2024-2025学年天津市高二下册第一次月考（3月）数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年天津市高二下册第一次月考（3月）数学质量检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 函数在处的切线方程为，则， 函数的导函数为， 已知函数的图像开口向下，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据求导公式以及求导法则即可求解.
【详解】由可得，
故选：B
2. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】按导数公式及法则逐个求导对比即可.
【详解】由求导公式及法则可知：
对于选项A，，所以选项A错误；
对于选项B，，所以选项B错误；
对于选项C，，所以选项C错误；
对于选项D，，所以选项D正确.
故选：D
3. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ）
A. (0，1)B. (1，2)
C. (2，3)D. (0，1)(2，3)
【正确答案】B
【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．
【详解】由图象知在上是减函数，所以解集是．
故选：B．
4. 函数在处的切线方程为，则（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
【正确答案】B
【分析】根据导数的几何意义确定导数值和函数值．
【详解】由题意，又切线方程是时，，所以，
．
故选：B．
5. 函数的导函数为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据积的导数的运算法则求导函数.
【详解】因为，
所以.
故选：D
6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据在上恒成立求解．
【详解】∵，∴．
又函数 在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．
∵当时，，∴．
所以实数的取值范围是．
故选：B．
本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当时，则函数在区间上单调递减；而当函数在区间上单调递减时，则有在区间上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．
7. 已知函数的图像开口向下，，则
A. B. C. 2D. -2
【正确答案】B
【分析】利用瞬时变化率的定义和导数求解.
【详解】由题意，
由导数的定义可知，
解得，
又因为的图像开口向下，所以，
所以.
故选B
本题主要考查瞬时变化率和导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8. 如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）

A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
【正确答案】C
【分析】根据导函数的图象分析函数的单调性，得到函数的性质，逐项判断各选项的正确性.
【详解】由导函数的图象可知：
当和时，；当和时，.
所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为：，.
极大值点为：，极小值点为和.
故ABD选项的内容正确，C选项内容错误.
故选：C
9. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由题意，由此构造函数，判断其单调性，将化为，即，即可求得答案.
【详解】由题意对任意的，都有，即，
令，则，
即为R上的增函数，
而，故，
又即，即，
所以，即不等式的解集为，
故选：D
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分
10. 曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【正确答案】
【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】解：
则
所以
故答案为-3.
本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．
11. 曲线在点处的切线方程为________.
【正确答案】
【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中可求出切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程.
【详解】由，得，
所以所求切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即.
故
12. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____.
【正确答案】
【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围.
【详解】f′(x)＝3x2＋2mx＋1.由题意得Δ＝4m2－12≤0，解得，即实数m的取值范围是.
故
13. 函数极小值是______．
【正确答案】2
【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值.
【详解】由题意可得．由，得或；由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，则．
故
14. 已知函数，则的单调递增区间为_________.
【正确答案】，
【分析】利用导数分析函数的单调区间.
【详解】因为，，
所以，，
由或.
所以函数的单调递增区间为：，.
故，.
15. 若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为________.
【正确答案】
【分析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.根据导数的几何意义即可求解．
【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小．
设切点为，
∴切线斜率为，
由题知，解得或(舍)．
∴，此时点到直线距离．
故．
三、解答题：共4小题，共75分（18+18+18+21=75分）
16. 已知函数，，．若处与直线相切．
（1）求，的值；
（2）求在，上的最大值．
【正确答案】（1）；（2） .
【分析】（1）对进行求导，先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于，的方程求得，的值．
（2）判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值．
【详解】（1）函数，，
函数在处与直线相切，
，解得；
（2），，
当时，令得：，
令，得，
在，，上单调递增，
在，上单调递减，
所以函数的极大值就是最大值，
（1）．
本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
17. 若函数，当时，函数有极值．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）对求导后，由已知列方程组，求出，再由导数的意义得到切线的斜率和点代入曲线方程，得到，最后由点斜式得到直线方程；
（2）先求出的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围.
【小问1详解】
，
由题意得，
解得，
所以，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
由（1）得，
令，解得或，
所以
所以，当时，有极大值；当时，有极小值，
所以得图像大致如下：
若有3个不同的根，则直线与函数的图像有3个交点，
所以.
18. 已知，函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围．
【正确答案】（1）2；（2）．
【分析】（1）根据题意知切线的斜率为，求导代入可得，求解即可；
（2）根据题意可得在上恒成立，参变分离可得，求函数的最值即可得解.
【详解】（1）因为，
所以曲线在点处的切线斜率．
而直线的斜率为，则，得．
（2）由在上单调递减，
得在上恒成立，
即在上恒成立．
又时，，所以，
所以的取值范围是．
19. 已知函数，（且）
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：；
（3），若在上恒成立，求实数取值范围．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，从而判断导数正负，即可判断函数单调性；
（2）要证明，即证，由此构造函数，利用导数求解函数最值即可证明；
（3）将在上恒成立，参变分离整理即为在上恒成立，由此构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得答案.
【小问1详解】
由题意得函数的定义域为，
，
当时，，则在上单调递增；
当时，令，则，
当时，，则，在上单调递减；
当时，，则，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
证明：当时，，
要证明，即证明：，即证；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故时的极大值点，也是最大值点，
则，即，
故.
【小问3详解】
由题意得，
在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，上单调递减，
故，
故
方法点睛：（1）利用导数证明不等式时，转化为函数的最值问题解决，即整理变形，构造函数，从而利用导数求解；（2）不等式恒成立问题要参变分离，构造函数，转化为函数最值问题求解.
0
0
递增
递减
递增