2024-2025学年江苏省南京市高一上册第一次月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高一上册第一次月考数学质量检测试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共4小题）
1. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
2. 已知集合且，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知正实数满足.则的最小值为（ ）
A. 3B. 9C. 4D. 8
二、多选题（共5小题）
5. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 方程的解集为
B. 由所确定的实数集合为
C. 集合可以化简为
D. 中含有三个元素
6. 已知实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为6D.
7. 下列四个命题是真命题的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 若函数两个零点都在区间为内，则实数的取值范围为
D. 已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是
8. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
9. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（共4小题）
10. 定义在上的函数满足，则___________.
11. 若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是__________．
12. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.
13. 在ΔABC中，角所对的边分别为，若且，则ΔABC面积的最大值为________．
四、解答题（共5小题）
14. 命题：实数满足（其中）,命题：实数满足.
(1)若,且命题均为真命题,求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
15. 已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
16. 已知函数，
（1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）若当时，函数有意义，求实数取值范围.
（3）若函数，函数的最小值是5，求实数的值.
17. 若，.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围.
18. 已知关于x函数和.
（1）若，求x的取值范围；
（2）若关于x的不等式（其中）的解集，求证.
2024-2025学年江苏省南京市高一上学期第一次月考数学质量
检测试题
一、选择题（共4小题）
1. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】当时，原不等式为：，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，解得，
综上得．
故选：C．
2. 已知集合且，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据4和6的最小公倍数为12，得，而，进而逐项判断两集合之间关系即可.
【详解】因为且，4和6的最小公倍数为12，
所以，
又因为，而，但，所以A，C错误；
因为集合中元素为12的正整数倍，而为24的整数倍，
所以元素满足是24的正整数倍时，必满足是12的正整数倍，
则，故D正确；
对于B，若但，且，B错误；
故选：D
3. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明．
【详解】由题意可知，.当时，，，则排除A，B；
因为，，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，则C一定成立；
因为，，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，则排除D.
故选：C．
4. 已知正实数满足.则的最小值为（ ）
A. 3B. 9C. 4D. 8
【正确答案】B
【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】a，b均为正实数，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
二、多选题（共5小题）
5. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 方程的解集为
B. 由所确定的实数集合为
C. 集合可以化简为
D. 中含有三个元素
【正确答案】BC
【分析】选项A：由二次根式和绝对值的非负性可得解集；选项B：由，的正负性分类可得；选项C：由得，故为2的倍数，取为2的非负整数倍可得；选项D：取为6的因数可得.
【详解】选项A：方程的解为，解集为，故A错误；
选项B：由知，，
当，同为正数时，；
当，一正一负时，；
当，同为负数时，，
故由所确定的实数集合为，故B正确；
选项C：，
，当时，；当时，；当时，，
故集合可以化简为，故C正确；
选项D：，
当时，；当时，；当时，；
当时，，
故中含有4个元素，故D错误，
故选：BC
6. 已知实数，且，则下列结论正确是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为6D.
【正确答案】AD
【分析】对于A，利用基本不等式求解判断，对于B，利用配方法求最值，对于C，利用“1”的代换结合基本不等式判断，对于D，先分离常数，再利用的范围判断.
【详解】对于A，因为，，所以，得，
当且仅当时，取等号，所以的最大值为，所以A正确，
对于B，因为，，所以，，所以，
所以，
所以当时，有最小值，所以B错误，
对于C，因为，，所以
，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，所以C错误，
对于D，因为，所以，
由选项B知，所以，所以，
所以，所以，所以，所以D正确，
故选：AD
7. 下列四个命题是真命题的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 若函数的两个零点都在区间为内，则实数的取值范围为
D. 已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是
【正确答案】ACD
【分析】根据抽象函数的定义域即可求解A，根据函数的单调性即可求解最值，进而判断B，根据二次函数的零点分布，即可判断C，根据二次函数的性质即可求解D.
【详解】由，解得，即函数的定义域为,，故A正确；
函数的定义域为,，易知函数在,上单调递增，
则函数的值域为,，故B错误；
若函数的两个零点都在区间为内，
则且
故即解得，故C正确，
若在单调递增，则，
若在单调递减，则，
故实数的取值范围是，D正确，
故选：ACD
8. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BD
【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】因为集合，集合，
所以等价于即，
对比选项，、均为的充分不必要条件.
故选：BD.
本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.
9. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据已知条件结合不等式性质判断各个选项即可
【详解】A选项：∵，且，
∴，可得，即，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，即，，由可得，C正确；
D选项，因为当，所以，D错误.
故选：AC.
三、填空题（共4小题）
10. 定义在上的函数满足，则___________.
【正确答案】7
【分析】分别令，，，得到，，然后计算即可.
【详解】因为定义在R上的函数满足，
所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，，即，
∴.
故7.
11. 若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是__________．
【正确答案】
【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解.
【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题，
不妨设，其开口向上，对称轴方程，
则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论：
情形一：当即时，在上单调递增，
此时有，解得，
故此时满足题意的实数不存在；
情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时有，只需，
解不等式组得，
故此时满足题意的实数的范围为；
情形三：当即时，在上单调递减，
此时有，解得，
故此时满足题意的实数不存在；
综上所述：的取值范围是.
故答案为.
12. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.
【正确答案】
【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由的解集为，
可得，且方程的解为，
所以，则，
所以，
即关于的不等式的解集为.
故答案为.
13. 在ΔABC中，角所对的边分别为，若且，则ΔABC面积的最大值为________．
【正确答案】
【详解】试题分析：由得，代入得，，即，由余弦定理得，，所以，则的面积，当且仅当取等号，此时，所以的面积的最大值为，故答案为．
考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.
【方法点晴】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，对计算能力要求较高，属于中档题；由得，代入化简，根据余弦定理求出，由平方关系求出，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形面积的最大值．
四、解答题（共5小题）
14. 命题：实数满足（其中）命题：实数满足.
(1)若,且命题均为真命题,求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【正确答案】(1);(2).
【分析】(1)先解出不等式的解集,再解出不等式的解集,根据题意,可以求出实数的取值范围；
(2)根据是的充分不必要条件,可以根据集合的关系得到关于实数的不等式组,解这个不等式组即可求出实数的取值范围.
【详解】解(1)由得，又，
所以,
当时,,即为真时实数的取值范围是.
由，得解得,
即为真时实数的取值范围是.
均为真命题，所以实数的取值范围是.
(2)由（1）知,
,
充分不必要条件,
解得，故实数的取值范围是.
本题考查了两个命题为真命题时求参数问题,考查了根据命题的充分不必要条件求参数问题,考查了数学运算和分析能力.
15. 已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
【正确答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）利用奇函数的定义f−x=−fx，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数y=fx的解析式；
（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；
（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数y=fx的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数是定义域−1,1上的奇函数，则f−x=−fx，
即，化简得，因此，；
（2）任取、，且，即，
则，
，，，，，，.
，，因此，函数y=fx在区间−1,1上是减函数；
（3）由（2）可知，函数y=fx是定义域为−1,1的减函数，且为奇函数，
由得，所以，解得.
因此，不等式的解集为12,1.
本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
16. 已知函数，
（1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.
（3）若函数，函数的最小值是5，求实数的值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据定义域为，转化为对任意的,，即可由判别式求解，
（2）分类讨论，求解的最值即可求解，
（3）将问题转求解的最小值，即可分类讨论求解.
【小问1详解】
若函数的定义域为，则对任意的,,
由于函数为开口向上的二次函数，
故只需要，解得
【小问2详解】
对有意义，则对于恒成立，
记，对称轴为，
当时，即，此时在单调递增，故，与矛盾，舍去，
当，即，此时在单调递减，故，故，
当，即，此时，解得，故，
综上可得：
【小问3详解】
，
令，则，，则为开口向上，对称轴为的二次函数，
当，此时，不符合要求，舍去，
当，此时或（舍去）
故
17. 若，.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）结合基本不等式整理得，当且仅当时取等号，再根据已知的范围即可得答案；
（2）由于，故只需解并结合已知条件求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以，当且仅当时取等号，
整理得：，解得：或，
又因为，，所以，
所以.
（2）因为，
，
当且仅当时取等号，
所以，
解可得，或（舍），
故.
又因为，
所以.
18. 已知关于x的函数和.
（1）若，求x的取值范围；
（2）若关于x的不等式（其中）的解集，求证.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）转化为求解；
（2）讨论，，，求解，判断是否成立.
【小问1详解】
可得，即，
即，即，则，
则实数x的取值范围是；
【小问2详解】
因为，所以，
由（1）知，所以
（i）时，
当时，，
所以当时，恒成立，
当时，令

对称轴，故在上为增函数，
又，，
所以存在使得
故的解集为，
所以当时，的解集为，其中
所以，则；
（ii）当时，，
因为，所以恒成立，
由题意知解集为，所以是方程的两根，
所以，所以.
（iii）当时，
当时，由（i）知，
当时，令
∴在恒成立，
故只需要考虑在的解集即可.
由，可得，
由题意m，n是的两根，
令，其对称轴为，
，
，
所以，
，
又在为单调减函数，
∴，∴，
综上，.
方法点睛：根据二次不等式的解集确定参数：
①根据不等号的方向与解集的形式可确定开口方向；
②解集的端点值为对应二次方程的根；
③若解集为，则考虑开口方向与.