2024-2025学年江苏省镇江市丹阳市高二下册3月月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省镇江市丹阳市高二下册3月月考数学质量检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求，错选或者多选得0分.
1. 一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（ ）
A. －2B. －1C. 0D. 2
【正确答案】D
【分析】由导数的定义求解即可；
【详解】;
故选：D
2. 已知离散型随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用离散型随机变量的分布列求出，再利用数学期望的性质即可求出.
【详解】，
．
故选：C.
3. 设函数 ，的单调递减区间为（ ）
A. B. C. 和D.
【正确答案】C
【分析】求出函数的导数，再解不等式即得单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，即，解得或，
所以函数的单调减区间为和.
故选：C
4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 是的极大值点
C. 当时，D. 在区间上单调递减
【正确答案】C
【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果．
【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确；
时，，函数单调递增，，，函数单调递减，
所以是的极大值点，B正确；
在区间上单调递减，D正确；
当时，函数单调递增，可能，所以C不正确；
故选：C．
5. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【正确答案】A
【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可.
【详解】由题得，因为函数在处取得极小值，
所以或，
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极小值，符合题意，
所以函数在处取得极大值为；
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上，的极大值为4.
故选：A
6. 设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ）
A. 与B相互独立B. C. D.
【正确答案】C
【分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解.
【详解】AC选项，由题意得，，
，，
，，
故，C正确；
由于，故，
故与B不互相独立，A错误；
B选项，由条件概率得，B错误；
D选项，，D错误；
故选：C
7. 若直线l与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为（ ）
A. 0或1B. 1或C. 1或D. 或
【正确答案】C
【分析】设出直线方程，利用导数的几何意义可得答案.
【详解】设直线l的方程为，分别与两函数相切于，
，，则，整理得①；
由，整理得②；
联立①②可得，解得或.
故选：C
8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可.
【详解】令，则，
当时，，所以当时，，
即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，
所以，所以是偶函数，在单调递减，
所以，，
即不等式等价为，
所以，解得或，
所以不等式解集为．
故选：D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
【正确答案】BD
【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可.
【详解】对于因为函数在上可导，且，
所以，故错误.
对于因为，若则，即，故正确.
对于因为，故错误.
对于因为,故，故，正确.
故选:
10. 从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（ ）
A. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立
B. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件
C. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是
D. 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是
【正确答案】BCD
【分析】根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断CD．
【详解】第一次抽到代数题，第二次抽到代数题为
即不独立，故A错误；
“第一次抽到代数题”与“第一次抽到几何体”显然不可能同时发生，是互斥事件，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，有两个极值点
B. 当时，有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可作曲线的三条切线
【正确答案】ABD
【分析】利用导数求解极值点即可判断A；根据函数单调性以及极值的正负即可判断B；利用函数对称的性质即可判断C；设出切点，利用导数的几何意义求解切线的方程，结合条件把问题转化为函数图象的交点个数问题，即可判断D.
【详解】对于A，由题知，定义域为，则，
当时，令，得或，
令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以为极大值点，为极小值点，故A正确；
对于B，当时，当时，；当时，，
且，
，
因为，所以，，
所以，，
所以有三个零点，B正确；
对于C，若点是曲线的对称中心，则满足恒成立，
因为，
，
所以，其值不恒为0，C错误；
对于D，设过点的直线与相切的切点为，
则，且切线斜率为，
故切线的方程为，即，
因为切线过，则，
整理得，即，
构造函数与，
对于函数，，
令，得，
令，得或，即该函数在和上单调递增，
令，得，即该函数在上单调递减，
时，函数有极小值；时，函数有极大值，
当时，；当时，，
作出函数与的图象，如图，
因为，所以，
所以函数与图象有三个交点，
即方程有三个解，
即过点可作曲线的三条切线，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，双空题第一空2分，第二空3分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.
12. 设随机变量，且，则______；若，则的方差为______．
【正确答案】 ①. ## ②.
【分析】(1)用二项分布的概率公式可解；
(2)用二项分布的方差结论即可解决.
【详解】(1) ,则，
则，解得
(2) ，由(1)得，则．
，则
故；．
13. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m最大值是__________.
【正确答案】
【分析】根据在函数的定义域上，恒成立，求参数的取值范围.
【详解】因为，.
所以，.
由在定义域上单调递增，所以在上恒成立.
即，.
因为（当且仅当时取“”）.
所以.
所以实数的最大值为.
故
14. 若，，，结合函数的性质，的大小关系为__________（用“＞”连接）.
【正确答案】
【分析】求导，确定函数单调性，进而可比较大小.
【详解】由，
，
当，可知，
所以在单调递减，
又，，，
所以，
故答案为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，.
（1）现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率；
（2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可；
（2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可.
【小问1详解】
用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，
以表示事件取到的产品为次品，则
，，，
，，
由全概率公式，得
.
【小问2详解】
若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
该件产品是甲厂生产的概率为
.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知：
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求点到平面的距离.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行.
（2）利用体积法求点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦.
【小问1详解】
如图：
连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点，
又为中点，所以，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为平面，所以是直角三角形，
又为中点，且，所以.
设点到平面的距离为，则.
又因为,
所以.
因为平面，平面，所以，
又底面为正方形，所以，平面，，
所以平面.
又平面，所以.所以为直角三角形.
中，，，.
因为，所以为直角三角形，所以.
所以.即点到平面的距离为.
又，
设直线与平面所成的角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
17. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7，0.6和0.5．
（1）若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求命中次数X的分布列和均值．
【正确答案】（1）0.94
（2）分布列见解析，2.1
【分析】（1）先求出三人都不命中目标的概率，再用1减去这个概率就能得到至少有一人命中目标的概率.（2）甲单独射击三次，命中次数X服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出X取不同值时的概率，进而列出分布列，再根据均值公式求出均值.
【小问1详解】
设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，
由题知，，
,
若三人各向目标射击一次,
则至少有一人命中目标的概率．
【小问2详解】
易知X的所有可能取值为0，1，2，3，
当时，三次射击都没命中，此时；
当时，三次射击中有一次命中，此时；
当时，三次射击中有两次命中，此时；
当时，三次射击都命中，此时，
则X的分布列为：
．
18. 福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为．

（1）求关于的函数关系式．
（2）若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．
【正确答案】（1），
（2）栈道长度是时建设费用最小，最小值为千元
【分析】（1）根据三角函数的概念分别求、、的长度即可；
（2）求出的导函数，得到函数的单调性，进而即可求出最值.
【小问1详解】
因为在半圆形的中轴线上，，米，，
所以，，
所以，
所以栈道总长度
，.
【小问2详解】
由（1）得，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当，即时，栈道的建设费用最小，
建设费用最小值为千元.
19. 已知函数.
（1）讨论在的单调性；
（2）若，证明：当时，.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）求导，通过，讨论导数符合，即可求解；
（2）不等式转化为，设函数，求导数，由解析式可知递增，由函数零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到函数单调区间并得到函数最小值，证明函数最小值大于等于0即可得证.
【小问1详解】
由，
可得：，
当，即时，此时在恒成立，
所以在单调递增；
当，即时，由，可得，
由，可得，
所以在的单调递增；在单调递减；
综上：时，在单调递增；
时，在单调递增；在单调递减；
【小问2详解】
当时，，
原不等式即为：
即．
设，则．
由解析式易知在上单调递增，且，，
所以存在唯一的，使得，即，．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，
故原命题成立．
0
1
X
0
1
2
3
P
0.027
0189
0.441
0.343