2024-2025学年第二学期浙江省杭州市八年级期中数学模拟试卷解答

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1．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．标准差
【答案】B
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，根据平均数、众数、中位数、方差的意义即可求解．
【详解】解：根据题意，从7个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到5个有效评分．
5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可.
【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B. 与-不是同类二次根式，不能合并，故错误；
C. ，故正确；
D. ，故错误.
故选C.
4．（3分）一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
【详解】解：，
∴即，
故选：B．
5．（3分）如图，在中，的角平分线交边于点E，的角平分线交边于点F，若，，则线段的长为（ ）

A．1.5B．2C．2.5D．3
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴
，
又平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴
∴，
又平分，
，
，
∴，
．
故选：B．
6．（3分）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式．求出判别式的符号，即可得出结论，掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选A．
7．（3分）在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：、∵，
∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意；
、∵，
∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意；
、由，，判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意；
故选：．
8．（3分）某农户，用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长，且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为 ，如图所示，若可列方程为★，则★表示的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】确定平行于墙的一`边与的关系即可求解．
【解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：，
即为：．
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，是对角线上两点，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，而，得到，由等腰三角形的性质推出，，由三角形外角的性质推出，得到，由平行四边形的性质推出，得到，求出，即可得到．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：．
10．（3分）对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程，根据根的判别式判断①；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③．
【详解】解：①，
方程有两个相等的实数根．
①正确；
②一元二次方程（为常数）最多有两个解，
②错误；
③方程的解为，
将代入得，即：，
将代入得，即：，
∴，则，
即：
③正确．
故选：B．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若代数式有意义，则的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
【解答】解：代数式有意义，
x+1>0
解得：x>-1
故的取值范围是x>-1．
12.（3分）若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求解即可，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为：．
13．（3分）甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示，统计两人成绩的方差为，，则 （填“”或“” ．
【分析】根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．
【解答】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差大，即．
故答案为：．
14．（3分）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．

【答案】
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知：
∵小明需要转次才会回到原点，
∴小明共走了米，
故答案为：．
15.（3分）如图，在四边形中，，，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．
【答案】4或5或
【分析】此题考查了动点问题，平行四边形的性质，解一元一次方程，根据平行四边形的性质得到当或或时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形，据此列一元一次方程求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点P以与秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
∵，
∴当或或时，P、Q与四边形中任意两个顶点构成平行四边形．
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
当时，则6﹣t＝16﹣3t，
解得：，
综上所述：t的值为4或5或，
故答案为：4或5或．
16（3分） . 数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则 ．
【答案】
【分析】连接，利用直角性质求得，，由折叠的性质以及，推出是线段的垂直平分线，则，求得，证明四边形是平行四边形，得到，在求得即可．
【详解】解：连接，
∵平行四边形纸片，且，，
∴，，
∴，，
由折叠的性质知，，，是线段的垂直平分线，则，
∵，
∴，即，
∴，由平行四边形的性质得，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共有8小题，共72分，请务必写出解答过程）
17．（6分）解方程：（1）．
（2）．
【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可；
（2）方程利用配方法求解即可．
【解答】解：（1），
，
或，
解得，；
（2），
，
，
，
，
，．
18．解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）运用分解因式法解一元二次方程即可；
（2）运用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
分解因式得：，
或，
解得：，；
（2）解：，
移项得，
配方得，即，
，
解得：，．
19．（8分）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，均在格点上．请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的四边形．
（1）在图1中画一个面积为4的．
（2）在图2中画一个有一条对角线长等于3的平行四边形．
【分析】（1）画一个底为2，高为2的平行四边形即可；
（2）画一个对角线的平行四边形即可．
【解答】解：（1）如图1中，平行四边形即为所求；
（2）如图2中，平行四边形即为所求．
20．（8分）弘扬中华传统文化，感受中华诗词的独特魅力，校团委会举办首届“校园诗词大会”，初赛共10道题，每题10分，王敏从初赛名单中随机抽取部分同学的成绩，绘制出如下的统计图（1）和图（2）．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)图（1）a的值为___，补全条形统计图；
(2)求被抽取的初赛成绩的平均数，众数和中位数；
(3)如果初赛成绩在90分或90分以上的同学进入复赛，请估计参加初赛的200位同学中有多少同学可以参加复赛．
【答案】(1)25；补全条形统计图见解析
(2)这组数据的平均数，众数，中位数分别为82分，90分，80分；
(3)估计参加复赛的同学大约有90人．
【分析】（1）求出调查总人数，可确定出a的值，求得90分的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出这组数据的平均数，众数，以及中位数即可；
（3）求出初赛成绩在90分或90分以上的同学占的百分比，乘以200即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意得：
被抽取的总人数为：2÷10%=20（人），
a%=5÷20=25%，即a=25，
90分的人数为：20×30%=6（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：25；
（2）解：∵被抽取的初赛成绩的平均数为：82（分），
∴这组数据的平均数是82分；
∵这组数据中，90分出现了6次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为90分；
∵将这组数据按照从小到大顺序排列，其中处于中间的两个数都是80分，
∴这组数据的中位数为80分；
故这组数据的平均数，众数，中位数分别为82分，90分，80分；
（3）解：根据题意得：×200=90（人），
则估计参加复赛的同学大约有90人．
21 （10分）.如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
(1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，；
(3)当时，四边形的面积等于．
【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值；
（2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值．
【详解】（1）解：由题意，得，．
故答案为：，；
（2）解：在中，由勾股定理，得，
解得：，；
（3）解：由题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
四边形的面积．
答：当时，四边形的面积等于．
22．（10分）如图，在中，是边上的一点，连结并延长，与的延长线相交于点．
（1）若是的中点，求证：．
（2）若于点，，且，，求与的距离．
【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，由平行线的性质得到，，而，由证明△△，得到，推出；
（2）由平行四边形的性质推出，，，得到，由垂直的定义得到，求出，判定△是等腰直角三角形，求出，得到，因此，判定△是等腰直角三角形，求出，即可得到与的距离是6．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是中点，
，
△△，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
于点，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
与的距离是6．
23（12分）．根据以下素材，完成探索任务：
【答案】任务1：，；任务2：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；任务3：A包装的售价为108元，B包装的售价为117元
【分析】本题考查二次函数的应用．
任务1.根据A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．可得A、B两种商品在原来销售量的基础上得到的新的销售量；
任务2.总利润＝A包装商品的利润＋B包装商品的利润，设总利润为w，A包装商品降价x元，得到相关的二次函数，求得最大利润即可；
任务3.设设总利润为w，A包装商品降价x元，根据总销售量为110件得到B包装商品的销售量，结合任务1可得B包装商品需提价多少，根据函数值超过1430可得x的取值范围，写出一种方案即可．
【详解】解：任务1.
∵A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，原来的销售量是40件，
∴每件A包装商品售价降低x元（x为整数），A包装商品每日的总销售量为件；
∵B包装商品售价每提高1元就少卖出2件，原来的销售量是80件，
∴每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件．
故答案为：，；
任务2.
设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件．
∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价x元．
∴
；
∴时，利润最大．
∴（元），（元）．
答：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；
任务3.由素材3可得销售量减少10件．
设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件．
∵每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件．
∴．
∴．
∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价元．
∴
∴
整理得：
解得：
∴当时，销售总利润超过1430元．
∴A包装的售价为元，B包装的售价为元，一天的销售总利润超过1430元．
24（12分）．已知中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
（1）如图1，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点停止运动时点也停止，设运动时间为，若，当为多少秒时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
（3）在（1）的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，
若，求△的面积 ．
【分析】（1）可证，从而可证，即可求解；
（2）当时，四边形是平行四边形，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可求解；
（3）设边上的高为边上的高为，，可得，即可求解．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
△是等边三角形，
，
；
（2），
当时，四边形是平行四边形，
，
，
①时，，解得：（不合题意，舍去）；
②时，当，解得：；
③时，，解得：；
④，当时，解得：；
综上所述：为4.8秒或8秒或9.6秒；
（3）如图，设边上的高为，边上的高为，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
△是等边三角形，
，
故答案为：．
如何制定商店的销售定价方案
素材1
商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：

A包装
B包装
售价（元/件）
112
108
日销售量（件）
40
80

素材2
为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元．
素材3
销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件．
任务1
探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件．
任务2
探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价．
任务3
确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可）