2024-2025学年天津四十五中高二（下）第一次质检数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津四十五中高二（下）第一次质检数学试卷（3月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若An2=20，则n的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.下列函数的求导正确的是( )
A. (x−2)′=−2xB. (sinx)′=−csx
C. (ex+ln3)′=ex+13D. (lnx2)′=2x
3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在区间(a,b)内有极大值点( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，则f(4)+f′(4)=( )
A. 10B. 20C. 30D. 40
5.已知函数f(x)=(2−x)ex−ax在(0,2)上为减函数，则a的取值范围是( )
A. (−∞,2e)B. [e,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)
6.永沙高级中学学生会有8位学生春游，其中高一学生2名、高二学生3名、高三学生3名.现将他们排成一列，要求2名高一学生相邻、3名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有( )
A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种
7.成都七中举行的秋季运动会中，有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种
A. 12B. 14C. 16D. 18
8.已知函数f(x)=13x3+3x2+ax的导函数为f′(x).若g(x)=14x，对任意x1∈[12,1]，存在x2∈[12,2]，使f′(x1)≤g(x2)成立，则实数a( )
A. 有最大值−132B. 有最小值−114C. 有最大值−114D. 有最小值−132
9.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)=e，且对任意的x满足f′(x)−f(x)xex的解集是( )
A. (−∞,1)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (1,+∞)
二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。
10.五名旅客在三家旅店投宿的方法有______种.
11.函数f(x)=x−2lnx+1的单调递减区间为______．
12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+1x，则f(1)= ______．
13.将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法数为______．
14.若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是__________．
15.已知函数f(x)=x3−3x，若对于区间[−3,2]上任意的x1，x2都有|f(x1)−f(x2)|≤t，则实数t的最小值是______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x3−ax2+12x+b在x=2处取得极小值5．
(1)求实数a，b的值；
(2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的最小值．
17.(本小题15分)
在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数．
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？
18.(本小题15分)
设函数．
(1)若f(x)在x=0处取得极值，求实数a的值；
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围．
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．
(Ⅰ)当k=6时，
(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(ⅱ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9x的单调区间和极值；
(Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.B
5.D
6.B
7.B
8.A
9.A
10.243
11.(0,2)
12.3
13.480
14.(−∞,1e2]
15.20
16.解：(1)由f(x)=2x3−ax2+12x+b，得f′(x)=6x2−2ax+12，
因为f(x)在x=2处取极小值5，所以f(2)=24−4a+12=0，解得a=9，
此时f′(x)=6x2−18x+12x=6(x−1)(x−2)，
所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=2时取极小值，符合题意，
所以a=9，f(x)=2x3−9x2+12x+b．
又f(2)=4+b=5，所以b=1，
所以a=9，b=1．
(2)f(x)=2x3−9x2+12x+1，所以f′(x)=6(x−1)(x−2)，
f(x)和f′(x)随着x的变化情况如下表所示．
所以x∈[0,3]时，f(x)min=f(0)=1．
17.
18.解：(1)f′(x)=−3x2+(6−a)x+aex，
∵f(x)在x=0处取得极值，∴f′(0)=0，解得a=0，
当a=0时，f(x)=3x2ex，f′(x)=−3x2+6xex，符合题设；
(2)由f(x)在[3,+∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在[3,+∞)上恒成立，
可得a≥−3x2+6xx−1在[3,+∞)上恒成立．
令u(x)=−3x2+6xx−1，u′(x)=−3[(x−1)2+1](x−1)20，
∴g′(x)=3x2−6x+6x−3x2=3x4−6x3+6x−3x2=3(x−1)3(x+1)x2，
令g′(x)=0，解得x=1，
当0x2，令x1x2=t，t>1，
则(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+klnx1x2)，
=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2klnx1x2，
=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2lnt)，①
令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，
当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，
∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，
∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，
∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，
∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，
由(Ⅰ)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(1)，
即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，
由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]>0，
∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2． x
0
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
1
↑
极大值6
↓
极小值5
↑
10