2024-2025学年江苏省南京市高一下册3月月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高一下册3月月考数学质量检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分， 已知是锐角，那么是， 已知向量 则ABC=， 下列命题中正确的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ）
A. B.
C. D. 2
【正确答案】C
【分析】求出即得解.
【详解】解：由题意可得，所以，
所以.
故选：C
2. cs420°+sin330°等于
A. 1B. 0C. D. ﹣1
【正确答案】B
【详解】试题分析：
考点：三角函数诱导公式及求值
3. 已知是锐角，那么是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 小于的正角D. 第一或第二象限角
【正确答案】C
【分析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案．
【详解】因为是锐角，所以，所以，满足小于的正角.
其中D选项不包括，故错误.
故选：C.
4. 已知向量 则ABC=
A. 30B. 45C. 60D. 120
【正确答案】A
详解】试题分析：由题意，得，所以，故选A．
【考点】向量的夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
5. 已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据与方向相反的单位向量为求解即可.
【详解】因为，
所以与方向相反的单位向量的坐标为，
故选：D
6. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（ ）
A. B. 1C. D.
【正确答案】A
【分析】根据所给公式，变形整理化简即可.
【详解】由题意可知，.
故选：A
7. 若角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点，且，则等于
A. -2B. -1C. D. 2
【正确答案】B
【详解】由题意可得，则，应选答案B ．
8. 已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】延长到，使得，利用向量加法的平行四边形法则作图，再求出面积关系即可.
【详解】延长到，使得，以，为邻边作平行四边形，如图，
则，由，得，则，
由，得，因此，
所以与的面积比为.
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知平面向量，，则与共线
B. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2
C. 已知复数满足，则
D. 已知复数，满足，则
【正确答案】BC
【分析】求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示即可判断A；利用投影向量的定义可判断B；设，根据复数模的概念以及共轭复数的定义、复数的乘法运算计算可判断C；举反例可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，，因为，则与不共线，故选项A错误；
对于B，因为在上的投影向量为，所以，又因为，所以，故选项B正确；
对于C，设，因为，所以，即，所以，故选项C正确；
对于D，令，，则，但，故选项D错误，
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 是函数的一条对称轴
C.
D. 若，则在方向上的投影向量的模为
【正确答案】CD
【分析】结合三角函数的图象与性质以及平面向量向量积的运算，逐项判断即可得到本题答案.
【详解】对于选项A，因为，所以或，或者，故A错误；
对于选项B，因为函数的对称轴方程为，且，所以不是函数的对称轴，故B错误；
对于选项C，因为函数在单调递增，且，所以，故C正确；
对于选项D，设的夹角为，因为，所以，所以在方向上的投影向量，它的模，故D正确.
故选 ：CD
11. 如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为18
C. 的最大值为D. 的面积的最大值为
【正确答案】BCD
【分析】利用坐标法，以A为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项.
【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，
对于A,B，，故A错误，B正确；
对于C，，
当时，取得最大值，且最大值为，故C正确；
对于D，面积
，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.）
12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
【正确答案】5
【详解】 由复数在复平面内对应的点分别为，
又三点是共线的，所以．
13. 如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为________.
【正确答案】
【分析】设．由三角函数定义，得 ，由此利用同角三角函数的基本关系求得 的值，再根据
利用两角和的余弦公式求得结果．
【详解】设．由三角函数定义，得 ，．
因为 ，，所以．
所以
即答案为.
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
14. 如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围.
【详解】
，且.
即
设与的夹角为，则.
因为，所以.
故
四、解答题（本题共5小题，共77分.其中第15题13分，第16～17题15分，第18～19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知是函数的一个零点，
（1）求值；
（2）求函数在上的单调递减区间；
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）利用函数零点的定义，列式求出值.
（2）由（1）的结论，利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求出单调递减区间.
【小问1详解】
由是函数的一个零点，
得，所以.
【小问2详解】
由（1）得
，
由，得，
而，令，得函数在上的单调递减区间为.
16. 若，，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若与的夹角为，求实数m的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）对和两边分别平方化简可求出实数m的值；
（2）先求出，，再利用向量的夹角公式列方程求解即可.
【小问1详解】
因为，，，
所以，得，
由，得，
所以，整理得，
因为，所以
【小问2详解】
因为，，
所以，
由，得，则，
所以，
因为与的夹角为，
所以，
，解得，
因为，所以
17. 某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分隔线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分隔线总长度为l．
（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；
（2）求l的最小值．
【正确答案】（1）l=，θ∈（0，）；（2）lmin=2a．
【分析】（1）设MN=x，根据AM+BM=a，求出x=,再求得l=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），利用二次函数的图像和性质求l的最小值．
【详解】解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，
∴△BMN≌△EMN，
∴∠BNM=∠MNE，
∵∠AME=2θ，
∴∠BNM=∠MNE=θ，
设MN=x，
在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，
∴△EAM中，AM=EMcs2θ=xsinθcs2θ，
∵AM+BM=a，
∴xsinθcs2θ+xsinθ=a，
∴x=，
∴l=EM+MN=，θ∈（0，）；
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），
∴f（θ）≤，
当且仅当θ=时，取得最大值，此时lmin=2a．
本题主要考查三角函数的应用，考查三角恒等变换和直角三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18. 如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.
（1）若，以，为基底表示向量与；
（2）若，求的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与；
（2）先表示向量，再运用向量数量积定义和运算律可求得，从而可求得取值范围.
【小问1详解】
解：
，
所以；
因为，所以
，
所以；
【小问2详解】
解：
，
所以，
又，，，所以，
所以
因为，所以，所以，
所以的取值范围为.
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量的坐标；
（2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值；
（3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量；
（2）先求得，由求得，进而求得，从而求得；
（3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.
【小问1详解】
解：
，
所以.
【小问2详解】
解：依题意，
由得，
因为，
所以，
所以.
【小问3详解】
解：由题知，，
所以
因为，，
所以，，
令，
所以，问题转化为函数的最值问题.
因为函数的对称轴为，
所以，当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
综上，在上的最大值为.
方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.