2024-2025学年天津市天津中学高一下学期第一次阶段性检测（3月）数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市天津中学高一下学期第一次阶段性检测（3月）数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.向量AB−CB+CA=( )
A. 0B. −2ACC. 2BCD. 2AC
2.已知a=2,0，b=1,3，c=2a+b，则b⋅c=( )
A. 4B. 6C. 14D. 18
3.如图，在四边形ABCD中，DC=2AB，BE=2EC，设DC=a，DA=b，则DE等于( )
A. 56a+12bB. 23a+12bC. 56a+13bD. 23a+13b
4.在▵ABC中，若b=3，c= 6，C=π4，则角B的大小为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. π3或2π3
5.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=π6，b= 3，a=3，则c=( )
A. 3或2 3B. 2 3或3C. 3或3D. 3
6.在▵ABC中，已知b2+c2−bc=a2，且btanC=ctanB，则▵ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰直角三角形
C. 有一个角为60 ∘的直角三角形D. 等边三角形
7.已知向量a=b=1,c= 32，且a+b−2c=0，则cs=( )
A. −12B. − 32C. 12D. 32
8.已知平面向量a,b满足a=1，b=2，且a−2b⊥a，则a−b=( )
A. 6B. 5C. 2D. 1
9.若非零向量a，b满足a=2b，且向量b在向量a上的投影向量是−14a，则向量a与b的夹角为( )
A. π6B. 2π3C. 5π6D. π
10.设O为▵ABC所在平面内一点，满足OA+2OB+2OC=0，则▵ABC的面积与▵BOC的面积的比值为( )
A. 6B. 83C. 127D. 5
11.在Rt△ABC中，AC=BC=4，D为AB的中点，P为线段CD上的一个动点，则(PA+PB)⋅PC的最小值为( )
A. − 6B. −4C. −3D. −2
二、填空题：本题共13小题，每小题5分，共65分。
12.下列四个说法：①若a=0，则a=0；②若a=b，则a=b或a=−b；③若a//b，则a=b；④若a//b，b//c，则a//c.其中错误的是 (填序号)．
13.正六边形ABCDEF的边长为1，则AB⋅AC+AC⋅AD+AD⋅AB= ．
14.已知向量a,b满足a=2,a+2b=a−b，则a+b= ．
15.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则cs∠EMF= ．
16.已知a=x,2x,b=−3x,2，如果a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
17.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b=3,c=4,csB+C=−23,则a= ．
18.已知向量a=1,1，b=x,tx+2，若存在x∈R，使得a与b的方向相反，则实数t的取值范围是 ．
19.已知向量a，b满足a=2，b=3,0，则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为1,0，则a−b= ．
20.设平面向量a=sinθ,1,b=csθ, 3，若a,b不能组成平面上的一个基底，则 3sinθ+csθ2 3sinθ−csθ= ．
21.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a= 3，(sinA−sinB)(b+ 3)=c(sinB+sinC)，则▵ABC的外接圆半径为 ．
22.在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，∠ABC=60 ∘，BC=2，AB=4，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=λBC，DF=12λDC，则AE⋅BF的最小值为 ．
23.如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若AB⋅BO=−3，则AP⋅BP的最小值为 ．
24.已知G是▵ABC的重心，过点G作一条直线与边AB，AC分别交于点E，F(点E，F与所在边的端点均不重合)，设AB=xAE，AC=yAF，则1x+1y的最小值是 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
25.(本小题12分)
已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2,BE=−e1+λe2,EC=−2e1+e2，且A,E,C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1=2,1,e2=2,−2，求BC的坐标；
(3)已知D3,5，在(2)的条件下，若A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
26.(本小题12分)
已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a− 3ccsB= 3bcsC．
(1)求角B的大小；
(2)若c= 3，a+b=2，求▵ABC的面积．
27.(本小题12分)
▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA+C2=bsinA．
(1)求B；
(2)若▵ABC为锐角三角形，b= 3，求2a−c的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.D
5.A
6.D
7.D
8.C
9.B
10.D
11.B
12.②③④
13.112
14.2
15. 210/110 2
16.−∞,−13∪−13,0∪43,+∞
17.3
18.1,+∞
19. 7
20.2
21.1
22.4 6−13
23.−34
24.43
25.(1)AE=AB+BE=2e1+e2+−e1+λe2=e1+1+λe2．
因为A,E,C三点共线，所以存在实数k，使得AE=kEC，
即e1+1+λe2=k−2e1+e2，得1+2ke1=k−1−λe2．
因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量，所以1+2k=0k−1−λ=0，解得k=−12,λ=−32
(2)BE+EC=−3e1−12e2=(−6,−3)+(−1,1)=(−7,−2)．
(3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以AD=BC．
设Ax,y，则AD=3−x,5−y，
因为BC=−7,−2，所以3−x=−75−y=−2，解得x=10y=7,
即点A的坐标为10,7．

26.(1)因为2a− 3ccsB= 3bcsC，
由正弦定理可得：2sinAcsB− 3sinCcsB= 3sinBcsC，
所以2sinAcsB= 3sinCcsB+csCsinB= 3sinC+B= 3sinA，
因为sinA≠0，所以csB= 32．
又B∈0,π，所以B=π6．
(2)由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB⇒b2=a2+3−3a，
又a+b=2，所以2−a2=a2+3−3a⇒a=1．
所以S▵ABC=12acsinB=12×1× 3×12= 34．

27.(1)因为asinA+C2=bsinA，由正弦定理得sinAsinπ−B2=sinBsinA，
故sinAcsB2=2sinB2csB2sinA，
在▵ABC中，0