【七年级（上）数学】暑期预科全套讲义（北师大版）（老师版+含答案）

这是一份【七年级（上）数学】暑期预科全套讲义（北师大版）（老师版+含答案），共158页。学案主要包含了方法总结，解题思路，解答过程，方法点睛等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9850" 第01讲 生活中的立体图形 PAGEREF _Tc9850 \h 1
\l "_Tc28169" 第02讲 展开与折叠 PAGEREF _Tc28169 \h 31
\l "_Tc22244" 第03讲 截一个几何体 PAGEREF _Tc22244 \h 54
\l "_Tc5800" 第04讲 从三个方向看物体的形状 PAGEREF _Tc5800 \h 63
\l "_Tc3457" 第05讲 有理数的概念和分类 PAGEREF _Tc3457 \h 93
\l "_Tc10331" 第06讲 数轴和相反数 PAGEREF _Tc10331 \h 99
\l "_Tc16746" 第07讲 绝对值及其应用 PAGEREF _Tc16746 \h 108
\l "_Tc23078" 第08讲 有理数的加减运算 PAGEREF _Tc23078 \h 117
\l "_Tc8686" 第09讲 有理数的乘除、乘方运算 PAGEREF _Tc8686 \h 120
\l "_Tc5862" 第10讲 有理数的应用 PAGEREF _Tc5862 \h 126
\l "_Tc15073" 第11讲 单项式与多项式 PAGEREF _Tc15073 \h 132
\l "_Tc25664" 第12讲 代数式求值 PAGEREF _Tc25664 \h 138
\l "_Tc13110" 第13讲 合并同类项 PAGEREF _Tc13110 \h 141
\l "_Tc13784" 第14讲 整式的加减 PAGEREF _Tc13784 \h 147
\l "_Tc22993" 第15讲 整式加减的应用 PAGEREF _Tc22993 \h 153
第01讲 生活中的立体图形
01课堂目标
02知识梳理
1．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2．立体图形的分类
（1）常用的立体图形的分类为：球，柱体（圆柱、棱柱），椎体（圆锥、棱锥），台体（圆台、棱台）.
（2）也可按照会否有曲面分类：①有曲面（球、圆柱、圆锥），②无曲面（棱柱、棱锥）.
3．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看：点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
4．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式：
（3）常见的几种几何体的体积的计算公式：
03例题精析
立体图形的认识
题型一
例1
写出下图中各个几何体的名称．

①__________；②__________；③__________；
④__________；⑤__________；⑥__________．
【答案】①圆柱；②圆锥；③四棱锥；④五棱柱；⑤三棱锥；⑥长方体（或四棱柱）
【解析】
【分析】
分别根据圆柱、圆锥、四棱锥、五棱柱、三棱锥、四棱柱的基本特点即可进行判断得出．
【详解】
解：圆柱的侧面展开图是一个长方形，两个底面是圆形，由此可得①为圆柱；
圆锥的侧面展开图是一个扇形，底面是一个圆形，可得②为圆锥；
四棱锥的侧面是四个三角形，底面是一个四边形，可得③为四棱锥；
五棱柱的侧面是五个长方形，底面是两个五边形，可得④为五棱柱；
三棱锥的侧面是三个三角形，底面也是一个三角形，可得⑤为三棱锥；
四棱柱的侧面是四个长方形，底面是两个四边形，可得⑥为四棱柱或长方体．
例2
将如图几何体分类，并说明理由．

【答案】柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球；见解析
【解析】
【分析】
根据立体图形的分类：柱体，锥体，球体，可得答案．
【详解】
解：根据几何体的概念可得，柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；
锥体：④圆锥；
球体：⑤球．
例3
在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据每一个几何体的特征判断即可．
【详解】
在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是①长方体；②圆柱；④五棱柱；⑥正方体
故选：A．
变式1
下列几何体中，属于棱柱的有________（填序号）．

【答案】①③⑤
【解析】
【分析】
根据棱柱的特征进行判断即可．
【详解】
解：棱柱的两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面是长方形，
因此①③⑤是棱柱，而②是圆柱，④是圆锥，⑥是球，
故答案为：①③⑤．
变式2
（1）下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称；
（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由．

【答案】(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．
(2)按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体
【解析】
【分析】
(1)针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可；
(2)按柱体、锥体、球体进行分类即可．
【详解】
解：(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．
(2)观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体．
变式3
有一个几何体模型，甲同学：它的侧面是曲面；乙同学：它只有一个底面，且是圆形．则该模型
对应的立体图形可能是（ ）
【分析】根据圆锥的特点，可得答案．
【解答】解：侧面是曲面，底面是圆形，该模型对应的立体图形可能是圆锥，
故选：C．
变式4
下列立体图形中，面数相同的是（ ）
①正方体；②圆柱；③四棱柱；④圆锥．
【分析】根据各种立体图形的特点可得答案．
【解答】解：①正方体六个面；
②圆柱三个面；
③四棱柱六个面；
④圆锥两个面，
面数相同的是①③，
故选：B．
立体图形的棱与面
题型二
【方法总结】棱柱底面多边形的边数为n，则该棱柱则为n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.
例1
（1）一个六棱柱有_________个顶点．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据棱柱的棱数与顶点数的关系即可求解．
【详解】
解：六棱柱的棱数为6，
顶点数为：，
故答案为：12．
（2）若一个常见几何体模型共有8条棱，则该几何体的名称是______．
【答案】四棱锥
【解析】
【分析】
根据四棱锥特点判断即可．
【详解】
解：四棱锥有四条侧楞，底面有四条楞，一共8条楞．
故答案为：四棱锥．
（3）五棱柱的顶点数是________，棱数是_________，面数是________．
【答案】 10 15 7
【解析】
【分析】
依据五棱柱的特征，即可得到五棱柱的顶点数，棱数和面数．
【详解】
解：依据五棱柱的特征，即可得到五棱柱的顶点数为10，棱数为15，面数为7；
故答案为：10，15，7．
变式1
n棱柱的面数是10，则它有______个顶点，共有______条棱．
【答案】 16 24
【解析】
【分析】
根据棱柱的特点：有两个底面，故有8个侧面，进而得到答案．
【详解】
解：n棱柱的面数是10，去掉上下两个底面，还有8个侧面，因此上线底面是全等的八边形，故它有16个顶点，24条棱，
故答案为：16；24．
变式2
下列说法不正确的是（ ）
【分析】根据四、六、八棱柱的特点可得答案．
【解答】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意；
B、八棱柱有8+2＝10个面，选项说法错误，符合题意；
C、六棱柱有2×6＝12个顶点，选项说法正确，不符合题意；
D、经过棱柱的每个顶点有3条棱，选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
变式3
不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有7个面；
乙同学：它有10个顶点．该模型的形状对应的立体图形可能是（ ）
【分析】根据五棱锥的特点，可得答案．
【解答】解：五棱柱的两个底面是五边形，侧面是五个长方形，共有7个面；
五棱柱有10个顶点，
故选：B．
例2
欧拉（Euler，1707~1783），是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在一定的数量关系，并研究出了著名的欧拉公式．
（1）【数一数】观察下列多面体，并把表格补充完整：
（2）【想一想】分析表中的数据，你能发现V，E，F之间有什么关系吗？请用一个等式表示出它们之间的数量关系： ．
【答案】(1)4；6；12
(2)V+F-E=12
【解析】
【分析】
（1）直接数出三棱锥、三棱柱、正方体、正八面体所要补充的顶点数、棱数和面数即可；
（2）根据表格中的数据归纳规律即可．
(1)
填表如下：
故答案为：4；6；12
(2)
∵，
，
，
，
…，
∴．
即V、E、F之间的关系式为：．
例3
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．

（1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
（3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】(1)8；6
(2)V+F-E=2
(3)这个多面体的面数为16
【解析】
【分析】
（1）观察图形即可得出结论；
（2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2；
（3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数．
(1)
解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6；
故答案为：8；6；
(2)
解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
(3)
解：由题意得：F+F-30=2，
解得F=16，
∴这个多面体的面数为16．
变式4
欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把表格补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式： ．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【答案】（1）6，9，12，6；（2）V+F﹣E=2；（3）x+y=14
【解析】
【分析】
（1）观察可得多面体的顶点数，棱数和面数；
（2）依据表格中的数据，可得顶点数+面数-棱数=2；
（3）根据条件得到多面体的棱数，即可求得面数，即为x+y的值．
【详解】
解：（1）三棱柱的棱数为9；正方体的面数为6；正八面体的顶点数为6，棱数为12；
故答案为：6，9，12，6；
（2）由题可得，V+F-E=2，
故答案为：V+F-E=2；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
∴共有24×3÷2=36条棱，
∵24+F-36=2，
解得F=14，
∴x+y=14．
例4
一个雕塑家利用15个棱长为1米的相同正方体，在公园空地设计了一个如图所示的几何体造型，
需要把露出的表面部分都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为（ ）

【分析】由图形可知分四层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可得解．
【解答】解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1＝5，
第二层，侧面积为4，
第三层，侧面积2×4＝8，上表面面积为4﹣1＝3，总面积为8+3＝11，
最下层，侧面积为3×4＝12，上表面面积为9﹣4＝5，总面积为12+5＝17，
5+4+11+17＝37，
所以被他涂上颜色部分的面积为37平方分米．
故选：B．
例5
如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三
棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的
叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）﹣（中心块数）”得（ ）
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【解答】解：∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，
∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，
∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：3×4＝12（个）；
∴（棱块数）+（角块数）﹣（中心块数）＝6+4﹣12＝﹣2；
故选：B．
变式5
把50个同样大小的立方体木块堆砌成如图的形状放在桌面上，现在向这堆木块没与桌面接触的五
个面喷油漆，则有 块木块完全喷不到漆．

【分析】将“最外层”切去，剩下的是完全不涂颜色的部分，再根据实际情况进行判断即可．
【解答】解：如图，将“4×4×4”的大正方体分别切去涂漆的五个面的“最外层”后，还剩下“2×2×3”的小正方体，
而这“12个”又拿去一部分，因此在上层“涂红、绿、蓝色”的下面各有2块是完全没有涂颜色的，在下层“涂黄色”的下面有1个完全没有涂颜色，因此共有2×3+1＝7
故答案为：7．
变式6
把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
把每一层的面积求出，相加即可得出答案．
【详解】
棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米，
最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米，
总面积为（平方分米），
中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米），
总面积为（平方分米），
最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米），
总面积为（平方分米），
（平方分米），
被涂上颜色的部分面积为33平方分米．
故选：A．
点、线、面、体的关系
题型三
【方法总结】1.体与题相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点；2.点动成线，线动成面，面动成体.
例1
在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
【详解】
解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，
故选：A．
变式1
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定．
【详解】
解：A．笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是“面动成体”，故不符合题意；
C．流星划过夜空留下的尾巴，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
D．汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是“线动成面”，故符合题意．
故选：D
例2
将一个直角三角尺绕它的一直角边所在直线旋转一周，则旋转后所得几何体是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面动成体，可得一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥．
【详解】
解：圆锥的轴截面是直角三角形，因而圆锥可以认为直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到．
故直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥．
故选：D．
例3
如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果．
【详解】
解：平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是圆台，
故选：B．
【点睛】
本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及圆台的特点解答．
例4
下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
根据面动成体，判断出各个选项旋转得到的立体图，即可得出结论．
【详解】
A．旋转一周可得本题的几何体，故选项正确，符合题意；
B．旋转一周为两个圆锥结合体，故选项错误，不符合题意；
C．旋转一周为圆锥和圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；
D．旋转一周为两个圆锥和一个圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
变式2
下面图形是由（ ）绕直线旋转一周得到的.

【答案】A
【解析】
【分析】
根据面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，直角梯形绕某条边旋转是圆台或圆柱与圆锥组合体，半圆案绕直径旋转是球，从而可得答案．
【详解】
解：把选项A中图形，绕旋转一周，可得到圆柱与圆锥组合体，故A符合题意；
把选项B中图形，绕旋转一周，可得到球，故B不符合题意；
把选项C中图形，绕旋转一周，可得到圆台，故C不符合题意；
把选项D中图形，绕旋转一周，可得到圆锥，故D不符合题意；
故选：A.
变式3
将如图所示的长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形角度和顶点观察，绕对角线可得答案．
【详解】
解：通过观察可知，B图形的构造满足旋转结果．
故选：B．
表面积和体积计算
题型四
类型一 锥和柱体的计算
例1
计算如图圆柱的表面积和体积．（单位：厘米）

【答案】圆柱体的表面积是54π平方厘米，体积是54π立方厘米
【解析】
【分析】
利用圆柱体的表面积和体积公式分别列式计算即可．
【详解】
解：S表＝2S底+S侧
＝2×π×（6÷2）2+π×6×6
＝54π（平方厘米）；
V＝S底h
＝π×（6÷2）2×6
＝54π（立方厘米）；
答：圆柱体的表面积是54π平方厘米，体积是54π立方厘米．
变式1
计算下面圆锥的体积．

【答案】1000πcm3
【解析】
【分析】
根据圆锥的体积计算公式计算即可．
【详解】
解：圆锥的体积：
．
例2
圆柱与圆锥的体积之比为2：3，底面圆的半径相同，那么它们的高之比为（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
利用圆柱、圆锥的体积公式，即可算出它们的高之比；
【详解】
由题意可知，圆柱的体积=πh1，圆锥的体积=πh2，
∵圆柱与圆锥的体积之比为2：3，
∴，
∴=2：9．
故选：D．
例3
有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长18厘米．
（1）共需要彩带多少厘米？
（2）做这样一个礼品盒至少要多少硬纸？
（3）这个礼品盒的体积是多少？（π取3.14）
【分析】（1）使用彩带的长度等于4个高，4条直径，外加打结的18cm即可；
（2）求这个圆柱体的表面积，即两个底面积加侧面积即可；
（3）根据“体积等于底面积乘以高”计算即可．
【解答】解：（1）50×4+20×4+18＝298（cm），
（2）π×（202）2×2+π×20×50＝200π+1000π＝1200π（cm2），
（3）π×（202）2×50＝5000π≈15700（cm3），
答：做这样一个礼品盒共需要彩带298厘米；至少要1200π平方厘米的硬纸；这个礼品盒的体积约为15700立方厘米．
变式2
用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出长方体空铁盒的体积，再根据长方体容器倒出水的体积，等于长方体空铁盒的体积，得到倒出水的体积，继而求得长方体容器中水下降的高度．
【详解】
解：∵，
∴倒出水的体积=，
则长方体容器中水下降的高度．
故答案选：B．
变式3
如图，是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个直径2米的半圆．
（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？
（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？
（3）大棚内的空间约有多大？
【分析】（1）这个大棚的种植面积是长为15m，宽为2m的长方形的面积；
（2）根据表面积的计算方法分别计算即可；
（3）根据容积的计算方法进行计算．
【解答】解：（1）15×2＝30（m2），
答：这个大棚的种植面积是30m2；
（2）π×2×12×15+π×（22）2＝16π（m2），
答：覆盖的薄膜约有16πm2；
（3）12π×12×15=15π2（m3），
答：大棚内的空间约有15π2m3．
类型二 面动成体的计算
例1
已知如图是边长为2cm的小正方形，现小正方形绕其对称轴线旋转一周，可以得到一个几何体，求所得的这个几何体的体积．
【答案】cm3
【解析】
【分析】
由图可知小正方形绕其对称轴线旋转一周得到一个底面半径为1cm，高为2cm的圆柱，故可求解．
【详解】
由旋转体可知小正方形绕其对称轴线旋转一周得到一个底面半径为1cm，高为2cm的圆柱，
∴这个几何体的体积为 cm3．
例2
如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一个立体图形，求得到立体图形的体积．（结果保留π的形式）
【答案】
【解析】
【分析】
根据面动成体的原理和圆柱、圆锥的体积即可解．
【详解】
解：阴影图形旋转一周得到的立体图形是圆锥和圆柱．
圆锥的体积，
圆柱的体积，
故立体图形的体积是．
变式1
如图是直角梯形ABCD，如果以AB边为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14）．
【答案】141.3立方厘米
【解析】
【分析】
如果以AB边为轴旋转一周，得到的立体图形是由1个圆柱和1个圆锥组成的，上面得到一个圆锥，（7﹣4）是圆锥的高，BC的长度是圆锥的底面圆的半径，下面是一个圆柱，高是4厘米，底面圆的半径是3厘米，根据圆锥的体积＝h1+πr2h2代入数据计算即可．
【详解】
解：以AB边为轴旋转一周，得到一个圆锥和一个圆柱，
该几何体的体积为：πr2h1+πr2h2
＝×3.14×32×（7﹣4）+3.14×32×4，
＝28.26+113.04，
＝141.3（立方厘米）．
答：这个立体图形的体积是141.3立方厘米．
例3
把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为4cm、宽3cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是________．（结果保留的π）
【答案】36πcm3或48πcm3
【解析】
【详解】
解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4＝36π（cm3），
绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×42×3＝48π（cm3），
故答案为：36πcm3或者48πcm3．
变式2
探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．

（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？
【答案】(1)按方案一方法构造的圆柱体积大；
(2)将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144 cm3或96 cm3
【解析】
【分析】
（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可；
（2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可．
(1)
解：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=3cm，
体积为：cm3，
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=2cm，
体积为：cm3，
按方案一方法构造的圆柱体积大；
(2)
解：分两种情况
绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，得到的圆柱体积为cm3;
绕长方形绕长边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为cm3，
综合将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144 cm3或96 cm3．
变式3
※小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为6cm、8cm和10cm的直角三角形，绕其中一条边
旋转一周，得到了一个几何体．请计算出几何体的体积．（锥体体积=底面积×高）
【分析】根据三角形旋转是圆锥，可得几何体；根据圆锥的体积公式，可得答案．
【解答】解：以8cm为轴，得
以8cm为轴体积为13×π×62×8＝96π（cm3），
以6cm为轴，得
以6cm为轴的体积为13×π×82×6＝128π（cm3），
以10cm为轴，得
以10cm为轴的体积为13×π（245）2×10＝76.8π（cm3）．
故几何体的体积为：96πcm3或128πcm3或76.8πcm3．
例4
如图所示，在长方形ABCD中，，，且，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分別为、．下列结论中正确的是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
根据公式，得=，=，判断选择即可．
【详解】
∵=，=，
∴=．
故选C．
变式4
一个长方形的长和宽分别为3cm和2cm，依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长方形旋转1周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲、V乙，侧面积分别记作S甲、S乙，则下列说法正确的是（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆柱体的体积＝底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．
【详解】
解：由题可得，
V甲＝π•22×3＝12π，
V乙＝π•32×2＝18π，
∵12π＜18π，
∴V甲＜V乙；
∵S甲＝2π×2×3＝12π，
S乙＝2π×3×2＝12π，
∴S甲＝S乙，
故选：A．
生活中的立体图形分类专练
专练一 立体图形的认识
1.下列哪个几何体是棱锥（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据棱锥的概念求解即可．
【详解】
解：A、是四棱锥，符合题意；
B、是圆柱，不符合题意；
C、是三棱柱，不符合题意；
D、是长方体，不符合题意．
故选：A．
2.观察下列实物模型，其形状是圆锥的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆锥的概念“圆锥是由两个面组成，底面是圆，侧面是曲面”进行判断即可得．
【详解】
解：A．形状是球体，选项说法错误，不符合题意；
B．形状是圆锥，选项说法正确，符合题意；
C．形状是圆柱，选项说法错误，不符合题意；
D．形状是长方体，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
3.下列儿何体中，属于棱柱的有________（填序号）．

【答案】①③⑤
【解析】
【分析】
根据棱柱的特征进行判断即可．
【详解】
解：棱柱的两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面是长方形，
因此①③⑤是棱柱，而②是圆柱，④是圆锥，⑥是球，
故答案为：①③⑤．
专练二 立体图形的面与棱
1.几何图形是由______、______、______、______构成的．三棱柱有______个面，______条棱，______个顶点，其中有______条侧棱，______个侧面；四棱锥有______个面，这些面相交形成了______条棱，这些棱相交形成了______个顶点，其中有______条侧棱，______个侧面，所有侧面都是______形，底面是______形．
【答案】 点 线 面 体 5 9 6 3 3 5 8 5 4 4 三角 四边
【解析】
【分析】
根据几何体的构成，三棱柱，四棱锥的特点进行求解即可．
【详解】
解：几何图形是由点、线、面、体构成的．三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，其中有3条侧棱，3个侧面；四棱锥有5个面，这些面相交形成了8条棱，这些棱相交形成了个5顶点，其中有4条侧棱，4个侧面，所有侧面都是三角形，底面是四边形．
故答案为：点，线，面体，5，9，6，3，3，5，8，5，4，4，三角，四边．
2.如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，下列说法正确的有（ ）

①n棱柱有n个面；②n棱柱有3n条棱；③n棱柱有2n个顶点．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合已知三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，3n条棱和2n个顶点．
【详解】
解：∵三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，
观察图形，得：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点，
五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点，
六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点，
∴n棱柱一定有（n+2）个面，3n条棱和2n个顶点，
故①错误，②③正确，
故选：C．
3.如图，图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱．

（1）四棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面；
（2）五棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面；
（3）那么n棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面．
【答案】 8 12 6 10 15 7 2n 3n (n+2)##(2+n)
【解析】
【分析】
根据棱柱的形体特征进行解答即可．
【详解】
解：由棱柱的形体特征可知：
（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；
（2）5棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；
（3）n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面；
故答案为：（1）8，12，6；（2）10，15，7；（3）2n，3n，（n+2）．
4.设棱锥的顶点数为 V，面数为F，棱数为E．
（1）观察与发现：如图，三棱锥中， ， ， ；五棱锥中， ， ， ．

（2）猜想：①十棱锥中， ， ， ；②棱锥中， ， ， ．（用含有 的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（）与面数（）之间的等量关系： ；②棱锥的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间的等量关系： ．
（4）拓展：棱柱的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4，4，6，6，6，10；
(2)11，11，20，，，
(3)，
(4)存在，相应的等式为：
【解析】
【分析】
（1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可．
（2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可，②根据n棱锥的特征的特征填写即可．
（3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系，②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．
（4）拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．
(1)
解：三棱锥中，V3=4，F3=4，E3=6，五棱锥中，V5=6，F5=6，E5=10．
(2)
解：①十棱锥中，V10=11，F10=11，E10=20；②n棱锥中，Vn=n+1，Fn=n+1，En=2n．
(3)
解：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：V=F，②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E=V+F﹣2．
(4)
解：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：V+F﹣E=2．
5.如图，模块①由个棱长为的小正方体构成，模块②~⑥均由四个棱长为的小正方体构成；现在从模块②—⑥中选出三个放在模块①上，与模块①一起组成一个棱长为的大正方体，下列四个方案中，符合上述要求的是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目要求，仔细观察每个模块，从模块①的条件可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，则可找到正确选项．
【详解】
解：由图形可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，则可使得模块①成为一个棱长为3的大正方体．
符合上述要求的是②，⑤，⑥．
故选：A．
6.将一个所有的面都涂上漆的正方体（如图所示）切开，使之成为27个大小相同的小正方体，那么只有两面涂漆的小正方体有______个．

【答案】12
【解析】
【分析】
如图所示，只有两面涂漆的小正方体，是在正方体的棱上，且在中间的小正方体，每条棱上有一个，正方体有12条棱，因此得解．
【详解】
解： 一个正方体有12条棱，每条棱的中间的小正方体只有两面涂漆，如图，
∴只有两面涂漆的小正方体有12个．
故答案为：12．
专练三 点、线、面、体的关系
1.如图是一个花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成这个花瓶表面的是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据花瓶的特征判断即可．
【详解】
解：将上列平面图形绕虚线旋转一周，A，B，C都不能形成这个花瓶表面，D能形成这个花瓶表面，
故选：D．
2.下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（ ）
【分析】根据“面动成体”进行判断即可．
【解答】解：如图，将四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，可得选项B的几何体，
选项A、C、D中的几何体不能由一个平面图形绕着一条边旋转一周得到，
故选：B．
3.如图：CD是直角三角形ABC的高，将直角三角形ABC按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是
（ ）

【分析】根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进而解答即可．
【解答】解：将直角三角形ABC绕斜边AB所在直线旋转一周得到的几何体是，
故选：B．
专练四 表面积与体积的计算
1.一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4cm、宽为5cm的长
方形，绕它的一条边所在直线旋转一周，得到的圆柱体的体积是多大？（写出计算过程）
【分析】以不同的边所在的直线为轴，可以得到两个不同的圆柱体，分两种情况依据圆柱体的体积的计算方法进行解答即可．
【解答】解：①以长为4cm的边所在的直线为轴，旋转一周可得到一个底面半径为5cm，高为4cm的圆柱体，
因此，体积为π×52×4＝100π（cm3），
②以宽为4cm的边所在的直线为轴，旋转一周可得到一个底面半径为4cm，高为5cm的圆柱体，
因此，体积为π×42×5＝80π（cm3），
答：绕它的一条边所在直线旋转一周，得到的圆柱体的体积为100πcm3或80πcm3．
2.把5个棱长为3cm的立方体铅块熔化后，最多能制成___________个棱长为2cm的立方体铅块．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据体积不变列式计算即可得答案．
【详解】
∵铅块熔化前后体积不变，
∴5×33÷23=16……7，
∴最多能制成16个棱长为2cm的立方体铅块．
故答案为：16
3.已知一个直角三角形的两直角边分别是3和4，将这个直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周，可以得到圆锥，则圆锥的体积是_______．（，结果保留）
【答案】12π或16π##16π或12π
【解析】
【分析】
分两种情况：①以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，然后利用圆锥的体积公式，计算即可；
②以直角边为4所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是3，高是4，然后利用圆锥的体积公式，计算即可．
【详解】
解：一个直角三角形的两直角边分别是3和4，
①以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，
所以＝，
②以直角边为4所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是3，高是4，
所以＝，
故答案为：12π或16π．
4.探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个
圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得
到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？

【分析】（1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（2）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（3）根据矩形旋转所的几何体的大小比较，可得答案．
【解答】解：（1）方案一：π×32×4＝36π（cm3），
方案二：π×22×6＝24π（cm3），
∵36π＞24π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（2）方案一：π×（52）2×3=754π（cm3），
方案二：π×（32）2×5=454π（cm3），
∵754π＞454π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（3）由（1）、（2），得
以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大．
5.用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图，打结处正好是底面圆心，打结用去彩带18cm．
（1）扎这个盒子至少用去彩带多少厘米？
（2）这个蛋糕盒子的体积是多少立方厘米？
（3）蛋糕的直径比盒子直径少3cm，高比盒子矮5cm，张琳打开盒子，沿着蛋糕底面的直径垂直切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加多少平方厘米？
【分析】（1）根据矩形的周长公式，可得答案；
（2）根据圆柱的体积公式，可得答案；
（3）根据矩形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）2（30×2+20×2）+18＝218cm，
答：扎这个盒子至少用去彩带218cm；
（2）由圆柱的体积，得
3.14×（302）2×20＝14130（cm3），
答：这个蛋糕盒子的体积是14130cm3
（3）蛋糕的直径是30﹣3＝27cm，蛋糕的高是20﹣5＝15cm，
截面的面积是27×15×2＝810cm2．
答：蛋糕的表面积增加810平方厘米．
第02讲 展开与折叠
01课堂目标
02知识梳理
一．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
二．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
三．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
03例题精析
正方体的展开图
题型一
【方法总结】1.正方体的展开图共有11种，一四一型有6种，二三一型有3种，三三型有一种，二二二型有一种；2.正方体的展开图的口诀是：一线不过四，田凹应弃之.
例1
下列展开图中，是正方体展开图的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．
【详解】
解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体，
故选：C．
例2
小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有（ ）

【解题思路】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【解答过程】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．
∴符合要求的共有3个，
故选：C．
变式1
如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的11种展开图的模型即可求解．
【详解】
解：把图中的①或②或④剪掉，剩下的图形即为正方体的11种展开图中的模型，
把图中的③剪掉，剩下的图形不符合正方体的11种展开图中的模型，
故选：C．
变式2
下列各选项中的图形，不可以作为正方体的展开图的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体展开图的特征进行判断即可．
【详解】
解：根据正方体展开图的“田凹应弃之”可得选项B中的图形不能折叠出正方体，
故选：B．
变式3
下列图形中，是正方体平面展开图的图形的个数是（ ）

【解题思路】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答过程】解：第一个图形、第二个图形都是正方体的展开图；
第三个图形：“田”字格，不能折成正方体．
第四个图形：“凹“字格，不能折成正方体．
综上所述，是正方体平面展开图的图形的个数是2个．
故选：C．
例3
如图所示的正方体的展开图是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的展开和折叠，对正方体展开图的形状进行逐个判断即可．
【详解】
A：将其还原成正方体， 与 是对立面，不符合原几何体；
B：将其还原成正方体，则 在几何体右手边，不符合原几何体；
C：将其还原成正方体， 与是对立面，不符合原几何体；
D：将其还原成正方体，各特点均符合原几何体；
故选：D．
变式4
如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给立体图形对展开图进行想象解可得出正确答案
【详解】
由图中正方体观察可知：
A项应该为： ，不符合题意；
B项应该为：，符合题意；
C项应该为：，不符合题意；
D项应该为：，不符合题意
故选B
变式5
如图所示的正方体的展开图为（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．
【详解】
解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，
选项C中面“△”与“＝”是对面，因此选项C不符合题意；
选项D中面“△”与“＝”是对面，因此选项D不符合题意；
再根据上面“=”符号折叠后的横竖方向，可以判断选项B符合题意；选项A不符合题意；
故选：B．
正方体展开图的相对面
题型二
例1
下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的平面展开图的特点即可得．
【详解】
解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，
故选：D．
例2
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．
【详解】
解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，
故选：D．
变式1
在庆祝中国共产主义青年团成立100周年期间，学校LED屏幕上，以共青团团歌为背景音乐，滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频．这个立方体的六个面上分别有：青、春、正、值、韶、华，同学们能看到的一个展开图是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的展开图判断即可；
【详解】
解：由题图可知“青”与“正”相邻，“华”与“正”相邻且在“正”的右侧；
故选：D
变式2
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．
【详解】
解：根据题意得：在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是“速”．
故选：D
例3
图1是一个小正方体的展开图，小正方体从图2的所示位置依次翻到第1格，第2格，第3格，这
时小正方体朝上一面的字是（ ）
【解题思路】利用正方体的表面展开图的特征判断对面，利用翻转得出答案．
【解答过程】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“常”与“来”是对面，
“州”与“好”是对面，
“越”与“越”是对面，
翻动第1次，第2次时，“好”在前面，“州”在后面，
翻动第3次时，“好”在下面，“州”在上面，
故选：B．
变式3
一枚六个面分别标有1﹣6个点的骰子，将它抛掷三次得到不同的结果，看到的情形如图所示，则
图中写有“？”一面上的点数是（ ）

【解题思路】根据与1个点数相邻的面的点数有2、3、4、5可知1个点数的对面是6个点数，再根据1与2、3相邻，从而得解．
【解答过程】解：根据图形可知，与点数1相邻的面的点数有2、3、4、5，
∴点数1与6是相对面，
对比第一个和第三个图，可知写有“？”的面与点数1是相对面，
故写有“？”一面上的点数是6．
故选：A．
变式4
有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动
第70次后，骰子朝下一面的数字是（ ）

【解题思路】观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，从而确定答案．
【解答过程】解：观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，
∵70÷4＝17…2，
∴滚动第70次后与第二次相同，
∴朝下的数字是4的对面3，
故选：B．
柱体的展开图
题型三
例1
如图所示的三棱柱的展开图不可能是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案.
【详解】
解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意，
而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，
故选：D．
例2
下列图形中，是长方体的平面展开图的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据长方体有六个面，展开后长方体相对的两个面不可能相邻进行判断．
【详解】
A.中间两个细长方形相邻，错误；
B.各个相对的面没有相邻，正确；
C.中间两个大长方形相邻，错误；
D.图中有七个面，错误；
故选 B．
例3
如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
把每一个几何体的平面展开图经过折叠，再判断能围成什么几何体．
【详解】
解：经过折叠后，这些几何体的平面展开图围成的几何体分别是：圆柱，圆锥，三棱柱，正方体
故选D
变式1
如图，是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】
解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故A正确．
故选：A．
变式2
如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据长方体的展开图解答．
【详解】
解：由图可知，这个几何体是长方体．
故选：A．
变式3
图中的图形是由某立方体图形展开得到的，则该立方体图形是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱表面展开图的特点解题即可．
【详解】
解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形是圆柱．
故选：C．
变式4
如图所示的是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母（字母朝外），回答下列问题：

（1）如果面在长方体的底部放置，那么哪一个面会在它的上面？
（2）如果面在前面，从左面看是面，那么哪一个面会在上面？
（3）从右面看是面，面在左面，那么哪一个面会在上面？
【答案】(1)F面
(2)“C”面或“E面
(3)“B面或“D面
【解析】
【分析】
根据长方体表面展开图的特征进行判断即可．
(1)
根据“相间、端是对面”可知，
“”与“”相对，
“”与“”相对，
“”与““相对，
所以面A在长方体的底部，那么面会在它的上面；
(2)
若面在前面，左面是面，则“”在后面，“”在右面，此时“”在上面，“”在下面，或“”在上面，“”在下面；
答：如果面在前面，从左面看是面，那么“”面或“”面会在上面；
(3)
从右面看是面，面在左面，则“”面或“”面在上面．
锥体的展开图
题型四
例1
如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱或依次分析例题图形与展开图关系即可．
【详解】
解：A．展开全部是三角形，不符合题意；
B．展开全部是四个三角形，一个四边形，不符合题意；
C．展开图两个三角形与三个长方形，由展开图也可以发现该立体图形是三棱柱，故此项正确，符合题意；
D．展开全部是四边形，不符合题意；
故选：C．
例2
如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
观察所给图形可知展开图由一个扇形和一个圆构成，由此可以判断该几何体是圆锥．
【详解】
解：∵展开图由一个扇形和一个圆构成，
∴该几何体是圆锥．
故选C．
变式1
某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
根据四棱锥的侧面展开图得出答案．
【详解】
解：如图所示：这个几何体是四棱锥．
故选：C．
变式2
如图是某几何体的表面展开图，该几何体是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
根据常见立体图形的展开图特点，结合展开图进行解答．
【详解】
解：一个圆与一个扇形可围成圆锥．
故选：C．
展开图的相关计算
题型五
例1
数学活动课上，“智慧小组”设计用一个大长方形制作一个长方体纸盒，如图所示，要求纸盒的长、宽、高分别为4、3、1，则这个大长方形的长为（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据图①可知这个大长方形的长是这个纸盒的两个高的长度加上两个长的长度．
【详解】
解：由图①知，这个大长方形的长为1+4+1+4=10．
故选：B．
例2
如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．
【详解】
解：设原长方体底面边长为，长方体高为，
，，
解得，，
长方体的体积为：，
故选：．
变式1
如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为_______cm．

【答案】310
【解析】
【分析】
根据边长最长的多剪，边长最短的剪的最少，可得答案．
【详解】
解：根据题意，沿边长最长的棱多剪，边长最短的剪的最少，得到下图：
这个平面图形的最大周长是25×8＋20×4＋15×2＝310（cm）．
故答案为：310．
变式2
如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
【答案】(1)拼图存在问题，多了，图见解析
(2)12cm3
【解析】
【分析】
（1）根据长方体展开图判断．
（2）求出长方体的长，宽，高即可．
(1)
解：拼图存在问题，多了，如图：
(2)
解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为2cm，2cm，3cm，
∴体积为：2×2×3＝12（cm3）．
例3
如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：

（1）做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为___，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为___；（直接写出答案）
（2）做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
（3）做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
【答案】(1)（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2
(2)（8ab+8ac+10bc）平方厘米
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
【解析】
【分析】
（1）将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm；将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm；再根据长方体的表面积公式计算即可；
（2）利用（1）的结论列式计算解答即可；
（3）利用（1）的结论列式计算解答即可．
(1)
解：将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm，
故做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为：（2ab+2ac+2bc）cm2；
将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm，
故做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为：2×1.5a×2b+2×1.5a×2c+2×2b×2c=（6ab+6ac+8bc）cm2；
故答案为：（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2；
(2)
解：做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片：
（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）
=（8ab+8ac+10bc）cm2；
(3)
解：3（6ab+6ac+8bc）-2（2ab+2ac+2bc）
=18ab+18ac+24bc-4ab-4ac-4bc
=14ab+14ac+20bc（cm2），
即做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
变式3
如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉
得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体
积．

【分析】（1）根据长方体展开图判断．
（2）求出长方体的长，宽，高即可．
【解答】解：（1）拼图存在问题，多了，如图：
（2）由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为2，2，3，
∴体积为：2×2×3＝12（cm3）．
【点评】本题考查几何体的展开图，掌握几何体特征，求出长，宽，高是求解本题的关键．
展开与折叠分类专练
专练一 正方体的展开图
1.下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
D选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，A、B、C选项是一个正方体的表面展开图．
故选：D．
2.下列图形不是正方体展开图的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体展开的11种形式对各选项分析判断即可．
【详解】
解：A、B、D中的平面展开图可组成正方体，C折叠后，有2个正方形重合，不是正方体的展开图形，故C正确．
故选：C．
3.如图，选项中哪一个图形是如图正方体的展开图（ ）

【解题思路】依据几何体中两个阴影长方形以及一个阴影三角形的位置，即可得出结论．
【解答过程】解：A．折叠后可得到图中的正方体，符合题意；
B．折叠后两个阴影长方形有一个公共点，不合题意；
C．折叠后两个阴影长方形的长边互相平行，不合题意；
D．折叠后阴影长方形与阴影三角形一边完全重合，不合题意；
故选：A．
专练二 正方体展开图的相对面
1.如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
其中有“我”字的一面相对面上的字是“国”，
“历”字的一面相对面上的字是“了”，
“害”字的一面相对面上的字是“的”．
故选：D．
2.如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“华”字一面的相对面上的字是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体展开图的特点判断即可．
【详解】
因为，
所以“华”字一面的相对面上的字是族，
故选B．
3.2021年11月8日至11日．党的十九届六中全会在北京召开．全会审议通过的《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》，聚焦总结党的百年奋斗重大成就和历史经验，突出中国特色社会主义新时代这个重点，体现了党中央对党的百年奋斗的新认识，是一篇光辉的马克思主义纲领性文献，是新时代中国共产党人牢记初心使命、坚持和发展中国特色社会主义的政治宣言，是以史为鉴、开创未来、实现中华民族伟大复兴的行动指南．如图为“百年奋斗成就”展示在正方体的吸开图上，则“奋”的相对面是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】
解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“奋”字的对面是“就”，
故选：D．
专练三 柱体的展开图
1.下列不是三棱柱展开图的是（ ）
【解题思路】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
【解答过程】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．
B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故B不能围成三棱柱．
故选：B．
2.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
【解题思路】根据棱柱的特点进行分析即可．
【解答过程】解：A、不能围成棱柱，底面应该在两侧，故此选项不符合题意；
B、不能围成棱柱，侧面有4个，底面是三角形，应该是四边形才行，故此选项不符合题意；
C、能围成三棱柱，侧面有3个，底面是三角形，故此选项符合题意；
D、不能围成棱柱，底面应该在两侧，故此选项不符合题意；
故选：C．
3.某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）

【解题思路】根据棱柱的特点进行分析即可．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面展开图是长方形解答．
【详解】
解：观察几何体的展开图可知，该几何体是圆柱．
故选：B．
4.如图长方体的展开图，不可能是（ ）．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合长方体的面与面之间的连接判断即可；
【详解】
解：A．选项正确，不符合题意；
B．选项正确，不符合题意；
C．选项正确，不符合题意；
D．组合后缺少上表面，选项错误，符合题意；
故选：D
专练四 锥体的展开图
1.下面四个图形中，是三棱锥的平面展开图的是（ ）
【解题思路】根据三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，进而分析得出即可．
【解答过程】解：A、此图形可以围成三棱柱，故此选项不符合题意；
B、此图形可以围成三棱锥，故此选项符合题意；
C、此图形可以围成四棱锥，故此选项不符合题意；
D、无法围成立体图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2.以下几何体的表面展开的图形如图，则它是（ ）

【解题思路】由圆锥的展开图的特征作答．
【解答过程】解：由圆锥的展开图的特征可知，这个几何体是圆锥．
故选：D．
3.下面四个图形中不能围成下边三棱锥的是（ ）

【解题思路】对于能构成三棱锥的图形，将各面折起，不能重叠，也不能有空缺，据此进行判断．
【解答过程】解：B、A都能构成三棱锥，但D答案不出现重叠，C答案的两段BC长度不一致，两段AC长度不一致，折起来不能完全重合，
故选：C．
4.如图所示的平面图形分别都是由哪种几何体展开形成的？

（1）______________；（2） ______________；（3）______________；
（4）______________；（5） ______________；（6） ______________；
【答案】（1）正方体；（2）长方体；（3）三棱柱；（4）四棱锥；（5）圆柱；（6）三棱柱
【解析】
【分析】
根据展开图结合常见几何体的名称解析分析解答即可.正方体由六个正方形组成，长方体由两个矩形组成，且每个对面的形状和大小一样；三棱柱由5个面组成；四棱锥由四个三角形和一个矩形组成；圆柱由一个长方形和两个圆组成；三棱柱由两个三角形和四个矩形组成．
【详解】
上述平面图形分别是下列几何体的展开图：
（1）正方体；（2）长方体；（3）三棱柱；（4）四棱锥；（5）圆柱；（6）三棱柱
专练五 展开图的相关计算
1.如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：

（1）与N重合的点是哪几个？
（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
【分析】（1）把展开图折叠即可得出答案；
（2）表面积等于2个底面的面积加上4个侧面的面积，体积等于底面积乘高即可得出答案．
【解答】解：（1）与N重合的点是H和J点；
（2）表面积＝2×3×3+4×3×5
＝18+60
＝78（cm2），
体积＝3×3×5＝45（cm3），
答：该长方体的表面积为78cm2，体积是45cm3．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握表面积等于2个底面的面积加上4个侧面的面积是解题的关键．
2.如图①，是一个边长为10cm正方形，按要求解答下列问题：

（1）如图②，若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为 cm的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面，余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱，最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积；
（2）若该正方形是一个圆柱的侧面展开图，求该圆柱的体积．（结果保留π）
【解题思路】（1）利用剪下部分拼成的图形的边长等于棱柱的底面边长求解即可；
（2）正方形的边长是圆柱的底面圆周长，代入圆柱的体积公式即可．
【解答过程】解：（1）设粗黑实线剪下4个边长为xcm的小正方形，
根据题意列方程2x＝10÷2
解得x＝2.5，
故答案为：2.5；
（2）∵正方形边长为10cm，
∴圆柱的底面半径是10π×12=5π（cm），
∴圆柱的体积是π⋅(5π)2•10=250π（cm3）．
答：圆柱的体积是250πcm3．
第03讲 截一个几何体
01课堂目标
02知识梳理
截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
03例题精析
截面的形状判断
题型一
【方法总结】（1）n棱柱的截面最小为三角形，最大为n+2边形；（2）圆柱的截面可能是圆、椭圆、长方形、半圆或圆的一部分；（3）n棱锥的截面最小为三角形，最大为n+1边形；（4）圆锥的截面可能是圆、椭圆、半圆或圆的一部分.
例1
正方体的截面形状不可能是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或多于七边的图形．
【详解】
解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形．
故选：D．
例2
用一个平面去截一个圆柱所得截面不可能是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆柱的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况．
【详解】
解：本题中用平面截圆柱，横切就是圆，竖切就是长方形，斜切是椭圆，唯独不可能是三角形．
故选A
例3
用一个平面去截三棱柱，可能截出以下图形中的（ ）
①等腰三角形；②等边三角形；③圆；④正方形；⑤梯形．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面截三棱柱的不同角度与位置判断相应截面形状即可．
【详解】
解：当截面与底面平行时，得到的截面形状是三角形，故①②正确；
当截面与底面垂直且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是正方形，故④正确；
当截面与底面斜交且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是等腰梯形，故⑤正确；
不可能截出圆．
故选：C．
变式1
用一个平面去截一个长方体，截面形状不可能是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
长方体有六个面都是平面，由此可以作出判断．
【详解】
解：长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，故此截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是七边形，
故选：D．
变式2
用一个平面去截正方体，截面可能是下列图形中的（ ）
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方体的截面形状判断即可．
【详解】
解：正方体的截面可能是三角形，四边形，五边形，六边形，不可能是七边形，
则用一个平面去截正方体，截面可能是下列图形中的三角形，四边形，五边形，六边形，
故选：A．
变式3
若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④圆锥；⑤球，得到的截面可以三角形的是_______（填写正确的几何体前的序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
当截面的角度和方向不同时，球的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
【详解】
①用平面截三棱柱时，可以得到三角形截面.
②当平面平行于三棱锥的任意面时，得到的截面都是三角形.
③当平面经过正方体的三个顶点时，所得到的截面为三角形.
④当平面沿着母线截圆锥时，可以得到三角形截面.
⑤用平面球时，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
故答案为:①②③④．
变式4
本题主要考查的是截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关．用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，即可求解
【详解】
如图，

因为四棱柱共有5个面，
用平面去截三棱柱时最多与5个面都相交得五边形，最少与三个面相交得三角形，则
故选C
例4
用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是（ ）
【解题思路】根据圆柱体的主视图只有矩形或圆，即可得出答案．
【解答过程】解：∵圆柱体的主视图只有矩形或圆，
∴如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱．
故选：A．
例5
用一个平面去截一个棱柱，截面的边数最多是8，则这个棱柱有____条棱.
【答案】18
【解析】
【分析】
用平面去截一个棱柱时最多与所有面相交得到截面的边数与棱柱的面数相同，最少与三个面相交得三角形．因为截面的边数最多是8，所以棱柱有8个面，这是个六棱柱，一个n棱柱，其棱的数量由多边形的边数或顶点数来决定．底面多边形是n条边，则上下两个底面有棱（边）2n条，侧棱有n条，一共有棱3n条．由此可见，六棱柱的棱数是18条．
【详解】
解：∵用平面去截一个棱柱时最多与所有面相交得到截面的边数与棱柱的面数相同，截面的边数最多是8，
∴棱柱有8个面，是六棱柱，有18条棱．
故答案为：18．
变式5
下列几何体：①球；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤正方体，用一个平面去截上面的几何体，其
中能截出圆的几何体有（ ）
【解题思路】根据几何体的形状，可得答案．
【解答过程】解：长方体、正方体不可能截出圆，
球、圆柱、圆锥都可截出圆，
故选：B．
变式6
用一个平面去截一个几何体，得到的截面是七边形，这个几何体可能是（ ）
【解题思路】分别得到几何体有几个面，再根据截面是七边形作出选择．
【解答过程】解：∵圆柱体有三个曲面，四棱柱和正方体有6个面，五棱柱有7个面，
∴只有五棱柱可能得到一个七边形截面．
故选：B．
例6
如下图，一正方体截去一角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为（ ）
【解题思路】如图截去一个角后得到面增加一个，棱增加3．
【解答过程】解：原来正方体的面数为6，增加1变为7；原来正方体的棱数为12，增加3变为15，故选C．
变式7
用不同的方法将长方体截去一个角，在剩下的各种几何体中，顶点最多的个数以及棱数最少的条
数分别为（ ）
【解题思路】可考虑三个面切一个小角的情况．
【解答过程】解：依题意，剩下的几何体可能有：
7个顶点、12条棱、7个面；
或8个顶点、13条棱、7个面；
或9个顶点、14条棱、7个面；
或10个顶点、15条棱、7个面．
如图所示：
因此顶点最多的个数是10，棱数最少的条数是12，
故选：C．
截面的相关计算
题型二
例1
我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形，如图，大正三棱柱的高为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
（1）请写出截面的形状；
（2）请计算截面的面积．
【答案】(1)长方形
(2)10
【解析】
【分析】
（1）由图可得截面的形状为长方形；
（2）根据小正三棱柱的底面周长为3，求出底面边长为1，根据高是10，即可求出截面面积．
(1)
解：由图可得截面的形状为长方形；
(2)
∵小正三棱柱的底面周长为3，
∴底面边长＝1，
∴截面的面积1×10＝10．
例2
把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加8平方米，这根钢材原来的体积是多少？
【答案】3立方米
【解析】
【分析】
圆柱截成三段后，表面积增加四个圆柱的底面圆面积，由增加8平方米求出底面积大小，再通过圆柱体积公式求解．
【详解】
解：8÷4＝2（平方米），2×1.5＝3（立方米）．
答：这根钢材原来的体积为3立方米．
变式1
一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．
（1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（3）怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．
【答案】(1)所得的截面是圆
(2)所得的截面是长方形
(3)360cm2
【解析】
【分析】
(1)用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；
(2)用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；
(3)求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．
(1)
解：所得的截面是圆．
(2)
解：所得的截面是长方形．
(3)
解：当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，
这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，
这个长方形的面积为:10×2×18=360(cm2) ．
答：这个截面面积是360 cm2．
变式2
如图，在棱长分别为2cm，3cm，4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，求剩余几何体的表面积．
【答案】52cm2
【解析】
【分析】
截去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变，根据长方体的表面积公式计算即可求解．
【详解】
解：（2×3+2×4+3×4）×2
＝（6+8+12）×2＝26×2＝52（cm2），
答：剩余几何体的表面积为52cm2．
展开与折叠分类专练
专练一 截面的形状判断
1.下列说法正确的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据用平面截一个几何体，从不同的位置截取，得到的截面形状不一定相同，通过分析如何做截面即可得到答案.
【详解】
解：A. 长方体的截面形状也可能是三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C. “天空划过一道流星”能说明“点动成线”，故该选项正确，符合题意；
D. 圆柱的截面不一定是长方形，也可能圆形，故该选项不正确，不符合题意；．
故选:C.
2.在一个正方体容器内装入一定量的水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可得到三角形、四边形、五边形．
【详解】
根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是椭圆．
故选：A．
3.下列几何体：①圆柱；②长方体；③三棱柱；④球；⑤圆锥；用一个平面截这些几何体，其截面可能是圆的几何体有_____个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据每一个几何体的截面形状判断即可．
【详解】
解：因为：圆柱，圆锥，球的截面都可能是圆，而长方体，三棱柱的截面只可能是多边形，不可能是圆，
所以：用一个平面截这些几何体，其截面可能是圆的几何体有圆柱，圆锥，球，共有3个，
故答案为：3．
4.用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：①圆，②三角形，③长方形，④五边形，⑤六边形，⑥七边形其中的_____．
【答案】②③④⑤
【解析】
【分析】
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．
【详解】
解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形．
故答案为：②③④⑤．
5.（1）用一个平面去截一个三棱柱，截面的边数最多是？
（2）用一个平面去截一个四棱柱，截面的边数最多是？
（3）用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最多是？
（4）用一个平面去截一个n棱柱，截面的边数最多是？
【答案】（1）5；（2）6；（3）7；（4）n＋2.
【解析】
【分析】
本题考查棱柱的截面，关键要理解面与面相交得到线．应考虑各种情况，根据题意，分析截面的边数时，看截线可能经过几个面，即是几边形.
【详解】
（1）用一个平面截三棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形，边数最多是5；
（2）用一个平面截四棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形或六边形，边数最多是6；
（3）用一个平面截五棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形或六边形或七边形，边数最多是7；
（4）用平面截棱柱，规律为:
①截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关；
②截面经过几个面，得到的形状就是几边形.
所以:用一个平面去截一个n棱柱，截面的边数最多是(n＋2).
故本题的答案是:（1）5；（2）6；（3）7；（4）n＋2.
6.如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．
（1）根据要求填写表格：
（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．

【答案】（1）7；9；14；6；8；12；7；10；15；（2）f＋v－e＝2；（3）2016
【解析】
【分析】
（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v-e=2．
（3）代入f+v-e=2求出即可．
【详解】
解：（1）图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，
图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，
图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）f+v-e=2．
（3）∵v=2021，e=4035，f+v-e=2
∴f+2021-4035=2，
f=2016，
即它的面数是2016．
专练二 截面的形状判断
1.一个圆柱的底面半径是10cm，高是18cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．

（1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（3）怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．
【解题思路】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；
（2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；
（3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积
【解答过程】解：（1）所得的截面是圆；
（2）所得的截面是长方形；
（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，
这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，
则这个长方形的面积为：10×2×18＝360（cm2）．
2.如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积乘高）
【解题思路】根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，然后确定出底面积为和高，然后求解即可．
【解答过程】解：如图所示：
根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，
三棱柱的体积=12×1×2×5=5（cm3）．
3.我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
（1）请写出截面的形状；
（2）请直接写出四边形DECB的周长．
【解题思路】（1）依据大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱，即可得到截面的形状；
（2）依据△ADE是周长为3的等边三角形，△ABC是周长为10的等边三角形，即可得到四边形DECB的周长．
【解答过程】解：（1）由题可得，截面的形状为长方形；
（2）∵△ADE是周长为3的等边三角形，
∴DE＝AD＝1，
又∵△ABC是周长为10的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC=103，
∴DB＝EC=103−1=73，
∴四边形DECB的周长＝1+73×2+103=9．
第04讲 从三个方向看物体的形状
01课堂目标
02知识梳理
一．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
二．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：①主、俯：长对正；②主、左：高平齐；③俯、左：宽相等．
03例题精析
简单立体图形的三视图
题型一
例1
下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据常见几何体的主视图，依次判断即可．
【详解】
A．该三棱锥的主视图为中间有条线段的三角形，故不符合题意；
B．该圆锥的主视图为三角形，故不符合题意；
C．该圆柱的主视图为矩形，故符合题意；
D．该圆台的主视图为梯形，故不符合题意；
故选：C．
例2
作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可．
【详解】
A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意；
B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意；
C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；
D. 是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D不合题意．
故选择B．
例3
如图是一个正方体被切割后留下的立体示意图，剩余的几何体的左视图是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
根据一般指由物体左边向右做正投影得到的视图是左视图，可得答案．
【详解】
解：从几何体的左面看，轮廓为正方形，其中被切割的部分应该画为虚线且是一条“捺”向的虚线，故选项C符合题意．
故选：C．
变式1
如图是由5个完全相同的小长方体组成的立体图形，其俯视图是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
从上边看是三个并排的正方形，
故选：D．
变式2
如图是3级台阶的示意图，则从正面看到的平面图形是（ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据物体左面的图形即可得出物体从正面看得到的图形.
【详解】
从正面看，得到的图形是：
故答案为：C
变式3
从上面看如图几何体得到的平面图形是（ ）
【解题思路】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答过程】解：从上面看如图几何体得到的平面图形为：
故选：A．
正方体组合图的三视图
题型二
例1
如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
三视图分为主视图，左视图和俯视图，俯视图是从上往下看，进而得出答案．
【详解】
解：俯视图从上往下看如下：
故选：B.
例2
如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，从其正面看，得到的平面图形是（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看到的图形，对各选项进行判断即可．
【详解】
解：由题意知，立体图形的平面图形如下图所示，
故选：A．
例3
如图所示的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体从三个方向看到的
形状图，正确的是（ ）

【解题思路】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答过程】解：解法一：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
解法二：第一个几何体的三视图如图所示
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，
故选：D．
变式1
如图，该立体图形的左视图是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】
解：该立体图形的左视图为D选项．
故选：D．
变式2
下面是用八个完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看该几何体得到的图形是（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
画出从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在图中．
【详解】
解：从正面看，有3列正方形，每列分别有2个，2个，2个，如图：
故选：A．
变式3
如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】
解：从上面看易得上面第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形，
故选：B．
由三视图判断立体图形
题型三
例1
某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案．
【详解】
解：由主视图和左视图可知，该几何体是柱体，
又俯视图中为三角形，
∴该几何体为三棱柱，
故选：B．
例2
如图是某一物体的三视图，则三视图对应的物体是（ ）

【解题思路】本题可利用排除法解答．从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除B，C，D．
【解答过程】解：从主视图左视图可以看出这个几何体是由上、下两部分组成的，故排除C选项，从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除B选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体．
故选：A．
变式1
如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

【解题思路】观察图形可得几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，可得该几何体是长方体．
【解答过程】解：∵几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，
∴该几何体是长方体，
故选：D．
变式2
如图的三视图对应的物体是（ ）

【解题思路】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．
【解答过程】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，
故选：D．
变式3
如图是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面
图形？（ ）
【解题思路】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱，进一步由展开图的特征选择答案即可．
【解答过程】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
因此图A是圆柱的展开图．
故选：A．
正方体个数问题
题型四
例1
如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的从上面看得到的平面图形，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体从左面看得到的平面图形是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
从上面看到的图中每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得从左面看到的图有2列，从左到右分别是2，3个正方形．
【详解】
解：由上面看到的图中数字可得：从左面看到的图有2列，从左到右分别是2，3个正方形．
故选：D．
例2
一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成从上面看到的几何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数能表示该几何体从左面看到的形状图是（ ）

【答案】B
【解析】
【分析】
左视图有3列，每列小正方形最大数目数目分别为2，4，3．据此可画出图形.
【详解】
解：左视图有3列，每列小正方形最大数目分别为2，4，3
如图所示：
故答案选：B
变式1
如图是由6个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，
则这个几何体的从正面看到的形状为（ ）
【解题思路】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有1个小正方形，结合四个选项选出答案．
【解答过程】解：从正面看去，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有1个小正方形，主视图是
．
故选：A．
变式2
一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则从正面看该几何体的形状图为（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为4，2，3，据此可得出图形．
【详解】
解：根据所给出的图形和数字可得：
从正面看有3列，每列小正方形数目分别为4，3，2，
则符合题意的是：
故选：A．
例3
一个由几个相同的小正方体所搭成的几何体，从不同的方向观察到的形状图如图所示，用（ ）个小正方块摆成.

【答案】D
【解析】
【分析】
根据从上面看到的图形，结合从左面看的图形与从正面看的图形得到底层有5个小正方块，及每个小正方块上面对应的块数，相加即可得到答案．
【详解】
解：根据从上面看到的图形，得到最底层有5个小正方块，
每个小正方块上面对应的块数分别为：
共有2+1+1+1+1=6块，
故选：D．
例4
如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从正面、左面看到的形状，那么构成这个立体图
形的小正方体的个数最少为（ ）

【解题思路】由主视图和左视图可得这个几何体共有2层，再分别求出每一行和每一列最少的正方体的个数，依此即可求解．
【解答过程】解：根据主视图和左视图可得：构成这个立体图形的小正方体的个数最少为2+1+1＝4（个）．
故选：A．
变式3
用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数
为（ ）

【解题思路】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可．
【解答过程】解：有两种可能；
由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可得：第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
∴最多为3+4+1＝8个小立方块，最少为个2+4+1＝7小立方块．
故选：C．
变式4
如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，若这个几何体最多由
m个小正方体组成，最少由n个小正方体组成，则m+n＝（ ）
【解题思路】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看所得到的图形．
【解答过程】解：易得第一层有4个正方体，第二层最多有3个正方体，最少有2个正方体，第三层最多有2个正方体，最少有1个正方体，
n＝4+3+2＝9，m＝4+2+1＝7，
所以m+n＝9+7＝16．
故选：B．
三视图的计算问题
题型五
例1
如图是从正面、左面、上面看到的几何体的形状图，根据图中所示数据求得这个几何体的全面积是（ ）

【答案】D
【解析】
【分析】
这个几何体是圆柱，计算圆柱的侧面积与两个底面积的和即可．
【详解】
解：由三视图可知，这个几何体的圆柱，底面半径=×4=2，高为5，
∴全面积=2×π×22+2×π×2×5=28π，
故选：D．
例2
如图是某几何体从不同方向看到的图形．若从正面看的高为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积（结果保留π）为______．

【答案】40πcm2
【解析】
【分析】
根据题意即可判断几何体为圆柱体，再根据告诉的几何体的尺寸即可求出圆锥的侧面积．
【详解】
解：观察三视图可得这个几何体是圆柱；
∵从正面看的高为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，
∴该圆柱的底面直径为4cm，高为10cm，
∴该几何体的侧面积为2πrh＝2π×2×10＝40π（cm2）．
故这个几何体的侧面积（结果保留π）为40πcm2．
故答案为：40πcm2．
变式1
如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是______（结果保留）．

【答案】24π cm²
【解析】
【分析】
根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【详解】
解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2=4π(cm)，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm²)．
故答案为：24π cm²．
例3
由7个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请计算它的表面积？（棱长为1）
【解题思路】查出从前后，上下，左右可以看到的面，然后再加上中间空两边的两个正方形的2个面，进行计算即可求解．
【解答过程】从正面看，有5个面，从后面看有5个面，
从上面看，有5个面，从下面看，有5个面，
从左面看，有3个面，从右面看，有3个面，
中间空处的两边两个正方形有2个面，
∴表面积为（5+5+3）×2+2＝26+2＝28．
例4
一个几何体是由若干个棱长为1的小正方体堆积而成的，从不同方向看到的几何体的形状图如下．

（1）在从上面看得到的形状图中标出相应位置小正方体的个数；
（2）这个几何体的表面积是 ．
【解题思路】（1）由俯视图可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由主视图和左视图可得第二层和第三层小木块的个数，据此解答即可．
（2）将几何体的暴露面（包括底面）的面积相加即可得到其表面积．
【解答过程】解：（1）如图所示：
（2）这个几何体的表面积为2×（6+4+5）＝30，
故答案为：30
变式2
一个几何体是由棱长为2cm的正方体模型堆砌而成的，从三个方向看到的图形如图所示：

（1）请在从上面看到的图形上标出该位置的小正方体的个数；
（2）该几何体的表面积是多少cm2？
【解题思路】（1）根据三视图可分别得出俯视图上小立方体的个数；
（2）根据三视图可得该物体的表面有多少个小正方形，然后利用1个小正方形的面积乘个数即可．
【解答过程】解：（1）如图所示：
（2）2×2×（6×2+5×2+5×2+2）＝136（cm2）．
答：该几何体的表面积是136cm2．
变式3
如图所示是由棱为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个方向看到的形状图．

（1）请你观察它是由 个立方体小木块组成的；
（2）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数；
（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．
【答案】（1）10；（2）见解析；（3）40cm2
【解析】
【分析】
（1）由从上面看的图可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看的图和从左面看的图可得第二层和第三层小木块的个数，相加即可；
（2）根据上题得到的正方体的个数在从上面看到的形状图中标出来即可；
（3）将几何体的暴露面（包括底面）的面积相加即可得到其表面积．
【详解】
解：（1）∵从上面看的图中有6个正方形，
∴最底层有6个正方体小木块，
由从正面看的图和从左面看的图可得第二层有3个正方体小木块，第三层有1个正方体小木块，
∴共有10个正方体小木块组成，
故答案为：10；
（2）根据（1）得：
（3）表面积为(6+6+6)×2+2×2＝40cm2．
三视图的作图
题型六
例1
如图，是一个几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字是该位置上的小立方块的数量，请画出从正面和从左面看到的图形．


【答案】见解析.
【解析】
【分析】
由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，4，从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，4．据此可画出图形．
【详解】
解：如图所示：
例2
图中的几何体是用若干个棱长为的小正方体搭成的，其左视图如图所示．

（1）这个几何体的体积为______；
（2）请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图、俯视图；
（3）这个几何体的表面积为______．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）原几何体由5个棱长为的小正方体搭成的，即其体积为一个小正方体的5倍；
（2）分别从正面看、从上面看该几何体，据此画出该几何体的主视图、俯视图；
（3）根据几何体的形状求表面积．
(1)
解：这个几何体的体积为，
故答案为：5；
(2)
图如下：
(3)
这个几何体的表面积为：，
故答案为：．
变式1
从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别面出你所看到的几何体的形状图．

【答案】图见解析
【解析】
【分析】
从正面看：共有3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形；从上面看：共分3列，从左往右分别有3，2，1个小正方形；从左面看：共有3列，从左往右分别有2，2，1个小正方形；据此可画出图形．
【详解】
解：如图所示：
．
变式2
如图是由9个相同的小立方体组成的一个几何体．

（1）画出从正面看、左面看、上面看的形状图；
（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），则涂上颜色部分的总面积是 ．
【答案】(1) 见解析；(2) 120cm2
【解析】
【分析】
(1) 根据三视图的概念作图可得；
(2)数出每个小正方体所需要涂色的面的个数，再求和即需要涂颜色的面的总数，然后计算出总面积即可．
【详解】
解：(1)该几何体的三视图如下
从正面看 从左面看 从上面看
(2) 涂上颜色部分的总面积：2×2×（6×2+6×2+5+1）=120（cm2）．
例3
在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示．
（1）请画出这个几何体的三视图．
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体．
（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？

【答案】（1）见解析；（2）4；（3）32
【解析】
【分析】
（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）俯视图和左视图不变，构成图形即可解决问题；
（3）求出这个几何体的表面积即可解决问题．
【详解】
解：（1）这个几何体有10个立方体构成，三视图如图所示；
（2）在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，
2+1+1=4（个），
故最多可再添加4个小正方体．
故答案为：4；
（3）这个几何体的表面有38个正方形，去了地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆，
∴表面积为32，
故喷漆面积为32．
变式3
把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形式．

（1）该几何体的体积是______，表面积是______；
（2）在格纸中画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
【答案】（1）6，26；（2）见解析；（3）2．
【解析】
【分析】
（1）根据正方体体积和表面积公式进行计算即可；
（2）根据三视图的概念作图即可得；
（3）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体．
【详解】
解：（1）该几何体的体积为：1×1×1×6＝6（cm3），
表面积为：2×（5＋4＋3）＋2＝26（cm2）．
故答案为：6，26．
（2）如图所示：
（3）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体．
故答案为：2．
从三个方向看物体的形状分类专练
专练一 简单几何体的三视图
1.如图，这是一个机械零部件，箭头指的方向是正面，该零部件的从左面看到的形状图是（ ）

【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱平放从左面看的形状图是圆，圆柱正立从正面看的形状图是长方形，结合放置位置判断即可．
【详解】
解：因为圆柱平放从左面看的形状图是圆，圆柱正立从正面看的形状图是长方形，
所以从左面看到的形状图是．
故选：C．
2.如图所示的几何体从上面看到的形状是（ ）

【解题思路】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答过程】解：从上面看，是一行三个相邻的矩形，中间的矩形的长较大，
故选：D．
3.如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（ ）

【解题思路】根据各个几何体的左视图的性质及大小关系进行判断即可．
【解答过程】解：由各个几何体的左视图的形状及大小、位置关系可得，选项C中的图形符合题意，
故选：C．
专练二 正方体组合图的三视图
1.如图所示是由七个相同的小正方体堆成的物体，从正面看这个物体的平面图是（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看这个物体的方法，确定各排的数量可得答案．
【详解】
从正面看这个物体，共有三行，从上到下依次小正方形的个数依次为1，2，3，
故选：A．
2.如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形特点，分别得出从正面看每一列正方形的个数，即可得出正面看到的平面图形．
【详解】
解：从正面看，有三列，第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，
D选项符合题意，
故选：D．
3.如图，该几何体的三视图中面积相等的是（ ）

【答案】A
【解析】
【分析】
作出该几何体的三视图，根据三视图的面积求解即可．
【详解】
解：该几何体的三视图为：
可得出主视图与俯视图的面积相等．
故选：A．
专练三 正方体个数问题
1.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字
表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体从正面看到的形状为（ ）

【解题思路】由所给条件分析几何体从正面看的每一列最多有几个小正方体，从而得到答案．
【解答过程】解：由所给图可知，这个几何体从正面看共有三列，左侧第一列最多有4块小正方体，中间一列最多有2块小正方体，最右边一列有3块小正方体，
所以主视图为B．
故选：B．
2.如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何
体的从正面看到的形状为（ ）

【解题思路】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，3，从而可以确定答案．
【解答过程】解：根据题意得：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，3，
主视图为，
故选：B．
3.如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个
数，则这个几何体从左面看到的形状为（ ）
【解题思路】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答过程】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有4个小正方形，第三列有3个小正方形，
故选：B．
4.如图是由几个相同的小正方体分别从上面、左面看到的形状图，这样的几何体最多需要 个小立方体
块，最少需要 个小立方体块．

【解题思路】根据从上面和从左面看到的图形可知：这个图形有2行，后面一行只有一层，是2个正方形，前面一行是2层，下层是2个正方形，上面一层最少是1个正方形，最多是2个正方形，由此即可解答．
【解答过程】解：根据图形可得：最少需要：2+2+1＝5（个），最多需要2+2+2＝6（个），
故摆这样的立体图形，最少需要5个小立方块，最多需要6个小立方块．
故答案为：6，5．
专练四 三视图的计算问题
1.如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看的形状图．

（1）该几何体名称是 ；
（2）根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．
【答案】(1)长方体
(2)表面积280cm2，体积300cm3
【解析】
【分析】
（1）根据从不同方向看到的图形判定几何体的形状即可；
（2）根据长方体的表面积公式及体积公式进行求解即可．
(1)
解：这个几何体是长方体，
故答案为：长方体；
(2)
这个长方体的表面积＝2×（10×5+5×6+10×6）＝280（cm2）．
体积＝10×5×6＝300（cm3）．
2.如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.

（1）写出这个几何体的名称；
（2）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.
【答案】（1）正三棱柱；（2）图见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可以得到此几何体为正三棱柱；
（2）表面展开图应会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为3cm和2cm，求出一个长方形的面积，再乘以3即可解答．
【详解】
解：（1）这个几何体的名称是正三棱柱；
（2）（），
∴这个几何体的侧面积为．
3.如图所示的几何体，由若干个大小相同的小正方体构成．
（1）下面五个平面图形中有三个是从三个方向看到的图形，把看到的图形与观测位置连接起来；

（2）已知小正方体的棱长为a，求这个几何体的体积和表面积．
【解题思路】（1）根据三视图的定义解决问题即可．
（2）根据表面积，体积的定义求解即可．
【解答过程】解：（1）如图所示，
（2）这个几何体的体积是：4×a×a×a＝4a3，
表面积是：18×a×a＝18a2．
专练五 三视图的作图
1.如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体从上面看到的图形，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，请在下面的方格纸中分别画出从正面和从左面看到的该几何体的形状图．

【答案】见解析．
【解析】
【分析】
由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2，从左面看有2列，每列小正方数形数目分别为2，3．据此可画出图形．
【详解】
解：如图所示：
2.把边长为1cm的6个相同正方体摆成如图的形式．

（1）请在下面的方格中画出从上面和从左面看到的该几何体的形状图（只需用2B铅笔将虚线画为实线）．
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从上面看和从左面看的形状图不变，那么最多可以再添加 个小正方体．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）根据从上面看和从左面看的形状图画出图形即可；
（2）根据题意，最多可以条件2个小正方形．
【详解】
解：（1）如图，从上面看和从左面看的形状图如图所示．
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从上面看和从左面看的形状图不变，那么最多可以再添加2个小正方形，
故答案为：2．
3.如图是由个同样大小的小正方体搭成的物体.

从正面看 从上面看
（1）请画阴影分别表示从正面、上面观察得到的平面图形的示意图；
（2）分别从正面、上面观察这个图形，得到的平面图形不变的情况下，你认为最多还可以添加 个小正方体.
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
(1)左视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2，俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1．再根据小正方形的位置可画出图形；
(2)根据两个平面图形不变的情况下，得出可以添加的小正方体个数．
【详解】
解：(1)如图，
从上面看 从正面看
(2)在上面两个平面图形不变的情况下，可以将多添加的小正方体放在最左侧的那一列上，最多还可以添加 3个小正方体．
故答案为：.
第05讲 有理数的概念和分类
01课堂目标
02知识梳理
1.正数和负数
正数：比 大的数；负数：在正数前面加上 的数， 既不是正数，也不是负数.
【答案】0；负号；0.
2.相反意义的量
◆在同一个问题中，用“+”和 表示具有相反意义的量；
◆若没有规定哪个量为正或负，习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等记为 ，把“后退、下降、支出、零下温度”等记为 ；相反意义的量一是意义 ，二是要有数量.
【答案】-；+；-；相反.
3.有理数的分类
和 统称为非负数； 和 统称为非正数.
【答案】正数；0；负数；0.
03例题精析
正数和负数
题型一
例1
给出下列各数：-3，0，+5，，+3.1，，2 00 4，+2 00 8．其中是负数的有（ ）
【答案】选B.
例2
下列结论中正确的是（ ）
【答案】选D.
变式1
下列四个数中，是负数的是（ ）
【答案】选D.
变式2
以下各数：，0.6，-100，，0，，368中，正数有____________________________；负数有____________________________，既不是正数也不是负数的是____________________________．
【答案】0.6，，368；，-100，；0.
具有相反意义的量
题型二
例1
我国是最早使用负数的国家，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作（ ）
【答案】A
【分析】利用相反意义量的定义判定即可．
【解答】解：如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作”-30元“，
故选：A．
变式1
2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆地球．月球表面白天温度约为零上180℃，可记作+180℃，则夜间温度约为零下150℃，可记作______℃．
【答案】-150．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：月球表面白天温度约为零上180℃，可记作+180℃，则夜间温度约为零下150℃，可记作-150℃．
故答案为：-150．
例2
某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“50±0.5kg”．质检人员随机抽测了四袋该品牌大米的质量，依次记录为：50.4kg，50.1kg，49.7kg，49.4kg，则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有（ ）
【答案】B
【分析】先求出大米的合格重量的范围即可判断．
【解答】解：质量标识为“50±0.5kg”表示50上下0.5即49.5到50.5之间为合格；
分析选项可得49.4 kg不在此范围内，不合格；其余3袋在此范围内，合格．
故选：B．
变式2
足球是全球最具影响力的单项体育运动，它能增强人们的体质，培养团队意识和拼搏精神．足球的质量有严格标准，如果将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，以下四个足球质量最接近标准的是（ ）
【答案】C.
【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．
【解答】解：通过求4个数的绝对值得：
|-1.2|=1.2，|+0.8|=0.8，|-0.5|=0.5，|+1.4|=1.4，
0.5＜0.8＜1.2＜1.4
-0.5的绝对值最小．
所以这个球是最接近标准的球．
故选：C．
例3
如图，是图纸上一个零件的标注， 表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是30.03mm，最小可以是（ ）

【答案】D
【分析】根据标注可知，零件直径标准30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，则最小为30-0.02=29.98mm．
【解答】解：由零件标注可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30-0.02mm，
∴30-0.02=29.98（mm）；
故选：D．
变式3
某公交车上原有10个人，经过三个站点时乘客上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+2，
﹣3），（+8，﹣5），（+1，﹣6），则此时车上的人数为（ ）
【答案】C
【分析】根据有理数的加法，原有人数，上车为正，下车为负，可得答案．
【解答】解：10+2-3+8-5+1-6=10+2+8+1-3-5-6=7，
故选：C．
有理数的概念和分类
题型三
例1
下列说法正确的是（ ）
【答案】B
【分析】应该正整数和负整数数统称为有理数，正数和分数包括部分无理数，因此，A选项不正确；0既不是正数也不是负数，但它是整数，因此，B选项正确、D选项不正确；有理数中没有最大的数，也没有最小的数，因此，C选项不正确．
【解答】解：0是整数但不是正数正确．
故选：B．
例2
下列说法不正确的是（ ）
【答案】C
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、有理数可分为正整数、正分数、0、负整数、负分数，正确；
B、一个有理数不是分数就是整数，正确；
C、一个有理数不是正数就是负数，还有可能是0，错误；
D、若一个数是整数，则这个数一定是有理数，正确；
故选：C．
变式1
下列说法正确的是（ ）
【答案】D
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、整数和分数统称有理数，错误；
B、一个有理数不是分数就是整数有理数包括正数、负数、0，错误；
C、整数还有负整数和0，错误；
D若一个数是整数，数一定是有理数则这个，正确；
故选：D．
变式2
下面说法中，不正确的是（ ）
【答案】C
【分析】自然数是大于等于0的整数，0是最小的自然数A正确；没有最小的正有理数，故B正确；-1是最大的负整数，故C不正确；无最大非负数，D正确．
【解答】解：A、0是最小的正整数，故本选项正确；
B、没有最小的正有理数，故本选项正确；
C、-1是最大的负整数，故本选项错误；
D、写出自然数列，0，1，2，3，n，易知无最大非负数，故本选项正确．
故选：C．
变式3
下列说法错误的是（ ）
【答案】B
【分析】按照有理数的分类解答即可．
【解答】解：A、零既不是正数也不是负数，说法正确，故本选项不合题意；
B、-a不一定是负数，如-（-1）=1，故原说法错误，故本选项符合题意；
C、有理数不是整数就是分数，说法正确，故本选项不合题意；
D、正整数、零和负整数统称为整数，说法正确，故本选项不合题意．
故选：B．
例3
在数，-0.4，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100，这9个数中，有理数有______个．
【答案】7
【解答】解：根据有理数的定义，-0.4，，3.14，120%，，100，，这7个是有理数.
例4
把下列各数填入相应的大括号内上：.
有理数集合：{ }；
整数集合：{ }；
非正数集合：{ }.
【答案】有理数集合：{}；
整数集合：{}；
非正数集合：{}.
变式4
在，，0，-1，0.4，π，2，-3，-6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m-n-k的值为（ ）
【答案】D
【解答】解：根据题意，有理数共有8个，故m=8，自然数有2个，故n=2，分数有2个，故k=2.所以m-n-k=8-2-2=4.
故选D.
变式5
把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）：6，-3，2.4，，0，-3.14，，+2，，-1.414，-17，，．
正数：{ }；
非负整数：{ }；
整数：{ }；
负分数：{ }．
【答案】正数：{6，2.4，，+2，}；
非负整数：{6，0，+2}；
整数：{6，-3，0，+2，-17}；
负分数：{，-3.14，，-1.414}．
有理数的概念和分类专练
作业一 具有相反意义的量
1.如果升降机下降10米记作-10米，那么上升15米记作（ ）米．
【答案】B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，升降机下降为负，则可得升降机上升为正．
【解答】解：如果升降机下降10米记作-10米，那么上升15米记作+15米．
故选：B．
2.如果+20%表示增加20%，那么-6%表示（ ）
【答案】B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以如果+20%表示增加20%，那么-6%表示减少6%．
【解答】解：根据正数和负数的定义可知，-6%表示减少6%．
故选：B．
3.某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差（ ）
【分析】根据超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样，可以求得从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差多少．
【解答】解：∵超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样，
∴标准大米的质量最多相差：0.4-（-0.4）=0.4+0.4=0.8（kg），
故选：D．
作业二 有理数的分类
1.下列说法不正确的是（ ）
【答案】C
【分析】依据有理数分类、正负数分类逐项判断即可．
【解答】解：A、-3.14属于负数，分数，有理数，故A不符合题意；
B、0不属于正数，也不属于负数，属于整数，故B不符合题意；
C、-2019属于有理数，故C符合题意；
D、0为正数和负数的分界，故D符合题意．
故选：C．
2.下列说法错误的是（ ）
【答案】A
【分析】利用有理数的分类判断即可．
【解答】解：A、有理数包括整数和分数，可以分为正有理数、零、负有理数，故本选项符合题意；
B、有理数分为整数和分数，正确，故本选项不符合题意；
C、0既不是正数，也不是负数，正确，故本选项不符合题意；
D、负整数、负分数统称为负有理数，正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
3.下列说法正确的是（ ）
【答案】C
【分析】根据零的意义，可得答案．
【解答】解：A、零不是正数，故A错误；
B、没有最小的有理数，故B错误；
C、零是最小的自然数，故C正确；
D、没有最大的负数，故D错误．
故选：C．
4.填空：最小的正整数______；最大的负整数______；分数______（是/不是）有理数；π______（是/不是）有理数.
【答案】1；-1；是；不是
5.把下列各数填在相应的集合中：15，，0.81，-3，，-3.1，-4，171，0，3.14，π，．
正数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
非负整数集合：{ }；
有理数集合：{ }.
【答案】正数集合：{15，0.81，，171，3.14，π，}；
负分数集合：{，-3.1}；
非负整数集合：{15，171，0}；
有理数集合：{15，，0.81，-3，，-3.1，-4，171，0，3.14，}.
第06讲 数轴和相反数
01课堂目标
02知识梳理
1.数轴的三要素是指____________，____________，____________.
【答案】原点、正方向、单位长度
2.只有____________不同的两个数，我们称它们互为相反数。
【答案】符号
3.正数的相反数是____________，负数的相反数是____________，零的相反数是____________.
【答案】负数；正数；0
4.互为相反数的两个数分别在原点的____________，并且到原点的____________相等.
【答案】两侧；距离
【注意】：相反数等于它本身的数是_________.
【答案】0
03例题精析
数轴的认识
题型一
例1
下列说法正确的是（ ）
【答案】D
【分析】根据数轴的定义及意义，依次分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项可得，
A、根据数轴的概念，有原点、正方向且规定了单位的直线是数轴，A错误；
又由实数与数轴上的点是一一对应的，故B、C均错误；
D、实数与数轴上的点是一一对应的，即任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，正确；
故选：D．
例2
数轴上原点及原点右边的点表示的数是（ ）
【答案】D
【分析】本题可根据数轴的定义，原点表示的数是0，原点右边的点表示的数是正数，都是非负数．
【解答】解：依题意得：原点及原点右边所表示的数大于或等于0．
故选：D．
变式1
数轴上原点及原点左边的点表示的数是（ ）
【答案】D
例3
数轴上A，B两点对应的有理数分别是和，则A，B之间的整数有（ ）
【答案】C
【分析】找出大于小于的整数
【解答】大于小于的整数有：-1，0，1，2，3，4，共有6个
故选：C．
例4
有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b大小是：a_____b．
【答案】＜．
【分析】观察数轴即可求解．
【解答】解：观察数轴可知，a、b大小是：a＜b．
故答案为：＜．
变式2
有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
【答案】D
【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b、c对应点的数，再逐个判断得结论．
【解答】解：A、由数轴知：-4＜a＜-3，故选项A错误；
B、由数轴知，a＜b，故选项B错误；
C、因为a＜0，b＞0，所以ab＜0，故选项C错误；
D、因为-4＜a＜-3，所以3＜-a＜4，因为2＜c＜3，所以-a＞c，故选项D正确．
故选：D．
数轴的应用
题型二
例1
在数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离是（ ）
【方法总结】数轴上计算两点之间的距离的方法是____________________________.
【答案】A
【分析】根据正负数的运算方法，用3减去-2，求出在数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离为多少即可．
【解答】解：3-（-2）
=2+3
=5．
所以在数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离为5．
故选：A．
变式1
数轴上表示5和-1的点之间的距离是 .
【答案】6
【分析】根据正负数的运算方法，用5减去-1，求出在数轴上表示5的点与表示-1的点之间的距离为多少即可．
【解答】解：5-（-1）
=5+1
=6．
所以在数轴上表示5的点与表示-1的点之间的距离为6．
故答案为：6．
例2
数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（ ）
【答案】C
【分析】数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和-5．
【解答】解：数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和-5，则M表示5或-5．
故选：C．
例3
数轴上与+2的点距离3个单位长度的点有 个，它们分别是 .
【答案】两；5和-1
变式2
数轴上与原点距离是5的点有 个，表示的数是 .
【答案】两；5和-5
变式3
在数轴上与表示数4的点距离2个单位长度的点表示的数是（ ）
【答案】D
【分析】分两种情况：当点在表示4的点的左边时，当点在表示4的点的右边时，列出算式求出即可．
【解答】解：当点在表示4的点的左边时，此时数为：4+（-2）=2，
当点在表示4的点的右边时，此时数为：4+（+2）=6，
故选：D．
变式4
在数轴上，到表示-5的点的距离等于5个单位的点所表示的数是（ ）
【答案】C
【分析】根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：设该点对应数轴上的数值为：a，则|a-（-5）|=5，
解得：a=0或-10，
故选：C．
例4
数轴上点A和点B表示的数分别是-1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P表示的数是（ ）
【答案】D
【分析】根据AB的距离为4，小于6，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可．
【解答】解：∵AB=|3-（-1）|=4，点P到A、B两点的距离之和为6，
设点P表示的数为x，
∴点P在点A的左边时，-1-x+3-x=6，
解得：x=-2，
点P在点B的右边时，x-3+x-（-1）=6，
解得：x=4，
综上所述，点P表示的数是-2或4．
故选：D．
变式5
数轴上点M与点N表示的数分别是5和-2，点P到点M、N两点的距离之和为10，则点P所在的点表示的数是 .
【答案】6.5或3.5
【分析】根据AB的距离为7，小于10，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况，然后求解即可．
【解答】解：∵AB=|5-（-2）|=7，点P到A、B两点的距离之和为10，所以P点可以等于6.5或-3.5
例5
数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点的距离是 ，A、B两点的中点是 ．若a=2，b=-4，那么A、B两点的中点是 .
【方法总结】数轴上计算两点中点的方法是____________________________.
【答案】a-b；；-1
例6
数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC=2，则C点表示的数是 ，AC的中点所表示的数是 .
【答案】3或7；2或4
变式6
如下图所示，A、B两点的距离是 ，A、B的中点所表示的数是 .
【答案】8；4
数轴上的动点问题
题型三
例1
一只蚂蚁沿数轴从点A向右爬5个单位长度到达点B，点B表示的数是-2，则点A所表示的数是（ ）
【方法总结】右+左-.
【答案】D
【分析】设出点A所表示的数，根据向左减，向右加列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设点A所表示的数为x，
根据题意得，x+5=-2，
解得：x=-7，
故选：D．
例2
如图，在数轴上，点A表示的数是-2，将点A沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点P，则点P表示的数是（ ）

【答案】C
【分析】根据右移加可求点P表示的数．
【解答】解：点P表示的数是-2+4=2．
故选：C．
变式1
在数轴上，点A表示-2，从A点出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达B点，则点B表示的数是 .
【答案】见试题解答内容
【分析】由点A表示的数结合点A运动的方向及位移，即可得出点B表示的数，此题得解．
【解答】解：根据题意得：点B表示的数为-2+3=1．
故答案为：1．
变式2
数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若C表示的数为3，则点A表示的数为（ ）
【答案】B
【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案．
【解答】解：3-6+3=0
故选：B．
相反数的定义
题型四
例1
下列说法正确的是（ ）
【答案】D
【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确选项．
【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零．
∵3和-5的符号相反，但3和-5不是相反数，
∴A选项错误；
∵5的相反数是-5，
∴B选项错误；
∵-2的相反数是2，2＞-2，
∴C选项错误；
∵一个数的相反数是它本身，
∴D选项正确；
故选：D．
例2
+5的相反数是_______；_______的相反数是-2.3；与_______互为相反数.
【答案】5；2.3；
变式1
如果一个数与-2021互为相反数，那么这个数是 .
【答案】2021
变式2
下列各数中，3的相反数的倒数是（ ）
【答案】D
相反数的应用
题型五
例1
若a、b互为相反数，则a+b+2的值为 .
【答案】2
例2
有理数a向左移动4个单位得到a的相反数，则a的值是 .
【分析】a向左移动4个单位后表示的数是a-4，可列方程解答．
【解答】解：根据题意可得：a-4=-a，
解得a=2，
故答案为：2．
变式1
若a，b互为相反数，则a（a+b）的值为 .
【答案】0
例3
如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为_______；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为_______；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点；
（3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可．
【解答】解：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；
（3）如图所示：
故答案为：B；C．
变式2
如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
【解答】解：（1）点C表示的数是-1；
（2）点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5．
数轴和相反数分类专练
作业一 数轴的认识及应用
1.下列说法中错误的是（ ）
【答案】A
【分析】根据数轴的定义判断所给的四个命题是否正确．特别注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大；所有的有理数都可以用数轴上的点表示．
【解答】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，不是长度，故此选项错误；
B、数轴上的原点表示数零，故此选项正确；
C、在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，故此选项正确；
D、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，故此选项正确．
故选：A．
2.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（ ）
【答案】C
【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．
【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于-3，且小于-1，
因此备选项中，只有选项C符合题意，
故选：C．
3.如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（ ）
【答案】A
【分析】根据题目中的数轴和数轴的特点，可知蚂蚁所在的位置表示的数为正数，从而可以解答本题．
【解答】解：由数轴可知，
蚂蚁在原点的右侧，故数轴上蚂蚁所在点表示的数为正数，
故选：A．
4.如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（ ）
【答案】B
【分析】根据数轴的意义及其表示数的性质，可确定四段中各包含的整数个数，即可确定正确答案．
【解答】解：段①-2.3～-1.1中有整数-2；
段②-1.1～0.1中有整数-1和0；
段③0.1～1.3中有整数1；
段④1.3～2.5中有整数2；
∴有两个整数的是段②．
故选：B．
5.数轴上表示-6和4的点分别是A和B，则线段AB的长度是（ ）
【答案】D
【分析】计算数轴上两点间距离．
【解答】解：AB=4-（-6）=10．
故选：D．
6.如图所示，A，B两点在数轴上，点A对应的数为2．若线段AB的长为3，则点B对应的数为（ ）
【答案】A
【分析】此题即是把2向左移动了3个单位长度，即2-3=-1．
【解答】解：根据数轴可知B＜0，A＞0，
∴B点对应的数为2-3=-1．
故选：A．
7.在数轴上距离原点6个单位长度的点所表示的数是（ ）
【答案】C
【分析】根据数轴上点的坐标的特征可求解．
【解答】解：在数轴上距离原点6个单位长度的点所表示的数是6或-6．
故选：C．
8.在数轴上与表示-3的点的距离等于5的点所表示的数是__________.
【答案】2或-8
【分析】根据题意可以得到在数轴上与表示-3的点距离等于5的点所表示的数，从而可以解答本题．
【解答】解：在数轴上与表示-3的点距离等于5的点所表示的数是：-3+5=2或-3-5=-8，
即在数轴上与表示-3的点距离等于5的点所表示的数是2或-8．
故答案为：2或-8．
9.在数轴上，到表示-1的点的距离等于5个单位的点所表示的数是__________.
【答案】a=4或-6
【分析】根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：设该点对应数轴上的数值为：a，则|a-（-1）|=5，
解得：a=4或-6，
故答案为：a=4或-6．
10.数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数分别为0和6，若BC=4，则AC的中点所表示的数是_______.
【答案】1或5
11.已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是：_______；点B表示的数是：_______．
（2）A，B两点间的距离是_______个单位，线段AB中点表示的数是_______．
【答案】（1）-20；100． （2）120；40
【分析】（1）利用数轴上点表示的数的特征即可；
（2）两点间的距离用大数减小数．
【解答】解：（1）∵点A在原点左侧且距原点20个单位，
∴点A表示的数是-20，
∵点B在原点右侧且距原点100个单位，
∴点B表示的数是100，
故答案为：-20；100．
（2）∵点A表示的数是-20，点B表示的数是100，
∴A、B两点间的距离为100-（-20）=120，
线段AB中点表示的数是100-120÷2=40，
故答案为：120；40．
作业二 数轴的动点问题
1.若一个点在数轴上从原点处向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，此时终点所表示的数是________.
【答案】2．
【分析】根据题目条件，直接移动即可．
【解答】解：一个点在数轴上从原点处向左移动3个单位长度，表示的数是-3；再向右移动5个单位长度，表示的数是2．
故答案为：2．
2.数轴上点A表示的数是-3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则平移后点B表示的数是________.
【答案】见试题解答内容
【分析】数轴上点的平移：向左平移，表示的数减少，向右平移，表示的数增大，平移距离等于增加或减少的数，向右平移7个单位，即增加7，向左平移就减少7
【解答】如果向右平移：-3+7=4 如果向左平移：-3-7=-10
故填4或-10
3.点A在数轴上距离原点3个单位长度，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是________.
【答案】见试题解答内容
【分析】此题借助数轴用数形结合的方法求解．由于点A与原点的距离为3，那么A应有两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离为3，这两个点对应的数分别是-3和3．A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，通过数轴上“右加左减”的规律，即可求得平移后点A表示的数．
【解答】解：点A在数轴上距离原点3个单位长度，当点A在原点左边时，点A表示的数是-3，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是-3+4-7=-6；当点A在原点右边时，点A表示的数是3，将A向右移动4个单位，再向左移动7个单位长度得3+4-7=0．
故答案为：-6 或 0．
作业三 相反数的定义
1.下面说法正确的是（ ）
【答案】C
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行分析即可．
【解答】解：A、π的相反数是-π，故该选项说法错误；
B、只有符号相反的数互为相反数，故该选项说法错误；
C、一个数和它的相反数可能相等，例如0，故该选项说法正确；
D、正数与负数互为相反数，例如-2和3，符合说法，但不是相反数，故该选项说法错误；
故选：C．
2.的相反数为（ ）
【答案】D
3.的相反数是（ ）
【答案】C
4.下列各组数中，互为相反数的是（ ）
【答案】B
【分析】根据相反数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、-（+5）=-5，-5与-（+5）相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意；
B、-（-8）=8，-8与-（-8）是互为相反数，故本选项符合题意；
C、+（-8）=-8，-（+8）=-8，+（-8）与-（+8）相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意；
D、-（-8）=8，8与-（-8）相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意．
故选：B．
5.相反数等于它本身的数是______.
【答案】0
作业四 相反数的应用
1.若a、b互为相反数，则_________.
【答案】a+b=0
2.若a、b互为相反数，则2（a+b）+3的值为（ ）
【答案】B
【分析】直接利用互为相反数的定义得出a+b=0，进而得出答案．
【解答】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0，
∴2（a+b）+3
=2×0+3
=3．
故选：B．
3.有理数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上分别用A、B两点表示-a，-b．
（2）若数b与-b表示的点相距20个单位长度，则b与-b表示的数分别是什么？
（3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与-a表示的数是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出-a，-b；
（2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b与-b表示的数；
（3）先得到-b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a与-a表示的数．
【解答】解：（1）如图：
（2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为20÷2=10，
所以b表示的数是-10，-b表示的数是10；
（3）因为-b表示的点到原点的距离为10，
而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，
所以a表示的点到原点的距离为10-5=5，
所以a表示的数是5，-a表示的数是-5．
第07讲 绝对值及其应用
01课堂目标
02知识梳理
1.一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值，记作 .
【答案】原点；
2.正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 .
即当a＞0时， ；当a＜0时， ；当a=0时， .
【答案】它本身；它的相反数；0
【注意】：绝对值等于它本身的数是__________.所以若，那么a就是非负数；若，那么a就是非正数.
【答案】正数和0
03例题精析
绝对值的定义
题型一
例1
下列说法：
①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等；⑤只有负数的绝对值是它的相反数；⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数．
其中正确的有（ ）
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质进行判断即可．
【解答】解：①互为相反数的两个数的绝对值相等，故①正确；
②绝对值等于它本身的数是非负数，故②错误；
③不相等的两个数绝对值可能相等，如2与-2，故③错误；
④绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故④错误；
⑤负数和0的绝对值是它的相反数，故⑤错误；
⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数，故⑥正确；
综上所述，①⑥正确，正确的个数为2，
故选：C．
例2
下列说法中正确的是（ ）
【答案】D
变式1
在数轴上，下面说法中不正确的是（ ）
【答案】D
变式2
下列说法中，正确的有（ ）
①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③ 任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等.
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义对各选项进行判断．
【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以（1）错误；绝对值最小的有理数是0，所以（2）正确；任何数的绝对值都是非负数，所以（3）正确；互为相反数的两个数的绝对值相等，所以（4）正确．
故选：C．
绝对值的计算
题型二
例1
计算：______；______；______；______；______.
【答案】3.7；0；-3.3；-0.75；-0.75
变式1
写出下列各数的绝对值：6，-3.5，0，，，-4，1.2，π.
【答案】6；3.5；0；；；1.2；π
例2
若|x|=5，|y|=2且x＜0，y＞0，则x+y=（ ）
【答案】D
【分析】由绝对值的定义，得x=±5，y=±2，再根据x＜0，y＞0，确定x、y的具体对应值，最后代入计算x+y的值．
【解答】解：∵|x|=5，|y|=2，
∴x=±5，y=±2，
∵x＜0，y＞0，
∴x=-5，y=2，
∴x+y=-3．
故选：D．
例3
如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，则a-b的值是_________.
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据绝对值的意义求得a，b的值，再由|a+b|=a+b确定出a与b的对应值有两种可能性，然后分别代入a-b，根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：∵|a|=4，|b|=2，
∴a=±4，b=±2，
∵|a+b|=a+b，
∴a+b＞0，
∴a、b同正即a=4，b=2，或a=4，b=-2．
当a=4，b=2时，a-b=4-2=2；
当a=4，b=-2时，a-b=4-（-2）=4+2=6．
故a-b的值为：2或6．
变式2
若，，则_________.
【答案】4或2或-4或-2
【解答】解：∵|x|=3，|y|=1，
∴x=±3，y=±1，
∴x+y=4或2或-4或-2，
故x+y的值为：4或2或-4或-2．
变式3
若，是5的相反数，则_________.
【答案】-1或-9
变式4
若m满足，则m的取值是_________.
【答案】1或-5
例4
如果，则a一定是（ ）
【答案】A
【分析】直接利用绝对值的性质分别分析得出答案．
【解答】解：∵|3a|=-3a，
∴-3a≥0，
∴a≤0，
即a一定是非正数．
故选：A．
变式5
若|a|=-a，则a的值不可以是（ ）
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质进行判断．
【解答】解：因为|a|≥0，
所以|a|的值是非负数．
|a|=-a，-a是非负数，所以a是负数或零．
故选：A．
比较大小
题型三
例1
在有理数，-1，0，2中，最小的数是（ ）
【答案】C
例2
下列比较有理数的大小，正确的是（ ）
【答案】C
变式1
下列各数中，比-2021小的是（ ）
【答案】A
例3
已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则下列关系正确的是（ ）
【方法总结】比较大小我们可以使用代值的方法.
【答案】A
【分析】根据：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：-a＜0，-b＞0，-a＜b，据此判断出a、-a、b、-b的大小关系即可．
【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
∴-a＜0，-b＞0，-a＜b，
∴b＜-a＜a＜-b．
故选：A．
变式2
有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、-a、-b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
【答案】C
【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，
则-b＜a＜0＜-a＜b．
故选：C．
变式3
若0＜m＜1，m、m2、1m的大小关系是（ ）
【答案】B
绝对值的化简
题型四
例1
已知-1≤x≤2，则化简代数式3|x-2|-|x+1|的结果是（ ）
【方法总结】绝对值的化简主要是看绝对值内的正负性，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号.
【答案】A
【分析】由于-1≤x≤2，根据不等式性质可得：x-2≤0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．
【解答】解：∵-1≤x≤2，
∴x-2≤0，x+1≥0，
∴3|x-2|-|x+1|=3（2-x）-（x+1）=-4x+5；
故选：A．
变式1
当1＜x＜5时，化简|x-1|+|x-6|=_______.
【答案】5．
【分析】先运用不等式性质得出：x-1＞0，x-6＜0，再运用绝对值性质化简即可．
【解答】解：∵1＜x＜5，
∴x-1＞0，x-6＜0，
∴|x-1|+|x-6|=x-1-（x-6）=5；
故答案为：5．
例2
如图，化简代数式|b-a|-|a-1|+|b+2|的结果是_______.
【方法总结】在数轴上，左-右0.
【答案】3．
【分析】根据有理数a、b在数轴上的位置，可以得出b-a，a-1、b+2的符号，进而化简即可．
【解答】解：由有理数a、b、c在数轴上的位置，可得，-1＜b＜0，1＜a＜2，
所以有b-a＜0，a-1＞0，b+2＞0，
因此|b-a|-|a-1|+|b+2|=a-b-（a-1）+（b+2）=a-b-a+1+b+2=3，
故答案为：3．
例3
有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=_______.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c＜1，
∴a+b＜0，b-1＜0，a-c＜0，1-c＞0，
则原式=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2．
变式2
已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|-|a-b|结果是_______.
【答案】c+b．
【分析】先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则，判断a+c、a-b的正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论．
【解答】解：由数轴知：b＜a＜0＜c，c＞|a|，
∴a+c＞0，a-b＞0，
所以|a+c|-|a-b|
=a+c-a+b
=c+b，
故答案为：c+b．
变式3
数轴上，有理数a、b、-a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c-b|的结果为（ ）
【答案】C
【分析】根据数轴上a、b、-a、c的位置去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【解答】解：由图可知a＜0＜b＜-a＜c，
∴a+c＞0，a+b＜0，c-b＞0，
∴|a+c|+|a+b|+|c-b|=a+c-a-b+c-b=2c-2b．
故选：C．
变式4
已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+b|-|c-a|+|b+2c|=_______.
【答案】见试题解答内容
【分析】由图可知：c＜a＜b，|a+b|-|c-a|+|b+2c|=b+a-（a-c）-（b+2c）=-c．
【解答】解：由图可知：c＜a＜b，
∴|a+b|-|c-a|+|b+2c|=b+a-（a-c）-（b+2c）=-c，
故答案为-c．
绝对值的应用
题型五
例1
代数式|x+2|+|-2|的最小值等于_______.
【答案】2．
【分析】|x+2|≥0，|-2|=2，即可得出结果．
【解答】解：∵|x+2|≥0，|-2|=2，
∴|x+2|+|-2|的最小值2．
故答案为：2．
例2
若a为有理数，则|a-3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2|-|a-1|的最大值是_______．
【方法总结】1.|x-a|+|x-b|有最小值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之和，那么当介于a、b之间时，就有最小值|a|+|b|.
2.|x-a|-|x-b|有最大值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之差，那么当位于a、b之外时，就有最大值|a-b|.
【答案】7；3
变式1
|x-6|+|x-1|的最小值是_______.
【答案】5
变式2
求|x-2|+|x-7|的最小值是_______；|x-2|-|x-7|的最大值是_______.
【答案】5；5
变式3
求|x-1|+|x+4|的最小值是_______.
【答案】5
例3
若ab≠0，那么的取值不可能是（ ）
【答案】C
例4
已知a，b，c为有理数且abc≠0，则_______.
【答案】3或-3或1或-1
变式4
已知a，b为非零有理数，则的值为（ ）
【答案】C
变式5
已知，那么_______.
【答案】-1或3
绝对值非负性的应用
题型六
例5
已知，则______，______.
【方法总结】非负数+非负数=0，那么它们应该都等于0.
【答案】1；-2
例6
已知，则______，______.
【答案】3；6
例7
已知与互为相反数，则______.
【答案】4
变式6
已知，则______，______.
【答案】1；2
变式7
已知与互为相反数，则______.
【答案】8
绝对值及其应用分类专练
作业一 绝对值的定义
1.下列说法正确的是（ ）
【答案】A
【分析】A：根据整数的特征，可得最小的正整数是1，据此判断即可．
B：负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身，据此判断即可．
C：绝对值等于它本身的数是正数或0，据此判断即可．
D：一个非零数的绝对值比0大，0的绝对值等于0，据此判断即可．
【解答】解：∵最小的正整数是1，
∴选项A正确；
∵负数的相反数一定比它本身大，0的相反数等于它本身，
∴选项B不正确；
∵绝对值等于它本身的数是正数或0，
∴选项C不正确；
∵一个非零数的绝对值比0大，0的绝对值等于0，
∴选项D不正确．
故选：A．
2.下列说法不正确的是（ ）
【答案】D
【分析】根据有理数的分类，以及绝对值得性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，进行分析即可．
【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，说法正确；
B、0的绝对值是0，说法正确；
C、一个有理数不是整数就是分数，说法正确；
D、没有绝对值最小的正数，原来的说法错误．
故选：D．
3.一个负数在增大时，它的绝对值在______（填“增大”或“减小”）；一个正数在增大时，它的绝对值在______（填“增大”或“减小”）.
【答案】增大；增大
作业二 绝对值的计算
1.的绝对值是（ ）
【答案】B
2.等于（ ）
【答案】A
3.的相反数等于（ ）
【答案】B
4.若|x|=1，|y|=5，且x>0，y0，则x+y=_______.
【答案】±5
7.如果，则x一定是（ ）
【答案】A
8.如果，则a+1一定是（ ）
【答案】C
作业三 比较大小
1.下列四个数中，最小的数是（ ）
【答案】A
2.下列各数，依照从大到小顺序排列的是（ ）
【答案】B
3.如果a、b都是实数，且a＜b，那么下列结论中，正确的是（ ）
【答案】B
4.如图，数a在原点的左边，则a、-a、0的大小关系正确的是（ ）

【答案】C
【分析】根据图示，可得：a＜0，-a＞0，据此判断出a、-a、0的大小关系即可．
【解答】解：根据图示，可得：a＜0，-a＞0，
∴a＜0＜-a．
故选：C．
5.a，b在数轴上位置如图所示，则a，b，-a，-b的大小顺序是（ ）
【答案】D
【分析】从数轴上a、b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，根据以上结论即可得出答案．
【解答】解：从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，
即b＜-a＜a＜-b，
故选：D．
作业四 绝对值的化简
1.数a的位置如图，化简|a|+|a+4|=______.
【答案】4．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴得：-1＜a＜0，
∴a＜0，a+4＞0，
则原式=-a+a+4=4．
故答案为：4．
2.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|-a的结果是______.
【答案】b．
【分析】首先根据数轴可以得到a、b的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．
【解答】解：由数轴上各点的位置可知：a＜0＜b，且|b|＞|a|．
∴|a+b|-a=a+b-a=b．
故答案为：b．
3.已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|-|a-b|结果是______.
【答案】c+b．
【分析】先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则，判断a+c、a-b的正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论．
【解答】解：由数轴知：b＜a＜0＜c，c＞|a|，
∴a+c＞0，a-b＞0，
所以|a+c|-|a-b|
=a+c-a+b
=c+b，
故答案为：c+b．
作业五 绝对值的应用
1.代数式|x+1|+|x-2|的最小值等于_______.
【答案】3
2.代数式|a+2|+|a-3|的最小值是_______，|a+2|-|a-3|的最大值是_______．
【答案】5；5
3.已知a，b，c为非零有理数，则的值为_______．
【答案】±3或±1
作业六 绝对值非负性的应用
1.已知，则______，______.
【答案】-1；2
2.已知与互为相反数，则______，______.
【答案】1；6
3.已知，则______.
【答案】-1
第08讲 有理数的加减运算
01课堂目标
02知识梳理
1.有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）
◆同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
◆异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
◆互为相反数的两个数相加得_____；（如果两个数的和为_____，那么这两个数互为相反数）
◆一个数同0相加，仍得这个数.
【答案】0；0
2.有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的_______，即.
【注意】：计算过程中，一定要注意符号.
【答案】相反数
03例题精析
有理数的加减运算
题型一
例1
计算下列各题：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）4；（2）-8；（3）-4；（4）0；（5）-1；（6）
变式1
计算下列各题：
（1） （2） （3）
【答案】（1）-2；（2）-20；（3）
例2
计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）4；（3）0；（4）
变式2
计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）1；（2）0；（3）-3；（4）-10
绝对值的性质
题型二
例1
已知，，且、异号，求的值．
【答案】14或-16
【方法总结】若|x|=a（a≥0），则x=±a.
变式1
已知，，且，求的值．
【答案】x=4；y=1或-3
例2
已知，，且，求的值．
【答案】-3或-15
【方法总结】若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0.
例3
已知，，且，求的值．
【答案】-10或-6
变式2
已知，，且，求的值．
【答案】-1或-5
有理数的加减法分类专练
作业一 有理数的加减法
1.计算（-4）+6的值是（ ）
【答案】D
【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：（-4）+6=2．
故选：D．
2.某地区一天三次测量气温如下，早上是-6℃，中午上升了7℃，半夜下降了9℃，则半夜的气温是（ ）
【答案】B
【分析】温度上升用加法，温度下降用减法，列出式子计算即可．
【解答】解：-6+7-9=-8（°C）．
故选：B．
3.计算2-|-3|的结果是（ ）
【答案】B
【分析】|-3|去绝对值为3，再计算2-3即可．
【解答】解：原式=2-3=-1，
故A、C、D错误，
故选：B．
4.两个负数相加，其和一定是（ ）
【答案】B
【分析】同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加．两个负数相加，它们的和取负号．
【解答】解：根据有理数的加法法则，两个负数相加，和取它们相同的符号，取负号，所以和为负数．
故选：B．
5.计算的结果等于（ ）
【答案】A
6.计算下列各题：
（1） （2）
（4）
（5） （6）
【答案】（1）1；（2）-1；（3）；（4）10；（5）；（6）3
作业二 绝对值的性质
1.已知|a|=4，|b|=2，且ab 0；
◆若ab＞0，则a、b_______；
◆若ab＜0，则a、b_______；
◆若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0.
【答案】同号；异号
3.有理数除法法则
◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
【答案】倒数
4.有理数的乘方运算
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的
运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂.
03例题精析
有理数的乘除、乘方运算
题型一
例1
计算下列各题：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）-4；（2）4；（3）-4；（4）16；（5）2；（6）17
变式1
计算下列各题：
（1） （2） （3）
【答案】（1）-2；（2）；（3）9
例2
计算下列各题：
（1） （2）
【答案】（1）-1；（2）17
变式2
计算下列各题：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）-2
科学计数法
题型二
【方法点睛】万是104；亿是108.
例1
随着环境污染整治的逐步推进，某经济开发区的40家化工企业已关停、整改38家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（ ）
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：167000=1.67×105，
故选：C．
例2
去年政府工作报告中指出：2020年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万，则数字1109万用科学记数法表示是__________.
【答案】1.109×107．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1109万=1.109×107．
故答案为：1.109×107．
变式1
5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部
高清电影只需要1秒．请将1300000用科学记数法表示为__________.
【答案】见试题解答内容
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．
故答案是：1.3×106．
变式2
从河南省工商联获悉，自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，全省
民营企业、商会及企业家个人累计7412家（人），共向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医
院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约10.1亿元．10.1亿用科学记数法表示应为（ ）
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于10.1亿=1010000000有10位，所以可以确定n=10-1=9．
【解答】解：10.1亿=1010000000=1.01×109．
故选：C．
近似数
题型三
例1
下列说法正确的是（ ）
【方法点睛】精确位数需要还原；有效数字不能还原，且有效数字是从第一个非零数字开始算.
【答案】D
【分析】根据近似数的精确度分别进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A、0.750精确到千分位，故本选项错误；
B、3.079×104精确到十位，故本选项错误；
C、38万精确到万位，故本选项错误；
D、2.80×105精确到千位，故本选项正确；
故选：D．
例2
据统计我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿有______个有效数字，精确到______位．
【答案】三；百万
变式1
近似数3.20×105的精确度说法正确的是（ ）
【答案】C
【分析】近似数3.20×105中的3表示三十万，应是十万位，3.20的最后一位应是千位，因而这个数精确到千位数．
【解答】解：近似数3.20×105精确到千位，
故选：C．
变式2
近似数4.131×104精确到______位，有______个有效数字.
【答案】十；四
有理数的混合运算
题型四
例1
计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）-1；（4）6
变式1
计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）
例2
计算下列各题：
（1） （2）
【答案】（1）-7.14；（2）-10
变式2
化简________.
【答案】-π-1
有理数的乘除、乘方运算分类专练
作业一 有理数的乘除、乘方运算
1.负数乘负数结果一定为_______；负数乘正数结果一定为_______.
2.计算：（-6）÷3的结果是（ ）
【答案】A
【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可．
【解答】解：原式=-6÷3=-2．
故选：A．
3.的倒数（ ）
【答案】C
4.计算（-3）×（-2）的结果等于（ ）
【答案】B
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可解答本题．
【解答】解：（-3）×（-2）
=+（3×2）
=6．
故选：B．
5.（ ）
【答案】A
6.计算的结果是（ ）
【答案】A
7._______；_______.
【答案】1；-1
8.计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【答案】（1）-25；（2）71；（3）；（4）-2；（5）；（6）-1
9.计算下列各题：
（1） （2）
【答案】（1）-5；（2）2
作业二 科学计数法
1.地球到月球的平均距离是384400000米，用科学记数法表示384400000是（ ）
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：384400000=3.844×108．
故选：B．
2.入冬以来，全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（ ）
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：75000万=750000000=7.5×108．
故选：C．
作业三 近似数
1.近似数27.3万是精确到（ ）
【答案】A
【分析】根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，找出3在哪一位上即可．
【解答】解：近似数27.3万是精确到0.1万，即精确到千位，
故选：A．
2.下列由四舍五入得到的近似数说法正确的是（ ）
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：A、0.720精确到千分位，所以A选项错误；
B、2.90精确到0.01，所以B选项正确；
C、3.6万精确到千位，所以C选项错误；
D、5.078×104精确到十位，所以D选项错误．
故选：B．
作业四 有理数的混合运算
1.计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）13；（2）-2；（3）2；（4）
第10讲 有理数的应用
01课堂目标
02例题精析
利用有理数的性质求值
题型一
例1
已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，可以求得a+b，cd，x的值，然后即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，
∴a+b=0，cd=1，x=±2，
当x=2时，原式=23+1×22-0
=8+1×4-0
=8+4-0
=12；
当x=-2时，原式=（-2）3+1×（-2）2-0
=-8+1×4-0
=-8+4-0
=-4，
由上可得，原式的值为12或-4．
例2
若a与b互为相反数，c与d互为倒数，|m|=2，求代数式的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案．
【解答】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，|m|=2，
∴a+b=0，cd=1，m=±2，
当m=2时，
∴原式=0-2+2×23
=14；
当m=-2时，
∴原式=0-2+2×（-2）3
=--18，
综上所述：代数式的值为14或-18．
变式1
若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m是绝对值等于它本身的数．求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b，cd，m的值，代入原式计算即可得到结果.
【解答】解：由题意得：a+b=0，bc=1，m为非负数，则原式=1.
变式2
已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，|m|是最小的正整数，求的值．
【答案】1或-3．
【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．
【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1，
当m=1时，原式=2×1+0-1=1；
当m=-1时，原式=2×（-1）+0-1=-3；
综上，原式的值为1或-3．
定义新运算
题型二
例1
对于有理数a、b，定义一种新运算“”如下：，则____ ．
【答案】
例2
定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=mn+mn-n，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：
（1）（-2）☆4；
（2）（-1）☆[（-5）☆2]．
【答案】（1）4；（2）-27．
【分析】（1）根据m☆n=mn+mn-n，可以求得所求式子的值；
（2）根据m☆n=mn+mn-n，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）∵m☆n=mn+mn-n，
∴（-2）☆4
=（-2）4+（-2）×4-4
=16+（-8）+（-4）
=4；
（2）∵m☆n=mn+mn-n，
∴（-1）☆[（-5）☆2]
=（-1）☆[（-5）2+（-5）×2-2]
=（-1）☆（25-10-2）
=（-1）☆13
=（-1）13+（-1）×13-13
=（-1）+（-13）+（-13）
=-27．
变式1
已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b=2b-3a，例如：1※2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2※3）※5=__________．
【答案】10．
【分析】根据a※b=2b-3a，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：∵a※b=2b-3a，
∴（2※3）※5
=（2×3-3×2）※5
=（6-6）※5
=0※5
=2×5-3×0
=10-0
=10，
故答案为：10．
变式2
规定一种新运算a*b=a-b2，则4*[5*（-2）]=__________．
【答案】3．
【分析】根据a*b=a-b2，可以求得所求式子的值
【解答】解：∵a*b=a-b2，
∴4*[5*（-2）]
=4*[5-（-2）2]
=4*（5-4）
=4*1
=4-12
=4-1
=3，
故答案为：3．
有理数中的实际应用
题型三
例1
某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东
行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）
（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A地最远．
（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；
（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；
（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．
【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，
第二次距A地：15-8=7千米，
第三次距A地：7+6=13千米，
第四次距A地：13+12=25千米，
第五次距A地：25-4=21千米，
第六次距A地：21+5=26千米，
第七次距A地：26-10=16千米，
26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，
答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；
（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），
答：B地在A地东方，与A地相距16千米；
（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），
60×0.2=12（升），
12×7=84（元）．
答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．
故答案为：6．
变式1
在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上
到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，
+13，-4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；
（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．
【解答】解：（1）∵15-8+9-6+14-5+13-4=28，
∴B地在A地的东边28千米；
（2）这一天走的总路程为：15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米，
应耗油74×0.6=44.4（升），
故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
15千米；15-8=7千米；
7+9=16千米；
16-6=10千米；
10+14=24千米；
24-5=19千米；
19+13=32千米；
32-4=28千米．
∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．
例2
汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，
他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格
在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，
如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．
（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最
低，每升多少元？
（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶
的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求得这七次调整后92号汽油的价格，比较即可得到结论；
（2）根据单位油价乘以总用油量，可得答案．
【解答】解：（1）第一次价格：6.74-0.30=6.44（元），
第二次价格：6.44+0.27=6.71（元），
第三次价格：6.71+0.27=6.98（元），
第四次价格：6.98-0.12=6.86（元），
第五次价格：6.86+0.18=7.04（元），
第六次价格：7.04-0.05=6.99（元），
第七次价格：6.99-0.10=6.89（元），
∵6.44＜6.71＜6.86＜6.89＜6.98＜6.99＜7.04，
∴第五次调整后92号汽油的价格最高，每升7.04元，第一次调整后92号汽油的价格最低，每升6.44元；
（2）600÷100×8=48（升），
6.99×48=335.52（元），
答：在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是335.52元．
变式2
2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；
（2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？
（3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人
的工资总额是多少元？
【答案】（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个；
（2）这周产量超产500个；
（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．
【分析】（1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；
（2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个；
（3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解．
【解答】解：（1）+300-（-200）=500（个），
（2）+150-200+300-100-50+250+150=500（个），
（3）6000×7+（150-200+300-100-50+250+150）=42500（个），
42500×0.2=8500（元），
答：（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个；
（2）这周产量超产500个；
（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．
有理数的应用分类专练
作业一 利用有理数的性质求值
1.若a与b互为相反数，b与c互为倒数，并且m的平方等于它本身，试求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案
【解答】解：∵a与b互为相反数b与c互为倒数，并且m的平方等于它本身，
∴a+b=0，bc=1，m=1或0；
当m=1时，则原式=0+1-3=-2；
当m=0时，则原式=0+1-0=1．
2.已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是2，求代数式的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．
【解答】解：由题意得，a+b=0，cd=1，m=±2，
分两种情况：
（1）当m=2时，原式=；（2）当m=-2时，原式=
作业二 定义新运算
1.对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定ab=|a+b|-|a-b|．计算（-3）2的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a⊗b=|a+b|-|a-b|，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a⊗b=|a+b|-|a-b|，
∴（-3）⊗2
=|（-3）+2|-|（-3）-2|
=1-5
=-4.
2.定义一种新运算“”，即mn=（m+2）×3-n，例如23=（2+2）×3-3=9．根据规定解答下列问题：
（1）求6（-3）的值；
（2）通过计算说明6（-3）与（-3）6的值相等吗？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）分别计算出两式的值，即可做出判断．
【解答】解：（1）6⊗（-3）=（6+2）×3-（-3）
=24+3
=27；
（2）（-3）⊗6=（-3+2）×3-6
=-3-6
=-9，
所以6⊗（-3）与（-3）⊗6的值不相等．
作业三 有理数中的实际应用
1.有10袋小麦，每袋以90kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如表：
（1）请通过计算说明这10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg？
（2）若每千克小麦2.5元，求10袋小麦一共可以卖多少元？
【答案】（1）超过5.4kg；
（2）2263.5元．
【分析】（1）“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；
（2）先求10袋小麦的总重量，即乘单价即可求解．
【解答】解：（1）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1=5.4（kg）．
故这10袋小麦总计超过5.4kg；
（2）（90×10+5.4）×2.5=2263.5（元）．
故10袋小麦一共可以卖2263.5元．
2.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B
地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．
【解答】解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14-9=5千米；
14-9+8=13千米；
14-9+8-7=6千米；
14-9+8-7+13=19千米；
14-9+8-7+13-6=13千米；
14-9+8-7+13-6+12=25千米；
14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37-28=9（升）
第11讲 单项式与多项式
01课堂目标
02知识梳理
1.单项式
◆单项式概念：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算．或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
◆单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
【注意】：（1）圆周率π SKIPIF 1 < 0 是常数；
（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．
2.代数式
◆代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
◆代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘
号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.
2.多项式
◆多项式概念：几个单项式的和叫多项式.

◆多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
03例题精析
代数式
题型一
例1
下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）
【答案】D
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：A、不符合代数式书写规则，应改为6x，故此选项不符合题意；
B、不符合代数式书写规则，应该为，故此选项不符合题意；
C、不符合代数式书写规则，应该为ab，故此选项不符合题意；
D、符合代数式书写规则，故此选项符合题意．
故选：D．
例2
下列代数式符合书写要求的是（ ）
【答案】C
【分析】根据代数式的书写要求对各选项依次进行判断即可解答．
【解答】解：A、带分数要写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意；
B、应写成分数的形式，原书写错误，故此选项不符合题意；
C、符合书写要求，故此选项符合题意；
D、2应写在字母的前面，乘号省略，原书写错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
变式1
下列各式最符合代数式书写规范的是（ ）
【答案】B
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：A、带分数要写成假分数的形式，原书写不规范，故此选项不符合题意；
B、除法按照分数的写法来写，原书写规范，故此选项符合题意；
C、代数和后面写单位要加括号，原书写不规范，故此选项不符合题意；
D、数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面且省略乘号，原书写不规范，故此选项不符合题意；
故选：B．
整式的概念
题型二
例1
下列各式，，，，，，，中，整式有（ ）
【方法总结】整式的分母中不能含有字母，且常数也是整式.
【答案】C
变式1
在代数式：，，，，，，中，整式有（ ）
【答案】C
单项式
题型三
例1
在式子，，，，，，中，单项式的个数是（ ）
【注意】π是常数，常数是单项式.
【答案】C
变式1
已知，，，，，，中单项式有（ ）
【答案】C
例2
单项式的系数为______，次数为______.
【答案】；5
例3
的系数是______，次数是______．
【注意】π是常数，不是字母.
【答案】；7
变式2
单项式的系数和次数分别是（ ）
【答案】D
【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．
【解答】解：单项式-2πxy2的系数和次数分别是：-2π和3．
故选：D．
变式3
单项式的系数和次数分别是（ ）
【答案】C
例4
如果单项式是6次单项式，那么的值是（ ）
【答案】B
【分析】利用单项式的次数确定方法得出m的值即可．
【解答】解：∵单项式3amb2c是6次单项式，
∴m+2+1=6，
解得：m=3，
故m的值取3．
故选：B．
变式4
已知是关于，的五次单项式，则的值是______.
【答案】-3．
【分析】根据单项式的次数的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：由题意得，|m|+1+1=5，m-3≠0，
解得，m=-3，
故答案为：-3．
多项式
题型四
例1
多项式有______项，是______次式，所以该多项式是______次______项式．
该多项式的二次项系数是______，三次项的系数是______，常数项是______.
【注意】多项式的项数和次数必须用大写数字书写.
【答案】四；四；四；四；4；-2；1
变式1
多项式是______次______项式．三次项的系数是______，常数项是______.
【答案】四；三；-π；4
例2
多项式是关于的四次三项式，则的值是______.
【答案】-3
例3
若多项式是关于，的五次三项式，则常数的值是______.
【答案】-3
变式2
若多项式是关于的二次三项式，则______，______.
【答案】-4；3
变式3
已知是四次三项式，则______.
【答案】-2
例4
将多项式按字母降幂排列是_______________________.
【答案】
变式4
多项式按的降幂排列是_______________________.
【答案】
例5
多项式中不含项，则______.
【方法总结】不含某项，那么这一项的系数等于0.
【答案】0
变式5
多项式中不含项，则______.
【答案】1
单项式与多项式分类专练
作业一 代数式
1.下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】D
2.代数式a-b2的意义表述正确的是（ ）
【答案】A
【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．
【解答】解：a-b2的意义为a减去b的平方的差．
故选：A．
作业二 整式与单项式
1.下列代数式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）之中整式有（ ）
【答案】D
2.请写出一个只含有字母x，y，且次数不超过3的整式：__________.
【答案】示例2xy2
3.单项式的系数为______，次数为______．
【答案】-4；3
4.单项式的系数是______，次数是______次．
【答案】；5
5.已知是关于x，y的七次单项式，求m=______.
【答案】-3
6.已知是关于x、y的四次单项式，则a的值等于______.
【答案】2
作业三 多项式
1.对于多项式，下列说法正确的是（ ）
【答案】C
【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得答案．
【解答】解：A、它是关于m的二次三项式，故原题说法错误；
B、它的一次项系数是-4，故原题说法错误；
C、它的常数项是-2，故原题说法正确；
D、它的二次项是3m2，故原题说法错误；
故选：C．
2.关于多项式，下列说法正确的是（ ）
【答案】B
【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、多项式5x4y-3x2y+4xy-2的三次项的系数为-3，错误，故本选项不符合题意；
B、多项式5x4y-3x2y+4xy-2的常数项是-2，正确，故本选项符合题意；
C、多项式5x4y-3x2y+4xy-2的项为5x4y，-3x2y，4xy，-2，错误，故本选项不符合题意；
D、多项式5x4y-3x2y+4xy-2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
3.多项式的二次项系数是______．
【答案】-2π
4.多项式是关于x的三次二项式，那么a-b=______．
【答案】a=4，b=2，a-b=2
5.若是关于a的三次三项式，则x=______．
【答案】5或-1
6.按字母x升幂排列多项式“”为：___________________.
【答案】
7.当______时，代数式中不含xy项．
【答案】因为多项式不含xy项，所以3k+6=0，所以k=-2
8.多项式中不含项，则______.
【答案】因为多项式不含x2项，所以m+1=0，所以m=-1
第12讲 代数式求值
01课堂目标
02例题精析
代数式求值（整体代入法）
题型一
例1
若，则______，______.
【答案】6；-9
例2
已知代数式的值是，则代数式的值是（ ）
【方法总结】找到多项式的倍数关系，注意倍数关系是正负.
【答案】A
【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．
【解答】解：∵x-2y=3，
∴4y+1-2x=-2（x+2y）+1=-6+1=-5．
故选：A．
变式1
已知，则代数式的值是______.
【答案】9
变式2
已知，则的值为（ ）
【答案】A
例3
当时，代数式的值为，那么当时，这个式子的值等于______.
【方法总结】对于代数式ax3+bx+c，若x=1时，ax3+bx+c的值是m，那么当x=-1时，ax3+bx+c的值是
-(m-c)+c，即-m+2c．[可以利用这一规律来口算该类型题，但是常规的整体代入法必须会用]
【答案】根据规律，可直接算出答案为6
例4
当时，代数式的值为，求当时，代数式的值是（ ）
【答案】根据规律，可直接算出答案，选D
变式3
已知当时，代数式的值为，则当时，代数式的值是______.
【答案】根据规律，可直接算出答案为-30
变式4
已知当时，代数式的值为，则当时，代数式的值是______.
【答案】根据规律，可直接算出答案为-4
代数式求值（程序图）
题型二
例1
如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为-2，则输出的结果是（ ）
【答案】B
【分析】根据题意先将x=-2代入代数式3x+2中，计算若结果大于-5，将结果再代入3x+2中计算，若结果小于-5，输出结果，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，当x=-2时，
第一次运算，3×（-2）+2=-4＞-5，
第二次运算，3×（-4）+2=-10＜-5，
所以输出的结果为-10．
故选：B．
变式1
根据以下程序，当输入x=-2时，输出结果为（ ）

【答案】B
【分析】首先求出当x=-2时，9-x2的值是多少，然后把所得的结果和1比较大小，判断是否输出结果即可．
【解答】解：当x=-2时，
9-x2=9-（-2）2=9-4=5＞1，
当x=5时，
9-x2=9-52=9-25=-16＜1，
∴当输入x=-2时，输出结果为-16．
故选：B．
例2
按如图所示的运算程序，能使输出结果为33的是（ ）
【方法总结】对于这类题，我们可以将选项带入程序图内，再看那个选项能够求出所要的值.
【答案】D
【分析】把各自的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、把a=3，b=4代入运算程序中得：
∵a＜b，
∴y=3a+2=11，不符合题意；
B、把a=2，b=4代入运算程序中得：
∵a＜b，
∴y=3a+2=8，不符合题意；
C、把a=4，b=3代入运算程序中得：
∵a＞b，
∴y=2b2+1=19，不符合题意；
D、把a=5，b=4代入运算程序中得：
∵a＞b，
∴y=2b2+1=33，符合题意，
故选：D．
变式2
按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为6的是（ ）
【答案】A
【分析】把x与y的值代入检验即可．
【解答】解：A、当x=5，y=-1时，输出结果为5+1=6，符合题意；
B、当x=2，y=2时，输出结果为2-4=-2，不符合题意；
C、当x=2，y=-1时，输出结果为2+1=3，不符合题意；
D、当x=-2，y=3时，输出结果为-2-9=-11，不符合题意，
故选：A．
代数式求值分类专练
作业一 利用整体代入法求代数式的值
1.已知：x+y=1，则代数式2x+2y-1的值是（ ）
【答案】C
【分析】将代数式2x+2y-1化为2（x+y）-1，再将x+y=1代入求值即可．
【解答】解：∵x+y=1，
∴2x+2y-1
=2（x+y）-1
=2-1
=1，
故选：C．
2.已知2a-3b=2，则3-2a+3b的值是（ ）
【答案】B
【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵2a-3b=2，
∴原式=3-（2a-3b）=3-2=1．
故选：B．
3.已知，那么代数式的值是（ ）
【答案】C
【分析】变形要求值代数式，然后把变形后的已知代入即可．
【解答】解：∵m2-3m-3=2，
∴m2-3m=5．
∵2030-2m2+6m
=2030-2（m2-3m），
当m2-3m=5时，
原式=2030-2×5
=2020．
故选：C．
4.当时，关于的代数式的值为3，则当时，代数式值为（ ）
【答案】选C.根据规律，可直接算出答案为-1
5.当时，代数式的值是2020，则当时，代数式的值是_______.
【答案】根据规律，可直接算出答案为-2024
作业二 程序框图
1.按如图的程序计算，若开始输入的值x为正整数，当输入x=10时，输出的值为（ ）
【答案】B
【分析】观察图形我们可以得出x和输出的关系式为：输出=2x-4，因此将x的值代入就可以计算出输出的值．如果计算的结果小于40则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值大于40为止．
【解答】解：依据题中的计算程序，当x=10时，2×10-4=16，
由于16＜40，需再次输入，
∴当x=16时，2×16-4=28，
由于28＜40，仍需再次输入，
∴当x=28时，2×28-4=52，
由于52＞40，可以输出．
故选：B．
2.按如图所示的运算程序，能使输出的m的值为1的是（ ）
【答案】C
【分析】把各选项中的x与y的值分别代入运算程序计算即可．
【解答】解：A、当x=1，y=1时，m=x-y=1-1=0≠1，故A不符合题意；
B、当x=2，y=-1时，m=x-y=2-（-1）=3≠1，故B不符合题意；
C、当x=-2，y=-3时，m=x-y=-2-（-3）=1，故C符合题意；
D、当x=-1，y=3时，m=-2x+y=-2×（-1）+3=5≠1，故D不符合题意．
故选：C．
第13讲 合并同类项
01课堂目标
02知识梳理
1.整式的加减基础
◆同类项概念：所含_______相同，并且相同字母的_______也相同的单项式是同类项.
◆合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
【答案】字母；指数
2.去（添）括号法则
◆去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；
◆若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据；
（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；
（3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号；
（4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项；
（5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号.
同类项
题型一
例1
下列各组式子中是同类项的是（ ）
【注意】常数与常数是同类项.
【答案】D
【分析】根据同类项的概念判断即可．
【解答】解：A、2x3与3x2，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项；
B、12ax 与8bx，所含字母不相同，不是同类项；
C、x4与a4，所含字母不相同，不是同类项；
D、23与32，是同类项，
故选：D．
变式1
下列各组单项式中，不是同类项的是（ ）
【答案】C
例2
单项式与是同类项，则的值是（ ）
【答案】B
【分析】先根据同类项的概念得出2m+3=5，5=m-2n，解之求出m、n的值，再代入计算可得．
【解答】解：∵-2a2m+3b5与3a5bm-2n是同类项，
∴2m+3=5，5=m-2n，
解得m=1，n=-2，
则（1-2）2021
=（-1）2021
=-1，
故选：B．
例3
如果单项式-3xay5与x3ya+b的和是单项式，那么a与b的值分别是（ ）
【答案】C
【分析】由单项式-3xay5与x3ya+b的和仍是单项式知：单项式-3xay5与x3ya+b是同类项，根据同类项的概念列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．
【解答】解：由题意，得a=3，a+b=5．
所以a=3，b=2．
故选：C．
变式2
如果2x3y|n|与xm+1y的和是单项式，则m+n的值是（ ）
【答案】D
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵2x3y|n|与-xm+1y的和是单项式，
∴m+1=3，|n|=1，
解得m=2，n=±1，
∴m+n=2+1=3或m+n=2-1=1．
即m+n的值是3或1．
故选：D．
变式3
已知与是同类项，那么（ ）
【答案】B
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解答】解：由题意得：m+1=4，2n+5=1，
∴m=3，n=-2，
故选：B．
添括号与去括号
题型二
例1
（1）多项式去掉括号后是_________________.
（2）多项式去掉括号后是_________________.
【注意】若括号前是“-”，那么去括号一定要记住变号.
【答案】（1）；（2）
例2
下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
【答案】C
变式1
多项式去括号得_________________.
【答案】
变式2
下列计算正确的是（ ）
【答案】D
合并同类项
题型三
例1
合并同类项：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）4m-n；（2）2a2+a-6；（3）-ab2；（4）
变式1
合并同类项：
（1） （2）
【答案】（1）7a2-9a；（2）ab
例2
合并同类项：
（1） （2）
【答案】（1）2x-3y；（2）x2-6x+4
变式2
合并同类项：
（1） （2）
【答案】（1）-3x2；（2）a2-4x
合并同类项（不含某项）
题型四
例1
已知代数式中不含的项，试求的值．
【答案】．
【分析】先将原多项式合并同类项，再令xy项的系数为0，然后解关于k的方程求出k即可．
【解答】解：原式=3y2+8xy2+9x2+（18+5k）xy-27，
因为代数式3y2+8xy2+18xy+9x2+5kxy-27中不含xy的项，
所以18+5k=0，
解得k=．
【方法总结】不含某项，那么这一项的系数等于0.
例2
当______时，多项式中不含项．
【答案】3
【解答】因为多项式不含xy项，所以，xy项的系数为0，即k-3=0，k=3
变式1
若多项式不含项，则的值为______.
【答案】
【解答】因为多项式不含xy项，所以，xy项的系数为0，即，k=
变式2
若代数式不含项，则的值为（ ）
【答案】D
【解答】因为多项式不含xy项，所以，xy项的系数为0，即-2k-6=0，k=-3
例3
已知代数式的值与字母的取值无关，求的值．
【答案】m=6，n=-1.
【分析】代数式合并得到最简结果，令x的二次项与x的一次项系数为0，求出m与n的值．
【解答】解：原式=-3x2+2y-mx+5-3nx2+6x-20y
=-（3+3n）x2+（6-m）x-18y+5，
∵代数式-3x2+2y-mx+5-3nx2+6x-20y的值与字母x的取值无关，
∴6-m=0，3+3n=0，
∴m=6，n=-1.
【方法总结】与“x”的取值无关，那么x2的系数等于0，x的系数也等于0.
例4
若关于的多项式不存在含的一次项和三次项，则______.
【答案】见试题解答内容
【分析】先确定三次项及一次项的系数，再令其为0即可得到a、b的值，再根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：x4-ax3+x3-5x2-bx-3x-1=x4+（1-a）x3-5x2-（b+3）x-1，
∵多项式x4-ax3+x3-5x2-bx-3x-1不存在含x的一次项和三次项，
∴1-a=0，b+3=0，
解得a=1，b=-3，
∴a+b=1-3=-2．
故答案为：-2．
变式3
若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值.
【答案】见试题解答内容
【分析】先确定含x项的系数，再令其为0即可得到a、b的值，再根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：，所以2-2b=0,b=1；a-3=0，a=3。
所以a2b=32=9
变式4
若关于，的多项式中不含三次项，则______.
【答案】m=-2，n=1，所以2m+3n=-1
例5
若代数式的值与字母的取值无关，则______.
【注意】这类题要将y看错x的系数.
【答案】
变式5
若代数式的值与字母的取值无关，则______.
【答案】
合并同类项分类专练
作业一 同类项
1.下列两个单项式中，是同类项的一组是（ ）
【答案】选B.常数与常数是同类项.
2.若与是同类项，则的值为（ ）
【答案】B
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出n，m的值，再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵-2amb4与a3bn+2是同类项，
∴m=3，n+2=4，
解得m=3，n=2，
∴mn=6．
故选：B．
3.若与的和是单项式，则_______.
【答案】m=3，n=-2，
作业二 添括号与去括号
1.下列各式中，去括号正确的是（ ）
【答案】C
2.计算的结果是（ ）
【答案】C
3.化简的结果为_____________.
【答案】-3m+3n
作业三 合并同类项
1.下列计算中，正确的是（ ）
【答案】D
2.下列计算正确的是（ ）
【答案】D
3.合并同类项：
（1） （2）
【答案】（1）-2a；（2）10x2y-2xy2+3
4.合并同类项：
（1） （2）
（3）
【答案】（1）0；（2）5x2-3x-3；（3）5x2+5y2-3xy
作业四 合并同类项
1.如果多项式不含和项，则_______.
【答案】因为多项式不含x3和x项，所以a=1，b=-3，a+b=-2
2.若关于、的多项式中不含项，则_______.
【答案】因为多项式不含x2项，所以3-m=0，m=3
3.若多项式中不含项，则_______.
【答案】因为多项式不含xy项，所以-2k+2=0，k=1
4.若多项式的值与字母的取值无关，则_______，_______.
【答案】因为多项式的值域x取值无关，所以a-5=0，a=5，6+2b=0，b=-3
5.若多项式合并后不含有的项，则_______.
【答案】因为多项式不含xy项，所以k-2=0，k=2
第14讲 整式的加减
01课堂目标
02知识梳理
1.整式的加减基础
◆同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
◆合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
2.去（添）括号法则
◆去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；
◆若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据；
（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；
（3）括号前面是“-”时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号；
（4）括号前是数字因数时，要将数与括号内的各项分别相乘，不能只乘括号里的第一项；
（5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号.
多项式与多项式和的结果
题型一
例1
一个五次多项式的和与另一个五次多项式的和的结果，下列说法错误的是（ ）
【方法总结】五次多项式A=x3-2x4+5x-1，与五次多项式B=-x3+3x4+2x+3，则A+B=x4+7x+2，结果是一个四次多项式。当然，五次多项式加上五次多项式结果还可能为五次多项式、三次多项式、二次多项式、一次多项式，甚至可能为一个常数。所以，同学们在做这类型的题的时候一定要考虑多种可能都有.
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则判断和的次数．
【解答】解：根据题意，五次项没有同类项，所以和的最高次是五次．
由于五次多项式与一个五次多项式相加后可能成为五次单项式，也有可能是四次多项式或0，
不可能是十次多项式
故选：B．
例2
一个四次多项式与一个三次多项式相加，其结果是（ ）
【答案】D
【分析】根据题意和整式加减的计算方法，可以判断一个四次多项式与一个三次多项式相加的可能结果．
【解答】解：一个四次多项式与一个三次多项式相加，其结果不可能是七次多项式，不可能是二次多项式、一定是四次的多项式或单项式，
故选：D．
变式1
两个三次多项式相加，和的次数是（ ）
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则的即可求出答案．
【解答】解：由合并同类项法则可知：两个同类项合并，其次数不能超过该单项式次数，
所以两个三次多项式相加，和的次数小于或等于三，
故选：D．
变式2
一个五次六项式加上一个六次七项式等于几次几项式（ ）
【答案】D
【分析】六次多项式，即其次数最高次项的次数六次．也就是说，每一项都可以是六次，也可以低于六次，但不可以超过六次．
【解答】解：根据多项式的定义，可知六次多项式最少有两项，并且有一项的次数是6．
故选：D．
变式3
若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是（ ）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，利用整式的加减法则判断即可．
【解答】解：若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是四次多项式．
故选：D．
整式的加减
题型二
例1
下列计算正确的是（ ）
【答案】D
变式1
下列运算正确的是（ ）
【答案】D
例2
已知一个多项式的2倍与3x2+9x的和等于-x2+5x-2，则这个多项式是（ ）
【答案】B
【分析】根据题意得出等式，进而移项合并同类项得出答案．
【解答】解：设这个多项式为：M，
由题意可得：2M+3x2+9x=-x2+5x-2，
故2M=-x2+5x-2-（3x2+9x）
=-4x2-4x-2，
则M=-2x2-2x-1．
故选：B．
例3
下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（ ）
【答案】C
变式2
一个多项式加上等于，则这个多项式是（ ）
变式3
某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回到家后拿出自己的课堂笔记，认真地复习老师在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题目：空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是（ ）
【答案】A
【分析】将等式右边的已知项移到左边，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：依题意，空格中的一项是：（2a2+3ab-b2）-（-3a2+ab+5b2）-（5a2-6b2）
=2a2+3ab-b2+3a2-ab-5b2-5a2+6b2=2ab．
故选：A．
例4
有一道题目，是减去一个多项式，而小强误当成了加法运算，结果得到，那么正确的结果是___________.
例5
小文在做多项式减法运算时，将减去误认为是加上，求得的答案是（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
【答案】D
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：设原多项式为A，则A+2a2+3a-5=a2+a-4，
故A=a2+a-4-（2a2+3a-5）
=a2+a-4-2a2-3a+5
=-a2-2a+1，
则-a2-2a+1-（2a2+3a-5）
=-a2-2a+1-2a2-3a+5
=-3a2-5a+6．
故选：D．
变式4
计算一个整式减去多项式时，一个同学误认为是加上此多项式，结果得到的答案是，请你求出原题的正确答案．
【答案】见试题解答内容
【分析】设该整式为A，求出A的表达式，进而可得出结论．
【解答】解：∵A+（3x2-2x+1）=5x2+x-7，
∴A=（5x2+x-7）-（3x2-2x+1）
=5x2+x-7-3x2+2x-1
=2x2+3x-8，
∴A-（3x2-2x+1）
=（2x2+3x-8）-（3x2-2x+1）
=2x2+3x-8-3x2+2x-1
=-x2+5x-9．
变式5
小明在计算一个多项式减去时，误认为是加上这个多项式，结果答案是．
（1）求这个多项式；
（2）正确答案是多少？
【答案】（1）2a2+3a-6；（2）a2+5a-8
例6
若多项式与多项式的差不含二次项，则等于（ ）
【答案】D
【分析】直接利用整式的加减运算法则得出8+2m=0，进而得出答案．
【解答】解：∵多项式2x3-8x2+x-1与多项式3x3+2mx2-5x+3的差不含二次项，
∴2x3-8x2+x-1-（3x3+2mx2-5x+3）
=-x3-（8+2m）x2+6x-4，
∴8+2m=0，
解得：m=-4．
故选：D．
例7
已知代数式，，若的值与的取值无关，则的值为_______．
【答案】．
【分析】化简A-2B后将含y的项进行合并，然后令其系数为0即可求出x的值．
【解答】解：∵A=2x2+4xy-3y+3，B=x2-xy+2，
∴A-2B=2x2+4xy-3y+3-2（x2-xy+2）
=2x2+4xy-3y+3-2x2+2xy-4
=6xy-3y-1
=（6x-3）y-1；
∵A-2B的值与y的取值无关，
∴6x-3=0，解得：x=．
故答案为：．
变式6
若代数式（，为常数）的值与字母的取值无关，则代数式的值为（ ）
【答案】B
【分析】直接利用合并同类项法则以及代数式求值运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵代数式（2x2+ax+6）-（2bx2-3x-1）（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，
∴（2x2+ax+6）-（2bx2-3x-1）
=2x2+ax+6-2bx2+3x+1
=（2-2b）x2+（a+3）x+7，
则2-2b=0，a+3=0，
解得：b=1，a=-3，
则代数式a+2b的值为：-3+2=-1．
故选：B．
变式7
已知，，且多项式的值与字母取值无关，则的值为_______．
【答案】2
整式的加减分类专练
作业一 多项式与多项式和的结果
1.一个三次多项式与一个四次多项式的和是（ ）
【答案】D
【分析】利用去括号法则及合并同类项法则判断即可．
【解答】解：一个三次多项式与一个四次多项式的和是四次多项式或四次单项式，
故选：D．
2.一个五次多项式的和与另一个五次多项式的和的结果，下列说法错误的是（ ）
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则判断和的次数．
【解答】解：根据题意，五次项没有同类项，所以和的最高次是五次．
由于五次多项式与一个五次多项式相加后可能成为五次单项式，也有可能是四次多项式或0，
不可能是十次多项式
故选：B．
3.若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是（ ）
【答案】C
【分析】根据A与B的次数，确定出A+B的次数即可．
【解答】解：∵A是五次多项式，B是四次多项式，
∴A+B的次数是5．
∴A+B一定是五次多项式或五次单项式，
故选：C．
作业二 整式的加减
1.已知，，则等于（ ）
【答案】A
2.一个长方形一边长是，另一边长是，则这个长方形的周长是（ ）
【答案】A
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵一个长方形一边长是2a+3b，另一边长是a+b，
∴这个长方形的周长是：2（2a+3b+a+b）=6a+8b．
故选：A．
3.一个整式减去后所得的结果是，则这个整式是（ ）
【答案】B
4.若一个长方形的周长是，其中一边长是，则这个长方形的另一边的长是（ ）
【答案】C
【分析】根据长方形的周长公式和整式的加减的方法可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
这个长方形的另一边的长是：
（6a+10b）÷2-（2a+3b）
=3a+5b-2a-3b
=a+2b，
故选：C．
5.某同学计算加上某多项式时，由于粗心，误算为减去这个多项式而得到：，请你帮助该同学改正错误，求出正确的答案．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2（2x2-6xy+5y2）-（7y2-8xy-4x2）=4x2-12xy+10y2-7y2+8xy+4x2=8x2-4xy+3y2．
6.李明在计算一个多项式减去时，误认为是加上此式，计算出错误结果为，请求出正确答案．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意先计算出被减数式，然后再进行减法运算即可．
【解答】解：被减数式=-2x2+x-1-（2x2-4x+5）
=-2x2+x-1-2x2+4x-5
=-4x2+5x-6，
故可得正确结果=（-4x2+5x-6）-（2x2-4x+5）
=-4x2+5x-6-2x2+4x-5
=-6x2+9x-11．
7.若多项式与的差与的取值无关，则的值为（ ）
【答案】A
【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而得出a，b的值即可得出答案．
【解答】解：∵多项式ax2+2x-y2-6与x2-bx-4y2+1的差与x的取值无关，
∴ax2+2x-y2-6-（x2-bx-4y2+1）
=（a-1）x2+（2+b）x+3y2-7，
∴a=1，b=-2，
故a-b=1+2=3．
故选：A．
8.多项式与多项式相加后，不含二次项，则的值是（ ）
【答案】A
【分析】将两个多项式进行合并后令二次项的系数为0即可求出m的值．
【解答】解：（8x2-3x+5）+（3x3-4mx2-5x+7）
=8x2-3x+5+3x3-4mx2-5x+7
=3x3+（8-4m）x2-8x+13
令8-4m=0，
∴m=2，
故选：A．
第15讲 整式加减的应用
01课堂目标
02例题精析
整式的比较大小
题型一
例1
如果，，那么与的大小关系是（ ）
【方法总结】比较整式与整式之间的大小关系的方法是两整式相减．若A-B>0，则A>B；A-B