2025年全国高三数学模拟练习试卷（二）含答案

这是一份2025年全国高三数学模拟练习试卷（二）含答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线和圆相离，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（ ）
A．B．0C．D．2
8．已知，.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. 数列是公差为1的等差数列
C. 数列是公比为4的等比数列D. 数列的前2025项和为
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极大值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
11. 在平面直角坐标系中，已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，点与点关于原点对称，过点的直线与曲线交于、两点，则下列命题正确的是（ ）
A. 曲线的轨迹方程为
B. 若点的坐标为，则的最小值为6
C. 存在直线使得
D. 对于任意直线，都有
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为____________．
13. 函数最大值是____________．
14. 在∆ABC中，，是∆ABC所在平面内一点，且AM=λAB+(1-λ)AC，若存在点，使|AM|≥|AM0|，则|AM0|最大值为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记∆ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．
（1）求∆ABC的面积；
（2）若，求．
16. 在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 随着5G时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表.
（1）取进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关；
（2）用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布及数学期望；
（3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”.
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五入后取整）
附：（1），其中，；
（2）若，则：，，.
18. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
19. 若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“-数列”，写出所有可能的；
（2）若“-数列”中，，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.B
2.D
3.A
4.C
5.B
6.D
7.C
8.D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.-80 13. 14.43
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记∆ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．
（1）求∆ABC的面积；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形面积可得，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.
（2）由（1）中信息，利用正弦定理求得即可.
【小问1详解】
由题意，得，，，
则，
即，由余弦定理，得，
整理得，则．
又，
则，，
则．
【小问2详解】
由正弦定理，得，则．，
则，．
16. 在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而根据线面平行的性质可证得结论；
（2）法1：根据面面垂直得线面垂直，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解线面夹角即可；法2：根据点、线、面的位置关系，利用等体积转化求解到平面的距离，从而转化求解直线与平面所成角得正弦值.
【小问1详解】
平面平面平面.
同理可得平面.
又平面，平面平面.
平面平面.
【小问2详解】
法1：取中点，易知.
平面平面，平面平面，
又平面，
平面.
如图，建立空间直角坐标系，
则.
从而，得.
又，设平面的法向量，
有，得，解得，取，故，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法2：取中点，则是平行四边形，所以.
从而与平面所成角即为与平面所成角，设为.
过作交于，过作交于，
过作交于.
因平面平面，平面平面，
又平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
从而平面，因为平面，
所以，又，平面，
从而平面.
所以的长即为到平面的距离.
由，可得.
又，所以到平面的距离设为即为到平面的距离，即.
又，可得.
在中，，所以，得.
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 随着5G时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表.
（1）取进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关；
（2）用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布及数学期望；
（3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”.
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五入后取整）
附：（1），其中，；
（2）若，则：，，.
【答案】（1）答案见解析；
（2）分布列见解析，3.75；
（3）（i）能被评为“反诈标兵”；（ii）2198人.
【解析】
【分析】（1）完善列联表，计算卡方值，判断求解即得；
（2）由已知，根据二项分布得出的分布列和数学期望；
（3）（i）依题意求出，由即可判断；（ii）利用正态曲线的对称性，计算出，即可估计出学生总人数.
【小问1详解】
完成列联表：
零假设该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关，
则，依题意，，
因为进行独立性检验，推断不成立，所以判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关.
【小问2详解】
由（1）知，样本中男生对“反诈”知识了解的频率为是，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，
对“反诈”知识了解的概率为，则，
，
，
，
，
，
．
则X的分布列为
所以．
【小问3详解】
（i）依题意，，因，故该同学可被评为“反诈标兵”；
（ii）因,
则估计参与本次知识竞赛的学生人数约为人.
18. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）；
（2）证明见解析，定点为.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆所过点及焦距建立方程组求出，即可得椭圆的方程.
（2）设,，当时，利用点差法求出直线的斜率，进而求得直线的方程及所过定点，再讨论的情况即可得证.
【小问1详解】
由点在椭圆上，得，由椭圆的焦距为，得，
解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设,，代入椭圆方程得，由题知，
当时，设,、,，显然，
由，得，即，
由为线段的中点，得，直线的斜率，
由，得直线的方程为，即，
因此直线过定点，当时，直线，此时为轴亦过点，
所以直线恒过定点.
19. 若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“-数列”，写出所有可能的；
（2）若“-数列”中，，求的最大值.
【答案】（1）或或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解；
（2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解；
【小问1详解】
依题意，因为数列为“数列”，则1+y>2xx+7>2y，
注意到，故所有可能的为或或.
【小问2详解】
一方面，注意到：
对任意的，令，则且，
故对任意的恒成立（★），
当时，注意到，
得，
此时，
即，解得，故；另一方面，
取，则对任意的，故数列为“数列”，
此时，即符合题意.
综上，n的最大值为.
不了解
了解
合计
女生
20
20
40
男生
10
合计
80
题号
9
10
11
答案
ACD
ACD
ABD
性别
不了解
了解
合计
女生
20
20
40
男生
10
合计
80
性别
不了解
了解
合计
女生
20
20
40
男生
10
30
40
合计
30
50
80
X
0
1
2
3
4
5
P