠COB＝90°，（同弧所对圆周角是圆心角的一半）
又∵CO＝BO，
∴△BCO是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：
【点评】本题考查了圆周角定理，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质，掌握知识点计算是解题的关键．
14．（5分）如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E，连接EF．
（1）tan∠EFC＝ 2 ；
（2）将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，此时k的值为 ．
【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）用k分别表示出点E和点F的坐标即可解决问题．
（2）过点E作x轴的垂线，利用相似三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）因为四边形AOBC是矩形，且OB＝6，OA＝3，
所以xF＝6，yE＝3．
又因为点E和点F在反比例函数y＝的图象上，
所以点E坐标为（），点F坐标为（6，），
所以CE＝6﹣，CF＝3﹣．
在Rt△CEF中，
tan∠EFC＝．
（2）过点E作x轴的垂线，垂足为M，
因为点F坐标为（），点E坐标为（），
所以BF＝，CE＝．
有折叠可知，
tan∠GFE＝tan∠EFC＝2，
所以．
因为∠MEG+∠MGE＝∠MGE+∠BGF＝90°，
所以∠MEG＝∠BGF．
又因为∠EMG＝∠GBF＝90°，
所以△EMG∽△GBF，
所以，
所以MG＝，GB＝，
则MG+GB＝EC，
即，
解得k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，熟知一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）计算：﹣23+|1﹣|﹣2sin45°．
【答案】﹣9．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣8+﹣1﹣2×
＝﹣8+﹣1﹣
＝﹣9．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
16．（8分）我国古代有一道著名的估算题，原文如下：
甲，乙二人隔溪牧羊，二人相互商量，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？
译文为：
甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？
请回答上述问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
，
解得，，
答：甲有63只羊，乙有45只羊．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）如图，在网格纸中，有一个格点△ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请直接画出平移后的△A1B1C1；
（2）仅使用无刻度直尺画出∠CAB的角平分线，交BC于E点，标出点E（保留作图痕迹，无需写作法．）
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）结合等腰三角形的性质，取格点D，使AD＝AC＝5，连接CD，取CD的中点F，连接AF，与BC交于点E，则AE即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由勾股定理得，AC＝＝5，
如图，取格点D，使AD＝AC＝5，连接CD，取CD的中点F，连接AF，交BC于点E，
则AE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、等腰三角形的性质，熟练掌握平移的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
18．（8分）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案：
（1）根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方形 19 个，白色正方形 46 个；
（2）第n个图案中有黑色正方形 （3n+1） 个，白色正方形 （7n+4） 个．（用含n的代数式表示）
（3）在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）19，46；
（2）（3n+1），（7n+4）．
（3）不能，理由见解答．
【分析】（1）依次求出图形中黑色正方形和白色正方形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
第①个图案中黑色正方形的个数为：4＝1×3+1，白色正方形的个数为：11＝1×7+4；
第②个图案中黑色正方形的个数为：7＝2×3+1，白色正方形的个数为：18＝2×7+4；
第③个图案中黑色正方形的个数为：10＝3×3+1，白色正方形的个数为：25＝3×7+4；
…，
所以第n个图案中黑色正方形的个数为（3n+1）个，白色正方形的个数为（7n+4）个，
当n＝6时，
3n+1＝3×6+1＝19（个），
7n+4＝7×6+4＝46（个），
即第⑥个图案中黑色正方形的个数为19个，白色正方形的个数为46个．
故答案为：19，46．
（2）由（1）知，
第n个图案中黑色正方形的个数为（3n+1）个，白色正方形的个数为（7n+4）个．
故答案为：（3n+1），（7n+4）．
（3）不能，理由：
7n+4﹣（3n+1）＝2024，
解得n＝，
所以不能．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色正方形的个数依次增加3，白色正方形的个数依次增加7是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，csα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）
【答案】（1）9m．
（2）24m．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝x m，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵在Rt△DCE中，csα＝，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝x m，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，
解得DF＝x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°＝＝，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴AB＝++9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E．
（1）求证：∠DBE＝∠DCB；
（2）若BC＝4，BE＝4，求OE的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）OE的长为1．
【分析】（1）延长BE交⊙O于点F，连接CF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCF＝90°，从而可得∠F+∠FBC＝90°，再根据垂直定义可得∠BDC＝∠ADC＝90°，从而可得∠A+∠ACD＝90°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠F，从而可得∠ACD＝∠FBC，再利用等腰三角形的性质可得AB＝AC，从而可得∠ABC＝∠ACB，最后利用等式的性质可得∠DBE＝∠DCB，即可解答；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠DBE+∠DEB＝90°，∠FCE+∠DCB＝90°，从而利用等角的余角相等可得∠DEB＝∠FCE，再利用对顶角相等可得∠DEB＝∠FEC，从而可得∠FEC＝∠FCE，进而可得FE＝FC，然后设FE＝FC＝x，在Rt△CBF中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：延长BE交⊙O于点F，连接CF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∴∠F+∠FBC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠A＝∠F，
∴∠ACD＝∠FBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠DBE＝∠DCB；
（2）解：∵∠BDC＝90°，
∴∠DBE+∠DEB＝90°，
∵∠FCB＝90°，
∴∠FCE+∠DCB＝90°，
∵∠DBE＝∠DCB，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵∠DEB＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
设FE＝FC＝x，
在Rt△CBF中，BC＝4，BF＝BE+EF＝4+x，
∴BC2+CF2＝BF2，
∴32+x2＝（4+x）2，
解得：x＝2，
∴BF＝4+x＝6，
∴OB＝BF＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴OE的长为1．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校七年级开展了一次知识竞赛活动，赛后随机抽取了七（1），七（2）两班各20名同学的初赛成绩x（单位：分）进行整理分析，给出了部分信息如下：
【信息一】七（1）班同学的样本成绩频数分布表：
【信息二】七（1）班样本成绩在70≤x＜80一组的是（单位：分）：73，73，73，77，79；七（1）班样本成绩的众数在70≤x＜80这一组．
【信息三】七（2）班样本成绩的平均数为74.5分，中位数为76分．
（1）七（1）班样本成绩的众数是 73 分，七（1）班样本成绩的中位数是 78 分，七（1）班样本成绩的平均数 77.2 分；
（2）根据两个班样本成绩的平均数和中位数，请你判断哪个班的竞赛初赛成绩较好；
（3）七（1）班抽取样本成绩在中90≤x≤100共有两名男生和两名女生，若从中选择两位同学参加决赛，恰好男女生各一名的概率是多少？
【答案】（1）73，78，77.2；
（2）七（1）班的竞赛初赛成绩较好；
（3）．
【分析】（1）根据众数、中位数以及平均数的定义即可得出结论；
（2）从平均数和中位数两方面进行判断即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好男女生各一名的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：七（1）班样本成绩的众数是73分，七（1）班样本成绩的中位数是＝78（分），
七（1）班样本成绩的平均数＝×（51×2+62×4+75×5+87×5+96×4）＝77.2（分），
故答案为：73，78，77.2；
（2）七（1）班的竞赛初赛成绩较好，理由如下：
七（1）样本成绩的平均数、中位数大于七（2）班的，因此七（1）的竞赛初赛成绩较好；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好男女生各一名的结果有8种，
∴恰好男女生各一名的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及平均数、中位数、众数等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在正方形ABCD中，点F是CD的中点，连接AF并延长，与BC的延长线交于点E，作∠BAE的平分线交DC的延长线于点G，分别交BD，BC于点H，M．
（1）如图1，求的值；
（2）如图1，求证：△CGE≌△BMA；
（3）如图2，连接HF，FM，求证：FH＝FM．
【答案】（1）；
（2）见解析过程；
（3）见解析过程．
【分析】（1）由正方形的性质可得AB∥CD，AB＝AD＝CD＝BC，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠GAF＝∠AGF，可得AF＝GF＝DF，即可求解；
（2）利用相似三角形的性质可证AB＝CE，BM＝CG，由“SAS”可证△CGE≌△BMA；
（3）利用相似三角形的性质可证MG＝AH，由“SAS”可证△AFH≌△GFM，可求解．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠BAM＝∠AGD，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF＝CD，
∴AB＝DC＝2DF，AF＝DF，
∵AG平分∠BAE，
∴∠BAM＝∠GAF，
∴∠GAF＝∠AGF，
∴AF＝GF＝DF，
∴CG＝GF﹣CF＝（﹣1）DF，
∴＝；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝1，
∴AD＝CE，
∴AB＝CE，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∴CM＝BM，
∵CM+BM＝BC＝2DF，
∴BM＝（﹣1）DF＝CG，
又∵∠ABC＝∠GCE＝90°，
∴△CGE≌△BMA（SAS）；
（3）∵AB∥CD，
∴△ABH∽△GDH，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴△ABM∽△GCM，
∴，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴MG＝AH，
又∵∠GAF＝∠AGF，AF＝GF，
∴△AFH≌△GFM（SAS），
∴HF＝MF．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线L：y＝ax2﹣4x+c（a＞0）与直线y＝ax﹣c都经过点A（﹣1，m），y＝ax﹣c与抛物线L的对称轴交于点B．（1）求m的值；
（2）求证：a2+c2＞4；
（3）当a＝1时，将抛物线L向左平移n（n＞0）个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求BM﹣AN的最大值，并求出此时n的值．
【答案】．
【分析】（1）把A代入y＝ax2﹣4x+c与y＝ax﹣c中，得m＝a+4+c①，m＝﹣a﹣c②，①+②得m＝2．
（2）由a+c＝m＝﹣2得a2+2ac+c2＝4，由a+c＝﹣2，a＞0，得﹣2ac＞0，故a2+c2＞4．
（3）由a＝1得抛物线L为y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，得M（2，n2﹣7），故n2﹣7＜5，由BM＝5﹣（n2﹣7）＝12﹣n2，AN＝（n﹣3）2﹣7﹣2＝n2﹣6n，得BM﹣AM＝12﹣n2﹣（n2﹣6n）＝﹣2n2+6n+12，再利用顶点式计算即可．
【解答】（1）解：把A代入y＝ax2﹣4x+c与y＝ax﹣c中，
得m＝a+4+c①，m＝﹣a﹣c②，
①+②得m＝2．
（2）证明：∵a+c＝﹣m＝﹣2，
∴（a+c）2＝（﹣2）2，
∴a2+2ac+c2＝4，
∴a2+c2＝4﹣2ac．
∵a+c＝﹣2，
又a＞0，
∴c＜0，
∴ac＜0，
∴﹣2ac＞0，
∴4﹣2ac＞4，
∴a2+c2＞4．
（3）如图：
∵a＝1，
∴c＝﹣3，
∴将抛物线L为y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，
直线为y＝x+3，
∵抛物线L向左平移，
∴抛物线P为y＝（x﹣2+n）2﹣7，
∵抛物线L的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，
∴M（2，n2﹣7），
∵直线与抛物线L的对称轴交于点B，
∴B（2，5），
∵点M在点B的下方，
∴n2﹣7＜5，
∵AN∥x轴，
2＝（x﹣2+n）2﹣7，
x＝5﹣n
∵点N在点A的右侧，
∴（n﹣3）2﹣7＞2，
∴BM＝5﹣（n2﹣7）＝12﹣n2，
AN＝5﹣n+1＝6﹣n，
∴BM﹣AM＝12﹣n2﹣6+n＝﹣n2+n+6，
∴对称轴为直线x＝时，
y最大，
故n＝．
【点评】本题考查了二次函数的知识，掌握二次函数最值的求法是解题关键．
成绩x（分）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
2
4
5
5
4
各组平均数/分
51
62
75
87
96
成绩x（分）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
2
4
5
5
4
各组平均数/分
51
62
75
87
96