2024-2025学年第二学期浙江省杭州市八年级期中数学模拟预测试卷解答

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1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【详解】解：选项A、B、D的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
（3分）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，
获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．
则麦苗又高又整齐的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．
【详解】∵=＞=，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故选D．
3．（3分）若方程有实数根，则值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据，得有实数根，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵方程有实数根，
∴
解得
四个选项，只有C选项符合
故选：C
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
设点，由平行四边形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：设点，
四边形是平行四边形，点，点，点，
，，
，，
点，
故选：C．
5 .（3分）下表是某篮球队的年龄分布，对于不同的值，
下列关于年龄的数据量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．中位数、众数
C．中位数、方差D．平均数、方差
【答案】B
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为20，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第30、31个数据的平均数，可得答案．
【详解】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为，
则总人数为：（人），
因为13岁出现的次数最多为25次，
故该组数据的众数为13岁，
第30、31个数据为13、13，
故中位数为：（岁），
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，而平均数与方差都会随x的变化而变化．
故选：B．
6.（3分）如图，是三角形的中位线，平分，且，
若，，则的长为（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，进而求出EF．
【详解】解：∵DE是三角形ABC的中位线，BC=11，
∴DE=BC=5.5，
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=7，
则DF=AB=3.5，
∴EF=DE-DF=5.5-3.5=2，
故选：C．
7 .（3分）若关于x的方程有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】A
【分析】此题主要考查方程有解的情况，解题的关键是根据题意分情况讨论．
根据题意分一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论即可求解．
【详解】当方程为一元二次方程时，，且，
即，
解得；，
故且，
当方程为一元一次方程时，，方程的根为，
综上，k的取值为，
故选：A
8.（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= BC= 2，
∵ G， H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH =AF，
∴当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，
∵∠B= 45°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴GH =，
即GH的最小值为，
故选：A．
9 （3分）. 某商店销售连衣裙，每条盈利元，每天可以销售条．商店决定降价销售，经调查，每降价元，商店每天可多销售条连衣裙．若想要商店每天盈利元，每条连衣裙应降价（ ）
A． 元B． 元C． 元D．元或元
【答案】D
【分析】假设每条连衣裙降价元，根据题意可列出每天可售出多少条，再根据总利润单件利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解出即为结论．
【详解】设每条连衣裙降价元，则每天售出条，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
每条连衣裙应降价元或元，
故选：．
10 （3分）. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形．连结并延长，分别交和于点M和点N，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，先证出，利用等角对等边可证出，然后利用勾股定理求出的长，进而即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决此题的关键．
【详解】解：∵由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
∴，
∴,
∴，
故选：B．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若关于x的方程有一个根是1，则 ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
（3分）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．
如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ．

【答案】12°/12度
【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小．
【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°，
正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°．
∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°．
故答案为：12°．
13．（3分）若是关于的方程的解，则的值为 ．
【分析】将代入方程之中得，
再将整体代入之中即可得出答案．
【解答】解：是关于的方程的解，
，
即，
．
故答案为：2021．
14（3分）如图，在中，、的平分线、分别与相交于点E、F，
与相交于点G，若，则的长为 ．

【答案】
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，可得；过作，交于，交于，证明是等腰三角形，进而得到，再利用勾股定理计算出的长，进而可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
、的平分线、分别与相交于点、，
，
，
．
过作，交于，交于，如图所示：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
15（3分）如图，为的对角线，，点在上，连接，
分别延长，交于点，若，则的长为 ．

【答案】
【分析】此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，根据平行四边形性质，三角形全等的判定和性质证明，进而得出，根据垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
垂直平分，
．
故答案为：．
16.（3分）如图，在四边形中，，，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．

【答案】4或5或
【分析】此题考查了动点问题，平行四边形的性质，解一元一次方程，根据平行四边形的性质得到当或或时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形，据此列一元一次方程求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点P以与秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
∵，
∴当或或时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
当时，则6﹣t＝16﹣3t，
解得：，
综上所述：t的值为4或5或，
故答案为：4或5或．
三、解答题（本题共有8小题，共72分，请务必写出解答过程）
17．（6分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质化简，然后再根据二次根式加减运算法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18.（6分）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键；
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
∴或，
∴
（2）
∴
∴，
∴方程有两不等实数根，
∴，
∴．
19．（8分）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，均在格点上．请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的四边形．
（1）在图1中画一个面积为4的．
（2）在图2中画一个有一条对角线长等于3的平行四边形．
【分析】（1）画一个底为2，高为2的平行四边形即可；
（2）画一个对角线的平行四边形即可．
【解答】解：（1）如图1中，平行四边形即为所求；
（2）如图2中，平行四边形即为所求．
（8分）某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，
两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表．

(1)写出上表中a、b、c的值；
(2)结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？
(3)计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定．
【答案】(1)
(2)八（1）班成绩好些
(3)八（1）班代表队选手的成绩较为稳定
【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可；
（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；
（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：八（1）班的平均成绩是：（分），
在八（1）班成绩中85出现了2次，出现的次数最多；（分），
把八（2）班的成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100，最中间的数是80，则中位数（分）；
故：；
（2）解：八（1）班成绩好些，
因为两个队的平均数都相同，八（1）班的中位数高，
所以在平均数相同的情况下，中位数高的八（1）班成绩好些；
（3）解：八（1）班的方差是：，
八（2）班的方差是：，
∵，
∴八（1）班代表队选手的成绩较为稳定．
21（10分） .如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．

(1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，；
(3)当时，四边形的面积等于．
【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值；
（2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值．
【详解】（1）解：由题意，得，．
故答案为：，；
（2）解：在中，由勾股定理，得，
解得：，；
（3）解：由题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
四边形的面积．
答：当时，四边形的面积等于．
22．（10分）如图，在中，分别平分和，交于点E、F．

(1)求证：；
(2)过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)36
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，可证，即可得证；
（2）过点E作于点P，根据角平分线的性质可得，再根据题意可得，再利用求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
分别平分和，
，
，
，
；
（2）解：过点E作于点P，
∵分别平分和，
∴，
的周长为36，
，
．

23（12分）．根据以下素材，完成探索任务：
【答案】任务1：，；任务2：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；任务3：A包装的售价为108元，B包装的售价为117元
【分析】本题考查二次函数的应用．
任务1.根据A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．可得A、B两种商品在原来销售量的基础上得到的新的销售量；
任务2.总利润＝A包装商品的利润＋B包装商品的利润，设总利润为w，A包装商品降价x元，得到相关的二次函数，求得最大利润即可；
任务3.设设总利润为w，A包装商品降价x元，根据总销售量为110件得到B包装商品的销售量，结合任务1可得B包装商品需提价多少，根据函数值超过1430可得x的取值范围，写出一种方案即可．
【详解】解：任务1.
∵A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，原来的销售量是40件，
∴每件A包装商品售价降低x元（x为整数），A包装商品每日的总销售量为件；
∵B包装商品售价每提高1元就少卖出2件，原来的销售量是80件，
∴每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件．
故答案为：，；
任务2.
设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件．
∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价x元．
∴
；
∴时，利润最大．
∴（元），（元）．
答：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；
任务3.由素材3可得销售量减少10件．
设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件．
∵每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件．
∴．
∴．
∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价元．
∴
∴
整理得：
解得：
∴当时，销售总利润超过1430元．
∴A包装的售价为元，B包装的售价为元，一天的销售总利润超过1430元．
24（12分）．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

(1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
(2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
(3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)-或或
【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可；
（2）利用证明，得，可证明结论；
（3）首先利用含角的直角三角形的性质求出的长，再分或或三种情形，分别画出图形，从而解决问题．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；

（2）连接，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）作于，
四边形平行四边形，
，，，
平分，
，

，
，
四边形是“等邻边四边形”，
当时，；
当时，作于，

，
在中，由勾股定理得，，
；
当时，，，，
，

，
，
，
，
，
，
，
综上：或或．
年龄/岁
12
13
14
15
频数
15
25
平均数/分
中位数/分
众数/分
八（1）
a
85
c
八（2）
85
b
100
如何制定商店的销售定价方案
素材1
商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：

A包装
B包装
售价（元/件）
112
108
日销售量（件）
40
80

素材2
为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元．
素材3
销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件．
任务1
探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件．
任务2
探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价．
任务3
确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可）