2025年全国高三数学模拟练习试卷（一）含答案

这是一份2025年全国高三数学模拟练习试卷（一）含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则集合为（）
A. B. C. D.
2. 已知向量，满足，，则的值为（）
A. 4B. 3C. 2D. 0
3. 已知，，，则（）
AB. C. D.
4. 数列的前项和为，满足，则（）
A. 30B. 64C. 62D. 126
5. 已知圆，弦过定点，则弦长不可能的取值是（）
A. B. C. 4D.
6．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆台的上，下底面的直径分别为2和6，母线与下底面所成角为，则圆台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8
B．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
C．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的线性相关程度更强
D．若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好
10．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．在上有最小值为D．在上有唯一零点
11．已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为平面ABCD内一点（异于点A），且，则（ ）
A．存在点M，使得平面PAB
B．存在点M，使得直线PB与AM所成角为
C．当时，三棱锥的体积最大值为
D．当时，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为 ．
13．设，，，，函数（e是自然对数的底数，）．从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为 ．
14．已知函数f(x)＝|ex－1|，x10，函数f(x)的图像在点A(x1，f (x1))和点B(x2，f (x2))处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则eq \f(|AM|,|BN|)的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝2cs B，a2＋b2－c2＝2ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋3，求c.
16．（17分）
已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
17. （13分）箱子里有四张卡片，分别写有数字 1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均为1/4，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：
（a）第一次抽取的卡片上写的数字是 4；
（b）设 n 为大于等于 2 的整数，第 n 次抽取的卡片上写的数字大于第n-1次抽取的卡片上写的数字.例如，当记录的数字依次为 3，2，2，4 时，这个操作在第 4 次结束.
（1）若操作进行了 4 次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
（2）求操作在第 n 次结束的概率.
19.（本小题满分17分）
已知在抛物线上，其中，关于轴的对称点为，记直线的斜率为，且.
（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）求的面积；
（Ⅲ）记，为数列的前项和，是否存在正整数，，使
成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，则集合为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦恩图即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：C.
4. 数列的前项和为，满足，则（）
A. 30B. 64C. 62D. 126
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的递推式可判断数列为等比数列，再利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】由题意知数列的前项和为，满足,
当时，，
当时，和相减，
得，即，
故数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
故，
故选：C
5. 已知圆，弦过定点，则弦长不可能的取值是（）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断点所在的位置，然后求出弦的最值，即可得解.
【详解】圆的半径，
因为，
所以点在圆内，
当弦过圆心时，，
当时，弦最短，
，
所以，
所以弦长不可能的取值是D选项.
故选：D.
6．A
【详解】设双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，
由双曲线的定义可知，结合题干条件，
解得，又，，
由勾股定理可得，解得离心率.
故选：A.
7．A
【详解】由于
，故.
从而.
故选：A
8．B
【详解】如图，设圆台的上下底面的圆心分别为，半径分别为，
母线为，高为，由题干知，，
因为，所以母线长为，高，
设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，
若球心位于下底面的下面，则有，解得（舍去），
若球心位于上下底面之间，则有，解得，
所以圆台的外接球的表面积为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．16
【详解】的定义域为，
，
由题意得是方程的两个不相等的正根，
故，解得，
由韦达定理得，故，
因为为等比数列，所以，
其中，故，
所以，解得，满足要求.
故答案为：16
13．
【详解】由题意，，，，，则有序实数对有81个.
由，得，
令，
所以当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，；当时，，
所以，
要使有两个零点，则，
即，得，即.
满足该条件的有序实数对有：
对于，可以取，共7个；
对于，可以取，共4个；
对于，可以取，共1个；
所以所求事件的概率为.
故答案为：
14．已知函数f(x)＝|ex－1|，x10，函数f(x)的图像在点A(x1，f (x1))和点B(x2，f (x2))处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则eq \f(|AM|,|BN|)的取值范围是________．
(0,1) [当x＜0时，f(x)＝1－ex，f ′(x)＝－ex，
f(x)在A(x1,1－ex1)处的切线斜率为k1＝－ex1，
当x＞0时，f(x)＝ex－1，f ′(x)＝ex，f(x)在B(x2，ex2－1)处的切线斜率为k2＝ex2，
由f(x)图像在A，B两点处的切线互相垂直⇒k1k2＝－ex1＋x2＝－1，
∴x1＋x2＝0，x1＜0，x2＞0，
∴eq \f(|AM|,|BN|)＝eq \f(\r(1＋e2x1)(－x1),\r(1＋e2x2)·x2)＝eq \f(\r(1＋e－2x2),\r(1＋e2x2))＝eq \f(1,ex2)∈(0,1)，
故eq \f(|AM|,|BN|)的取值范围是(0,1)．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝2cs B，a2＋b2－c2＝2ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋3，求c.
[解] (1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cs C，对比已知a2＋b2－c2＝2ab，
可得cs C＝a2+b2-c22ab＝2ab2ab＝22，
因为C∈(0，π)，所以sin C >0，
从而sin C＝1-cs2C＝1-222＝22，
又因为sinC＝2cs B，即cs B＝12，
又B∈(0，π)，
所以B＝π3.
(2)由(1)可得B＝π3，cs C＝22，C∈(0，π)，
从而C＝π4，A＝π－π3-π4＝5π12，
而sin A＝sin 5π12＝sin π4+π6＝22×32+22×12＝6+24，
由正弦定理有asin5π12＝bsinπ3＝csinπ4，
从而a＝6+24·2c＝3+12c，b＝32·2c＝62c，
由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为
S△ABC＝12ab sin C＝12·3+12c·62c·22＝3+38c2，
由已知△ABC的面积为3＋3，可得3+38c2＝3＋3，
所以c＝22.
16．(1)证明：取三等分点，由等比例性质可得且，根据已知条件有且，再由平行四边形性质有，最后由线面平行的判定即可证结论.（6分）
（2）法一：由题设易得平面，则为所求二面角的平面角，进而由已知条件及余弦定理即可求二面角的余弦值；法二：构建空间直角坐标系求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值.
(1)
取三等分点，则，且，故且，
又，，即且，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，故平面.
(2)
法一：由平面即平面，且，平面，
所以平面，则为所求二面角的平面角，
在等腰△中，，则，
又，，由，即，
所以，同求法可得，故所求二面角的余弦值为.（15分）
法二：以的中点为坐标原点，以为轴为轴建系如图所示，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，若，可得，
，若，可得，
所以，即二面角的余弦值为.
17 题答案
【答案】（1）15；
（2）操作在第 n 次结束的概率为
18.（1）由，，
得.
令，解得.
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为对任意，均存在，使得，
所以.
当时，取得最大值，最大值为0.
由（1）得，
Ⅰ）当时，在上单调递增，上单调递减
即当时，取得最大值，
解得，即.
Ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
，
，又因为，所以无解；
Ⅲ）当时，在单调递增区间，，
所以无解；
Ⅳ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
又因为，所以无解
综上所述，的取值范围为.
19.答案：
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
BC