2024-2025学年江苏省南京市高一下册第一次月考数学阶段检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高一下册第一次月考数学阶段检测试题（附解析），共20页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题，本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．
1. 计算等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先利用角的变换将转化为，再用两角差的正弦展开，化简后，逆用两角和的正弦求解.
【详解】
故选：A
本题主要考查了两角和与差的正弦的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
2. 设且则
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】[方法一]：
.
故选：C.
[方法二]：
又.
故选：C.
[方法三]：
由已知得，，去分母得，，
所以，
又因为，，
所以，即，
故选：C.
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．
3. 设关于x的方程有实数解，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】先结合辅助角公式及正弦函数性质求出对应的范围，然后结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】因为，所以，即.
因为，
所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要条件．
故选：A.
4. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可.
【详解】依题意在平行四边形中，，
又是的中点，则，
又与交于点，
所以，则，
所以，
又，
所以
故选：A.
5. 已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（ ）
A. 0B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用已知可求得，，进而利用向量的夹角公式可求.
【详解】因为，两边平方得，所以，
，，
所以．
故选：D．
6. 设，则有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
先利用三角恒等变换转化，然后利用特殊角的三角函数值比较判断.
【详解】因为，
，
，
所以，
故选：A
7. 已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简，求的范围可得 的取值范围.
【详解】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，
因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，
如下图所示：
则，，
所以，.
因为点为正方形四条边上的动点，所以，
又，所以，
故选：A.
8. 平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算与垂直的性质可得是正三角形，且是的中心，再以为坐标原点建立直角坐标系，再根据，结合三角函数设点的坐标，进而表达出，结合三角函数的最值求解即可.
【详解】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心.
又，
变形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心与垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的边长为；
如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，
则，，，，
可设，其中，，而，
即是的中点，则，
，
当时，取得最大值为．
故选：D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分进心的得部分分，有选错的得0分，
9. 已知向量，则（ ）
A. B. 向量的夹角为
C. D. 在上的投影向量是
【正确答案】BD
【分析】由向量垂直坐标表示计算即可求出判断A；由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解判断B；由向量模长公式即可计算求解判断C；由投影向量公式计算即可求解判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，故A错误；
对于B，由A可得，
又，故，即向量的夹角为.故B正确；
对于C，，所以，故C错误；
对于D，在上的投影向量是，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，则下列函数判断正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
【正确答案】BC
【分析】利用三角降幂公式和辅助角公式，化简函数解析式为，运用奇偶性定义判断A项，利用代入检验法判断B,D项，利用余弦函数的图象判断C项即可.
【详解】由，
可得.
对于A，因，则为偶函数，故A错误；
对于B，因当时，，，故的图象关于直线对称，即B正确；
对于C，当时，，而在上单调递减，故C正确；
对于D，当时，，故函数的图象关于点对称，即D错误.
故选：BC.
11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ）
A.
B. 向量与共线
C.
D 若，则最大值
【正确答案】ACD
【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，，则，
因为为的中点，则，即，
所以，，
因为，则存在，使得，
因为、、三点共线，则存在，使得，
即，可得，
因为、不共线，所以，，解得，故，A对；
对于B选项，，
所以，、不共线，B错；
对于C选项，因为为的中点，则，
因为，则，
故，同理可得，
所以，，C对；
对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得，
所以，，
因为、不共线，则，，故，
因此，的最大值为，D对.
故选：ACD.
关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分，请把答案写在答题纸的指定位置上．
12. 已知向量，，，______．
【正确答案】
【分析】由向量的数量积运算，可得，结合完全平方公式展开，将，代入，即可求解.
【详解】由，得，
即，
即，
又，，
解得.
故答案为.
13. 设向量，且，则________；＝________.
【正确答案】 ①. ## ②.
【分析】利用向量坐标运算得到方程组，利用和角的三角公式展开化简后即可求出的值，再运用二倍角公式与和角公式化简所求式，最后化弦为切即得.
【详解】由题意，，
化简得，
由；
则
故；.
14. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.
【正确答案】8.
【详解】，又，因此
即最小值为8.
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
四、解答题：本大题共5小题，计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区城内．
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）且
【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长；
（2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值；
（3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可.
【小问1详解】
因为向量，且，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，且，
所以，解得.
【小问3详解】
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且.
16. 已知锐角的终边与单位圆相交于点.
（1）求实数及的值；
（2）求的值；
（3）若，且，求的值.
【正确答案】（1），；
（2）
（3）
【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解；
（2）由锐角的终边上点的坐标求得，结合余弦两角和公式和倍角公式即可计算得解；
（3）由和角的范围，求得，再巧妙地把所求转化为，然后借助正弦两角差公式即可计算得解.
【小问1详解】
由于点在单位圆上，且是锐角，可得，，
则，；
【小问2详解】
因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，，
可得，，
所以.
【小问3详解】
因为为锐角，所以，又，所以，
因为，所以，
所以.
17. 如图，在矩形中，点在边上，，且.M是线段上一动点.

（1）M是线段的中点，求的值；
（2）若，求的最小值.
【正确答案】（1）30 （2）
【分析】（1）根据向量的线性运算结合数量积的运算律，即可求得答案.
（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，，利用，求得m的值，即可求得的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案.
【小问1详解】
因，故，
所以
,
又在矩形中，,
故.
【小问2详解】
如图，以A为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，

则，设,
则，
故由得，，即，
由于M点在上，设，
则，
则，即，故，
所以，
，
所以，
当且仅当时，取得最小值.
18. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于），点H在线段上，且满足.已知，设.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大，当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
【正确答案】（1）
（2），最大值为
【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.
（2）计算，得到，得最值.
【小问1详解】
由，在直角中，，；
在直角中，，
；
，
所以当，即时，的最大值为，
即时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
【小问2详解】
在直角中，由，
可得；
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
19. 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上动点.记（均为实数
（1）若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
（2）若，记向量和向量夹角为，求的最小值.
【正确答案】（1）（i）；（ii）
（2）
【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；
（2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.
【小问1详解】
解：由到弦的距离是，可得，故
（i）由圆的几何性质得，
故
（ii）记劣弧的中点为，且
①
②
①+②得
进一步得：
，
其中
故的取值范围为：
【小问2详解】
解：记，由两边平方，得
，又，∴
∴
故
又和向量的夹角为，
记，
显然关于单调递增，
所以当时，.