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2023年安徽省合肥市第四十二中学中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年安徽省合肥市第四十二中学中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在﹣1，0，﹣2，这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．
2．（4分）据报道，2023年2月合肥市人口达到963.4万人，将963.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．9.634×102 B．9.634×106 C．0.9634×107 D．963.4×104
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a9 B．a3•a4＝a12
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a5）2＝a10
4．（4分）下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100° B．180° C．210° D．270°
6．（4分）关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（4分）如图为三阶魔方，将六个面分别涂有不同颜色的魔方平均分割成27个大小相同的小立方块，从中任取一个小立方块，恰好有三面涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），则代数式b2+6a2的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（4分）如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，若BC＝2，AB＝4，则点D到AC的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
12．（5分）化简：＝ ．
13．（5分）如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么这个扇形的面积为 ．
14．（5分）已知二次函数y＝x2﹣（a+1）x+3．
（1）当a＝2时，二次函数的最小值为 ；
（2）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2﹣（a+1）x+3的最小值为1，则a＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）观察下列各式：
①＝2；②＝2；③＝2；④＝2……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式 ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（2，4），B（1，2），C（4，1），△DEF各顶点的坐标为D（4，﹣4），E（5，﹣2），F（2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ．
18．（8分）如图，一气球到达离地面高度为12米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．气球要竖直上升到与楼顶同一水平高度，应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．
20．（10分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点P在y轴上，且，请求出点P的坐标．
六、（本题满分12分）
21．（12分）中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）求出扇形中m＝ ，A实验所对应的圆心角为 ；
（3）根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动．某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔售价每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
八、（本题满分14分）
23．（14分）【初步尝试】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB、AD边上的点且DE⊥CF，求证：DE＝CF．
（2）【思考探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为BC中点，点F为AE上一点，连接CF、DF且CF＝CD，求DF的值．
（3）【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝45°，，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．直接写出的值．
2023年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在﹣1，0，﹣2，这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．
解：∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，
∴﹣2＜﹣1＜0＜．
故选：C．
2．（4分）据报道，2023年2月合肥市人口达到963.4万人，将963.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．9.634×102 B．9.634×106 C．0.9634×107 D．963.4×104
解：963.4万＝9634000＝9.634×106．
故选：B．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a9 B．a3•a4＝a12
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a5）2＝a10
解：A．a6和a3不是同类项，不能相加，故原选项计算错误，不合题意；
B．a3•a4＝a7，故原选项计算错误，不合题意；
C． （a+1）2＝a2+2a+1，故原选项计算错误，不合题意；
D． （a5）2＝a10，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
4．（4分）下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不是中心对称图形，此选项符合题意；
B、正方体的主视图是正方形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、圆柱体的主视图是矩形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
D、球的主视图是中心对称图形，此选项不符合题意；
故选：A．
5．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100° B．180° C．210° D．270°
解：延长AB，DC，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠4+∠5）＝360°﹣180°＝180°．
故选：B．
6．（4分）关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＜0，
解得m＜﹣1，
由一次函数y＝mx﹣m可得k＝m＜0，
b＝﹣m＞0，
∴一次函数y＝mx﹣m过一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
7．（4分）如图为三阶魔方，将六个面分别涂有不同颜色的魔方平均分割成27个大小相同的小立方块，从中任取一个小立方块，恰好有三面涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：由图可知，三阶魔方的小立方体共有27个，恰有三个面都涂色的小立方体正是处于三阶魔方的每个面的交点处的小立方
体，也就是上面4个，下面4个，共8个，
故随机取出一个小正方体的概率为8÷27＝，
故选：A．
8．（4分）二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），则代数式b2+6a2的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），
∴b＝a2﹣2，
∴a2＝b+2，
∴b2+6a2
＝b2+6（b+2）
＝b2+6b+12
＝（b+3）2+3；
所以代数式b2+6a2的最小值是3，
故选：B．
9．（4分）如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，若BC＝2，AB＝4，则点D到AC的距离是（ ）
A． B． C． D．
解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DG⊥CB，交CB的延长线于点G，
∵∠ABC＝90°，BC＝2，AB＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠ADB＝90°，DA＝DB，
∴∠DBA＝∠DAB＝45°，AD＝BD＝＝＝2，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠DBG＝90°﹣∠DBA＝45°，
在Rt△DBG中，DB＝2，
∴DG＝DB•sin45°＝2×＝2，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积+△ADB的面积﹣△DBC的面积，
∴AC•DF＝AB•BC+AD•DB﹣BC•DG，
∴×2DF＝×4×2+×2×2﹣×2×2，
∴DF＝4+4﹣2，
∴DF＝，
∴点D到AC的距离是，
故选：B．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．
∵点P是△ACB的内心，∠C＝90°，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴点P在以K为圆心，KA为半径的圆上运动，
∵AB＝10，AK＝BK，∠AKB＝90°，
∴AK＝BK＝KP＝5，∠ABK＝45°，
∵∠ABT＝90°，
∴∠KBT＝45°，
∴KT＝BT＝5，
∵OA＝OB＝BD＝5，
∴DT＝10，
∴DK＝＝5，
∴DP≥DK﹣PK＝5﹣5，
∴DP的最小值为5﹣5．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（5分）化简：＝ ．
解：
＝
＝2（x﹣1）
＝2x﹣2，
故答案为：2x﹣2．
13．（5分）如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么这个扇形的面积为 ．
解：如图，连接BC，
∵∠A＝90°
∴BC是直径，BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理求得：AB＝AC＝2，
∴扇形的面积为＝2π．
故答案为：2π．
14．（5分）已知二次函数y＝x2﹣（a+1）x+3．
（1）当a＝2时，二次函数的最小值为 ；
（2）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2﹣（a+1）x+3的最小值为1，则a＝ ．
解：（1）当a＝2时，y＝x2﹣（2+1）x+3＝x2﹣3x+3＝（x﹣）2+，
∵1＞0，
∴当x＝时，y有最小值，最小值为，
故答案为：；
（2）对于y＝x2﹣（a+1）x+3，对称轴为x＝﹣＝，
①当＜﹣1，即a＜﹣3时，
此时对称轴在﹣1≤x≤2的左侧，
∵抛物线开口向上，
∴当﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y有最小值1，即1+（a+1）+3＝1，
解得a＝﹣4；
②当﹣1≤≤3时，即﹣3≤a≤5时，
∵抛物线开口向上，
∴当x＝时，y有最小值1，
即＝1，
整理得：a2+2a﹣7＝0，
解得a1＝﹣1﹣2（舍去），a2＝﹣1+2；
∴a＝﹣1+2；
③当＞3时，即a＞5时，
∵抛物线开口向上，
当﹣1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y有最小值，
即22﹣2（a+1）+3＝1，
解得a＝2，不合题意，舍去，
综上所述，a＝﹣4或﹣1+2．
故答案为：﹣4或﹣1+2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
解：
＝﹣1﹣2﹣5+
＝﹣8+．
16．（8分）观察下列各式：
①＝2；②＝2；③＝2；④＝2……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式 ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
解：（1）第6个式子：．
故答案为：．
（2）．
证明：左边＝＝＝右边．
∴猜想的第n个式子成立．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（2，4），B（1，2），C（4，1），△DEF各顶点的坐标为D（4，﹣4），E（5，﹣2），F（2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）∵B（1，2），E（5，﹣2），
∴P点的横坐标为＝3，纵坐标为＝0，
即点P的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
18．（8分）如图，一气球到达离地面高度为12米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．气球要竖直上升到与楼顶同一水平高度，应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
解：过A作AD⊥BC，垂足为点D，过A作AE⊥EC，垂足为点E，
∴四边形AECD是矩形，
∴CD＝AE，
由题意可知：CD＝AE＝12，∠CAD＝60°，∠BAD＝37°，
在Rt△ADC中，
∴，
在Rt△ADB中，
∴BD＝AD×tan37°＝6.94×0.75＝5.205≈5.2（米）．
答：气球应至少再上升5.2米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．
（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝AC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2．
20．（10分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点P在y轴上，且，请求出点P的坐标．
解：（1）将A（﹣2，4）代入得：4＝，
∴m＝﹣8，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6．
（3）在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
六、（本题满分12分）
21．（12分）中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）求出扇形中m＝ ，A实验所对应的圆心角为 ；
（3）根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．
解：（1）45÷30%＝150（名），
∴随机调查了150名同学．
B实验主题的人数为150﹣45﹣24﹣27＝54（名）．
补全频数分布直方图如图所示．
故答案为：150．
（2）1﹣30%﹣36%﹣18%＝16%，
∴m＝16，
A实验所对应的圆心角为30%×360°＝108°．
故答案为：16；108°．
（3）4000×16%＝640（人），
答：在全校4000名学生中，有640人对“水球光学实验”感兴趣．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动．某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔售价每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
解：（1）设A类头盔每个的进价是m元，B类头盔每个的进价是n元，
根据题意得：
，
解得，
答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；
（2）根据题意得：
y＝（x﹣36）（100﹣×10）＝﹣2x2+272x﹣7200＝﹣2（x﹣68）2+2048，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝68，
∴当x＝68时，y有最大值，最大值为2048，
答：y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利润为2048元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）【初步尝试】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB、AD边上的点且DE⊥CF，求证：DE＝CF．
（2）【思考探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为BC中点，点F为AE上一点，连接CF、DF且CF＝CD，求DF的值．
（3）【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝45°，，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．直接写出的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF；
（2）解：如图1，
延长AE，交DC的延长于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠G，
∵∠AEB＝∠CEG，BE＝CE，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AB，
∵CF＝CD，
∴CF＝CD＝CG，
∴点D、F、G在以点C为圆心，CD为半径的圆上，
∴∠DFG＝90°，
∵BE＝BC＝1，AB＝3，
∴AE＝＝，
∴sinG＝sin∠BAE＝＝，
∴DF＝DG•sinG＝6×＝；
（3）解：如图2，
过点C作CT⊥AD于T，作BG⊥CT于G，作GH∥CE，
∴∠ATG＝∠ABG＝∠A＝90°，
∴四边形ABGT是矩形，
∴GT∥AB，
∴四边形CEHG是平行四边形，
∴GH＝CE，
∵GH∥CE，CE⊥BF，
∴GH⊥BF，
同理（1）可得：∠ABF＝∠BGH，
∵∠GBH＝∠BAF＝90°，
∴△GBH∽△BAF，
∴，
∴，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CBG＝90°﹣∠ABC＝45°，
∵BC＝AB，
∴设AB＝3，BC＝，
∴CG＝BG＝BC•cos∠CBG＝，
∴．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/19 8:28:36；用户：王梓锋；邮箱：18813974184；学号：46897787
2023年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在﹣1，0，﹣2，这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．
2．（4分）据报道，2023年2月合肥市人口达到963.4万人，将963.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．9.634×102 B．9.634×106 C．0.9634×107 D．963.4×104
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a9 B．a3•a4＝a12
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a5）2＝a10
4．（4分）下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100° B．180° C．210° D．270°
6．（4分）关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（4分）如图为三阶魔方，将六个面分别涂有不同颜色的魔方平均分割成27个大小相同的小立方块，从中任取一个小立方块，恰好有三面涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），则代数式b2+6a2的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（4分）如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，若BC＝2，AB＝4，则点D到AC的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
12．（5分）化简：＝ ．
13．（5分）如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么这个扇形的面积为 ．
14．（5分）已知二次函数y＝x2﹣（a+1）x+3．
（1）当a＝2时，二次函数的最小值为 ；
（2）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2﹣（a+1）x+3的最小值为1，则a＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）观察下列各式：
①＝2；②＝2；③＝2；④＝2……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式 ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（2，4），B（1，2），C（4，1），△DEF各顶点的坐标为D（4，﹣4），E（5，﹣2），F（2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ．
18．（8分）如图，一气球到达离地面高度为12米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．气球要竖直上升到与楼顶同一水平高度，应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．
20．（10分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点P在y轴上，且，请求出点P的坐标．
六、（本题满分12分）
21．（12分）中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）求出扇形中m＝ ，A实验所对应的圆心角为 ；
（3）根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动．某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔售价每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
八、（本题满分14分）
23．（14分）【初步尝试】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB、AD边上的点且DE⊥CF，求证：DE＝CF．
（2）【思考探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为BC中点，点F为AE上一点，连接CF、DF且CF＝CD，求DF的值．
（3）【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝45°，，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．直接写出的值．
2023年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在﹣1，0，﹣2，这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．
解：∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，
∴﹣2＜﹣1＜0＜．
故选：C．
2．（4分）据报道，2023年2月合肥市人口达到963.4万人，将963.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．9.634×102 B．9.634×106 C．0.9634×107 D．963.4×104
解：963.4万＝9634000＝9.634×106．
故选：B．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a9 B．a3•a4＝a12
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a5）2＝a10
解：A．a6和a3不是同类项，不能相加，故原选项计算错误，不合题意；
B．a3•a4＝a7，故原选项计算错误，不合题意；
C． （a+1）2＝a2+2a+1，故原选项计算错误，不合题意；
D． （a5）2＝a10，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
4．（4分）下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不是中心对称图形，此选项符合题意；
B、正方体的主视图是正方形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、圆柱体的主视图是矩形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
D、球的主视图是中心对称图形，此选项不符合题意；
故选：A．
5．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100° B．180° C．210° D．270°
解：延长AB，DC，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠4+∠5）＝360°﹣180°＝180°．
故选：B．
6．（4分）关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＜0，
解得m＜﹣1，
由一次函数y＝mx﹣m可得k＝m＜0，
b＝﹣m＞0，
∴一次函数y＝mx﹣m过一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
7．（4分）如图为三阶魔方，将六个面分别涂有不同颜色的魔方平均分割成27个大小相同的小立方块，从中任取一个小立方块，恰好有三面涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：由图可知，三阶魔方的小立方体共有27个，恰有三个面都涂色的小立方体正是处于三阶魔方的每个面的交点处的小立方
体，也就是上面4个，下面4个，共8个，
故随机取出一个小正方体的概率为8÷27＝，
故选：A．
8．（4分）二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），则代数式b2+6a2的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），
∴b＝a2﹣2，
∴a2＝b+2，
∴b2+6a2
＝b2+6（b+2）
＝b2+6b+12
＝（b+3）2+3；
所以代数式b2+6a2的最小值是3，
故选：B．
9．（4分）如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，若BC＝2，AB＝4，则点D到AC的距离是（ ）
A． B． C． D．
解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DG⊥CB，交CB的延长线于点G，
∵∠ABC＝90°，BC＝2，AB＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠ADB＝90°，DA＝DB，
∴∠DBA＝∠DAB＝45°，AD＝BD＝＝＝2，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠DBG＝90°﹣∠DBA＝45°，
在Rt△DBG中，DB＝2，
∴DG＝DB•sin45°＝2×＝2，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积+△ADB的面积﹣△DBC的面积，
∴AC•DF＝AB•BC+AD•DB﹣BC•DG，
∴×2DF＝×4×2+×2×2﹣×2×2，
∴DF＝4+4﹣2，
∴DF＝，
∴点D到AC的距离是，
故选：B．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．
∵点P是△ACB的内心，∠C＝90°，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴点P在以K为圆心，KA为半径的圆上运动，
∵AB＝10，AK＝BK，∠AKB＝90°，
∴AK＝BK＝KP＝5，∠ABK＝45°，
∵∠ABT＝90°，
∴∠KBT＝45°，
∴KT＝BT＝5，
∵OA＝OB＝BD＝5，
∴DT＝10，
∴DK＝＝5，
∴DP≥DK﹣PK＝5﹣5，
∴DP的最小值为5﹣5．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（5分）化简：＝ ．
解：
＝
＝2（x﹣1）
＝2x﹣2，
故答案为：2x﹣2．
13．（5分）如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么这个扇形的面积为 ．
解：如图，连接BC，
∵∠A＝90°
∴BC是直径，BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理求得：AB＝AC＝2，
∴扇形的面积为＝2π．
故答案为：2π．
14．（5分）已知二次函数y＝x2﹣（a+1）x+3．
（1）当a＝2时，二次函数的最小值为 ；
（2）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2﹣（a+1）x+3的最小值为1，则a＝ ．
解：（1）当a＝2时，y＝x2﹣（2+1）x+3＝x2﹣3x+3＝（x﹣）2+，
∵1＞0，
∴当x＝时，y有最小值，最小值为，
故答案为：；
（2）对于y＝x2﹣（a+1）x+3，对称轴为x＝﹣＝，
①当＜﹣1，即a＜﹣3时，
此时对称轴在﹣1≤x≤2的左侧，
∵抛物线开口向上，
∴当﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y有最小值1，即1+（a+1）+3＝1，
解得a＝﹣4；
②当﹣1≤≤3时，即﹣3≤a≤5时，
∵抛物线开口向上，
∴当x＝时，y有最小值1，
即＝1，
整理得：a2+2a﹣7＝0，
解得a1＝﹣1﹣2（舍去），a2＝﹣1+2；
∴a＝﹣1+2；
③当＞3时，即a＞5时，
∵抛物线开口向上，
当﹣1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y有最小值，
即22﹣2（a+1）+3＝1，
解得a＝2，不合题意，舍去，
综上所述，a＝﹣4或﹣1+2．
故答案为：﹣4或﹣1+2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
解：
＝﹣1﹣2﹣5+
＝﹣8+．
16．（8分）观察下列各式：
①＝2；②＝2；③＝2；④＝2……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式 ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
解：（1）第6个式子：．
故答案为：．
（2）．
证明：左边＝＝＝右边．
∴猜想的第n个式子成立．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（2，4），B（1，2），C（4，1），△DEF各顶点的坐标为D（4，﹣4），E（5，﹣2），F（2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）∵B（1，2），E（5，﹣2），
∴P点的横坐标为＝3，纵坐标为＝0，
即点P的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
18．（8分）如图，一气球到达离地面高度为12米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．气球要竖直上升到与楼顶同一水平高度，应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
解：过A作AD⊥BC，垂足为点D，过A作AE⊥EC，垂足为点E，
∴四边形AECD是矩形，
∴CD＝AE，
由题意可知：CD＝AE＝12，∠CAD＝60°，∠BAD＝37°，
在Rt△ADC中，
∴，
在Rt△ADB中，
∴BD＝AD×tan37°＝6.94×0.75＝5.205≈5.2（米）．
答：气球应至少再上升5.2米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．
（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝AC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2．
20．（10分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点P在y轴上，且，请求出点P的坐标．
解：（1）将A（﹣2，4）代入得：4＝，
∴m＝﹣8，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6．
（3）在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
六、（本题满分12分）
21．（12分）中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）求出扇形中m＝ ，A实验所对应的圆心角为 ；
（3）根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．
解：（1）45÷30%＝150（名），
∴随机调查了150名同学．
B实验主题的人数为150﹣45﹣24﹣27＝54（名）．
补全频数分布直方图如图所示．
故答案为：150．
（2）1﹣30%﹣36%﹣18%＝16%，
∴m＝16，
A实验所对应的圆心角为30%×360°＝108°．
故答案为：16；108°．
（3）4000×16%＝640（人），
答：在全校4000名学生中，有640人对“水球光学实验”感兴趣．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2022年4月1日起，合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动．某商家同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商家发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔售价每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
解：（1）设A类头盔每个的进价是m元，B类头盔每个的进价是n元，
根据题意得：
，
解得，
答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；
（2）根据题意得：
y＝（x﹣36）（100﹣×10）＝﹣2x2+272x﹣7200＝﹣2（x﹣68）2+2048，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝68，
∴当x＝68时，y有最大值，最大值为2048，
答：y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利润为2048元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）【初步尝试】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB、AD边上的点且DE⊥CF，求证：DE＝CF．
（2）【思考探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为BC中点，点F为AE上一点，连接CF、DF且CF＝CD，求DF的值．
（3）【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝45°，，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．直接写出的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF；
（2）解：如图1，
延长AE，交DC的延长于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠G，
∵∠AEB＝∠CEG，BE＝CE，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AB，
∵CF＝CD，
∴CF＝CD＝CG，
∴点D、F、G在以点C为圆心，CD为半径的圆上，
∴∠DFG＝90°，
∵BE＝BC＝1，AB＝3，
∴AE＝＝，
∴sinG＝sin∠BAE＝＝，
∴DF＝DG•sinG＝6×＝；
（3）解：如图2，
过点C作CT⊥AD于T，作BG⊥CT于G，作GH∥CE，
∴∠ATG＝∠ABG＝∠A＝90°，
∴四边形ABGT是矩形，
∴GT∥AB，
∴四边形CEHG是平行四边形，
∴GH＝CE，
∵GH∥CE，CE⊥BF，
∴GH⊥BF，
同理（1）可得：∠ABF＝∠BGH，
∵∠GBH＝∠BAF＝90°，
∴△GBH∽△BAF，
∴，
∴，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CBG＝90°﹣∠ABC＝45°，
∵BC＝AB，
∴设AB＝3，BC＝，
∴CG＝BG＝BC•cos∠CBG＝，
∴．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/19 8:28:36；用户：王梓锋；邮箱：18813974184；学号：46897787
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