2024-2025学年江苏省江阴市高二下册3月月考数学阶段检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省江阴市高二下册3月月考数学阶段检测试题（附解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 4C. D. 5
【正确答案】A
【分析】先求，再由解方程即可求得.
【详解】由，可得，
又由，则得，
即，解得.
故选：A.
2. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】按照向量加减数乘运算法则计算即可
【详解】解：因为为中点，所以，
因为，所以，
则．
故选： B
3. 某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先分别求出事件（派往甲地是男生）的概率和事件AB（派往甲地是男生且派往乙地是女生）的概率，再代入公式计算在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率.
【详解】从名男生和名女生共人中选人分别到甲、乙两地，总的选派方法数为种.
派往甲地是男生的情况：先从名男生中选人派往甲地，有种选法；再从剩下的人中选人派往乙地，有种选法.
根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生的选派方法数为种.所以.
派往甲地是男生且派往乙地是女生的情况：先从名男生中选人派往甲地，有种选法；再从名女生中选人派往乙地，有种选法.
根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生且派往乙地是女生的选派方法数为种.所以.
根据条件概率公式，将，代入可得.
在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是，
故选：B.
4. 已知的展开式中的系数为0，则实数的值为（ ）
A. B. C. 10D. 20
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，求出两个二项式展开式中的系数即可得解.
【详解】依题意，展开式中项为，其系数为，
展开式中项，其系数为，
因为展开式中的系数为0，则，
所以.
故选：A.
5. 有三对双胞胎共6人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ）
A. 15B. 12C. 6D. 3
【正确答案】B
【分析】先选择一对双胞胎，再从其余两对双胞胎中各选择1人即可.
【详解】先选择一对双胞胎，有种，
再从其余两对双胞胎中各选择1人，有种，
则共有种选法.
故选：B
6. 设，则（ ）
A. 5040B. 3024C. 210D. 126
【正确答案】C
【分析】结合题意，根据二项式的展开式求解即可.
【详解】由题意，.
故选：C
7. 如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ）
A. 10B. 20C. 60D. 120
【正确答案】A
【分析】根据排列即可求解.
【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ，
故选：A
8. 如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【正确答案】A
【分析】先根据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最后求出的表达式即可得解.
【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为已知是四边形内部一点，所以设，
其中且（即点在平面内部），
则，
因为轴平面，所以平面的法向量可取，
又因为，
设平面的法向量为，
则，即，
由题易得，令，则，
所以，
因为二面角的平面角大小为，
所以，
即，解得，
所以，
当时，，
所以线段AQ长度的最小值是.
故选：A.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知2名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（ ）
A. 活动前4人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有4种不同的方法
B. 4人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有6种不同的方法
C. 将4人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有4种不同的方法
D. 活动后从4人中选出2人介绍活动体会，至少一名男生，有6种不同的方法
【正确答案】AC
【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，结合排列数、组合数的计算可得答案.
【详解】A. 甲在最左边，乙不在最右边，则乙在中间两个位置中选一个，有种排法，其余两人全排列，有种排法，
共有种不同的方法，A正确.
B. 甲和乙不相邻，先排其余两人，有种排法，再在这两人形成的三个空隙中选两个排甲和乙，有种排法，
共有种不同的方法，B错误.
C.先从男生中选出人参加第一项活动，有种选法，再从女生中选出人参加第一项活动，有种选法，其余两人参加第二项活动，
共有种不同的方法，C正确.
D.从4人中选出2人，一名男生一名女生有种选法，两名男生有种选法，
故有种不同的方法，D错误.
故选：AC.
10. 已知的展开式共有7项，则（ ）
A. B. 展开式所有二项式系数和为64
C. 展开式的所有项的系数和为1D. 所有项的系数绝对值之和为729
【正确答案】BCD
【分析】由二项式定理的性质，利用赋值法，即可逐项判断即可.
【详解】因为的展开式共有7项，所以，
对于A选项，，所以A错误；
对于B选项，展开式中二项式系数和为，所以B正确；
对于C选项，在中令，得，所以C正确；
对于D选项，的系数呈正负交错排列，故所有项的系数绝对值之和与的系数之和相等，
故在中令，得，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当，，时，则P到平面的距离的最小值是
C. 当，时，的最小值为
D. 当，且时，则P的轨迹总长度为
【正确答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，计算，可判断A；利用点到平面的距离的向量公式，即可判断B；将折线距离和转化为平面内两点间距离即可判断C；利用点到平面的距离公式，结合点的轨迹，利用数形结合，即可判断D.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则
因为，∴
对于A，当时，，此时,，，得，，
所以直线与平面垂直，故A正确；
对于B，由选项A知，向量也是平面的一个法向量，当，，时，，，则点到平面的距离，所以P到平面的距离的最小值是，故B不正确；
对于C，当，时，，，
故，
故
令，则
如图所示，，
显然当三点共线时，取得最小值，
最小值为，当且仅当，即时，等号成立，此时
则的最小值为，故C正确；
对于D，当时，可得四点共面，所以点的轨迹在内（包括边界），设点在平面内的投影为点，
因为，所以点是的中心，
，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
若，则，
即点落在以为圆心，为半径的圆上，
点到三边的距离为，

此时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算的值为_________.
【正确答案】466
【分析】根据给定条件，结合组合数的意义求出n值，再利用组合数公式求解作答.
【详解】依题意，，解得，而，于是得，
所以，原式.
故466
13. 展开式中的常数项为_________.
【正确答案】20
【分析】时，，求出展开式的通项公式，令次数为0即为常数项；
当时，求出展开式的通项，令次数为0即为常数项，再求和即可.
【详解】当时，，
展开式的通项公式为
，
令得，常数项为，
当时，，
展开式的通项公式为，
令得，常数项为，
所以展开式的常数项为.
故答案为.
14. 已知在四面体ABCD中，，，记四面体ABCD外接球为球O，则球O的表面积大小为_________；若点P为球O表面上任意一点，且（），则的最大值是___________.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】根据已知可得均为等腰直角三角形，为中点，则，四面体ABCD外接球半径为，即可求球体表面积，由，构建以为原点，为正方向建立空间坐标系，且，，利用向量线性关系的坐标表示得，进而有，即，即可求最值.
【详解】由题设，则均为等腰直角三角形，
若为中点，则，即四面体ABCD外接球半径为，
所以其表面积为，
由，且都在面内，即面，
而，
所以，
若面，以为原点，过为正方向建立空间坐标系，
若且，根据对称性可设，，
所以，
则，故，
所以，则，即，
所以，故最大值为2，
此时，即.
故，2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，.
（1）现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率；
（2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可；
（2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可.
【小问1详解】
用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，
以表示事件取到的产品为次品，则
，，，
，，
由全概率公式，得
.
【小问2详解】
若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
该件产品是甲厂生产的概率为
.
16. 现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子.
（1）当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）
（2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）
（3）当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）
（4）若将题干中“6个不同的小球”改为“6个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于1时，共有多少种不同放法？（用数字作答）
【正确答案】（1）
（2）
（3）540 （4）
【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解，
（2）根据组合以及分步乘法计数原理即可求解，
（3）根据组合以及分类加法计数原理即可求解，
（4）利用挡板法即可求解.
【小问1详解】
当每个盒子的球数大于等于0时，根据分步计数原理共有种不同放法；
【小问2详解】
当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法；
小问3详解】
当每个盒子的球数不小于1时，共有三类：第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种；第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种；第三类，每盒2个球，有种，所以共有540不同放法；
【小问4详解】
在6个相同的小球中间5个空插入2个挡板，共有种不同放法.
17. 已知函数．
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若，且，
①求的值；
②求的最大值．
【正确答案】（1）或
（2）①；②
【分析】（1）由得二项式系数最大的项为第四项或第五项，求出即可得解；
（2）对①，先求通项， 由求得，求，再赋值即可得解；
②若求最大项，根据求解即可；
【小问1详解】
当时，的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以或；
【小问2详解】
①的通项公式为，且，所以，解得，
所以， ，令，得
②的通项公式为，所以，
设为()中的最大值，则，
解得，，，所以，
所以.
18. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点．
（1）证明：；
（2）当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小；
（3）若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）直线PB与平面所成角为
（3）
【分析】（1）取中点为，证明平面即可；
（2）以为原点建立直角坐标系，求以及平面的法向量，利用sinθ=cs即可；
（3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，建系，设，则可求点坐标，利用直线PC与AB所成角的余弦值向量求法得出，再建系求两个平面的法向量进而求其夹角.
【小问1详解】
取中点为，连接，因为，
所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以.
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，所以两两互相垂直，
以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，
则，，
则，
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以cs=PB⃗⋅m⃗PB⃗⋅m⃗=−3−32×2=−32，
设直线PB与平面所成角为，则sinθ=cs=32，
又，则，
所以直线PB与平面所成角为，
【小问3详解】
以原点，以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为为等腰三角形，，所以，
则，
设，则，
则，
故cs=PC⋅ABPC⋅AB=1−3csθ2×2=±24，
所以或（舍去），
所以两两互相垂直，
由（2）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则，取，得，
所以.
19. 在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，，
（1）求原点到平面的距离；
（2）根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用法向量和投影向量的相关知识证明．
（3）若四个平面，，，围成的四面体的外接球半径为，且球面经过坐标原点，利用（2）的结论求该四面体的体积．
【正确答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【分析】（1）先得到的法向量，在上任取点，得到，结合点到平面的距离公式，即可求解；
（2）不妨设，在平面内取一点，得到的坐标，再由平面的法向量，结合向量的距离公式，即可化简得到点平面的距离公式；
（3）根据题意，分别联立平面的方程，解方程组，求得交点，，和，设球心为，结合，求得球心，以及，利用点平面的距离公式，求得三棱锥的高，结合锥体的体积公式，即可求解.
小问1详解】
根据题意，平面法向量，
在平面上任取点，可得，
设原点到平面的距离为，则，
故原点到平面的距离为.
【小问2详解】
由点到直线的距离公式，
类比：点平面的距离公式为，
证明如下：
不妨设，在平面内取一点，
则向量，
取平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
由方程组，解得，即交点，
同理可得，其它交点，，，
因为四面体外接球半径，
设球心为，则，
即有，解得，即球心，
又由，
解得或（舍去），所以，
则到平面即的距离为，
又因为，，，可得，
所以是正三角形，所以，
所以三棱锥的体积为.