2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期第一次月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期第一次月考数学检测试题合集2套（附解析），共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．若是圆上任一点，则点到直线的距离的值不可能等于（ ）
A．4B．6C．D．8
3．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
6．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
7．对于一段曲线，若存在点，使得对于任意的，都存在，使得，则称曲线为“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任何椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则下列正确的是（ ）
A．①成立②不成立B．①不成立②成立
C．①成立②成立D．①不成立②不成立
8．2024年3月，某科技公司启用具备“超椭圆”数学之美的新lg．设计师的灵感来源于曲线C：．其中星形线E：常用于超轻材料的设计．则下列关于星形线说法错误的是（ ）
E关于y轴对称
E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
曲线E所围成图形的面积小于2
E上的点到原点距离的最小值为
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
10．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
11．已知是圆上任意一点，过点向圆引斜率为的切线，切点为，点，则下列说法正确的是（ ）
A．时，B．
C．D．的最小值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
13．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 .
14．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，设定点为，，点O为坐标原点，动点满足（且为常数），化简得曲线E：．下列命题中正确序号是 ．
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；
②的最小值为2a；
③当时，的最大值为；
④面积不大于．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
16．已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
17．已知抛物线，在上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为.
(1)若A到抛物线准线的距离为3，求的值；
(2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
(3)直线，是第一象限内上异于A的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
(1)求的方程；
(2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点且斜率存在的直线族，表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2．【答案】D
【详解】如图，圆的圆心坐标为，半径为1，直线过定点．由图可知，圆心C到直线距离的最大值为，则点P到直线距离的最大值为；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是. 选项中仅D选项不在范围内.
故选：D.
3．【答案】C
【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，
则，则，，
于是，
.
故选：C.
4．【答案】D
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
5．【答案】B
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

6．【答案】C
【详解】对于A，直线过抛物线的焦点，可得，所以，故A错误；
对于B，抛物线方程为：，与交于两点，
直线方程代入抛物线方程可得，，所以，
所以，故B不正确；
对于C，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为，
所以以为直径的圆与相切，故C正确；
对于D，由B得，，解得或，
不妨设，则，
所以，，
所以不是等腰三角形，故D错误；
故选：C
7．【答案】A
【详解】由于椭圆是封闭的，则总可以找到满足题意的点，使得成立，
不妨设椭圆方程为，取点，
由椭圆性质可知，椭圆上的任意点P，总有，
若，则，
由，得，
整理得，
所以在椭圆上必存在点Q，使得成立，①成立；
在双曲线中，假定存在点，显然的最大值趋于正无穷大，的最小值是定值，
即的最小值是定值，设，则，
由，显然，不妨令，取，则，
与矛盾，②不成立．
故选：A
8．【答案】D
【详解】对于A，若在星形线E上，则也在E上，故E关于轴对称，A正确；
对于B，由，则，当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，曲线E过点，在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，故曲线E所围成的面积小于2，C选项正确；
对于D，由，当且仅当时等号成立，故上的点到原点的距离最小值为，故D选项错误.
故选：D
9．【答案】ABD
【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．
【详解】因为是线段的中垂线上的点，，
若在圆内部，且不为圆心，则，，
所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确；

若在圆外部，则，，
所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确；

若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点．
若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，
所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确，
不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误，
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
11．【答案】BCD
【详解】当时，圆的方程为，圆心为，半径为，
过点向圆引切线，根据题意可知，切线斜率存在，
设切线方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，又因为，所以，故A不正确；
设直线，由，
得，
由，即，
又因为，所以，所以，
所以，故B正确；
因为，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
因为，而，
所以，即，故C正确；
设，此时，
故而，等号成立当且仅当在上，故D正确.
故选：BCD.
12．【答案】（中任意一个皆可以）
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
13．【答案】
【分析】设点，切线的方程为，可求得切线的斜率，由 可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，消参可求得点的轨迹方程，结合图形可求得的范围.
【详解】因为点为抛物线：上的点（不为原点），
所以可设点，且，
当切线的斜率不存在时，不合题意；
当切线的斜率存在时，可设为，
联立，消去可得，
化简可得，
令，可得，
化简可得，即，
又，所以的斜率，
所以的方程，
因为点，，
所以的斜率为，
则的方程为，
联立，解得，
即，
由两式相除可得，即，
由，可得，
再代入，可得，
化简可得，可得，
可知点轨迹为半径为的圆，圆心为，
结合图形可知，
又，，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题难点在于如何求出点的轨迹方程，可借助参数得出两直线的方程，联立后用参数表示该交点坐标，借助交点坐标消去参数，即可求得该点的轨迹方程.
14．【答案】①③④
【详解】①：以代x，得：，所以曲线关于纵轴对称；
以代y，得：，所以曲线关于横轴对称；
同时以代x，以代y得：，所以曲线关于原点对称，所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形，故正确；
②：因为，所以当时，有，
当时，显然P与，中一点重合，故此时，故错误；
③：当时，由，化简得，
因此有，所以，故正确；
④：面积为：，
当时，面积的最大值为，故正确.
故答案为：①③④
15．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得，，进而得答案；
（2）设，则，进而求出直线，的方程，并与椭圆联立方方程解得，进而得直线的方程为，并整理得即可证明结论.
【详解】（1）解：因为，
所以，解得，
设双曲线的半焦距为，因为离心率为，
所以，解得，
则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：设，则，，
直线的方程为，
直线的方程为.
联立方程消去并整理得
显然，即
所以，，
联立方程消去并整理得，
显然，即，
，
即当时，直线的方程为，
将上面求得的的解析式代入得，
整理得，
所以直线过定点.
16．【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.
(2).
【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.
【详解】（1）如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，，
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）抛物线的准线为，由于A到抛物线准线的距离为3，
则点A的横坐标为2，则，解得；
（2）当时，点A的横坐标为，则，
设，则的中点为，由题意可得，解得，
所以，则，
由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
（3）如图，

设，则，
故直线的方程为，
令，可得，即，
则，依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即，
则，解得，
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意.
故实数的取值范围为.
18．【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由己知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；
（2）由已知，分别设出四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线，，，的斜率,即可证得，设和的中点分别为，，分别联立与抛物线方程，求得，的坐标，利用斜率公式表示，化简计算即可得出结果.
【详解】（1）设点，则，因为，，
所以，，所以点，
代入方程中，得，所以的方程为.
（2）设点，，，，
则直线的斜率，
同理得直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
，
从而得.
由，消去得，
所以，，
由，得或.
设和的中点分别为，，
则，，
同理，，
所以，即，
所以得.
19．【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【详解】（1）依题意，直线族与圆相切，
即圆心到直线族的距离为4，则，
所以满足的关系式为.
（2）点不在直线族的任意一条直线上，
则对，方程无解，则，解得，
即的取值范围为.
猜想：直线族的包络曲线为，证明如下：
①设曲线上任意一点，求导得，
则曲线在点处的切线斜率为，切线方程为，即，
令，则切线方程为，
因此曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线；
②，直线族中的每条直线都是曲线在点处的切线，
所以直线族的包络曲线为.
（3）由（2）知，曲线：，设，
直线的方程为，直线的方程为，
于是，即点，
设直线的方程为，由得，，
则，点，
而在直线上，则，即，
因此直线：过定点，该点与原点确定直线的斜率为2，
当时，原点到直线距离的最大值为.
2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期第一次月考数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．若数列为等差数列，且，则等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（ ）
A．B．2C．D．3
3．公比为的等比数列满足，，则（ ）
A．B．1C．3D．9
4．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（ ）
A．B．C．3或D．或
5．首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．等差数列的前四项之和为，后四项之和为，各项和为，则此数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
7．在等比数列中，若，是方程的两根，则（ ）
A．B．C．2D．
8．已知等差数列{ an}中， 其前n项和为 Sn，若 则 （ ）
A．2021B．-2022C．2024D．-2023
二、多选题（本大题共3小题）
9．若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
10．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ）
A．d＜0B．a10＝0C．S18＜0D．S8＜S9
11．已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若数列是等比数列，且则
13．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前 项的和最大．
14．等差数列、满足对任意都有，则= ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．为等差数列 的前n项和， 已知
(1)求数列 的通项公式;
(2)求，并求的最小值.
16．求数列，，，…，，…的前n项和．
17．已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意 都有成立，求正整数的值.
18．已知数列中，，
(1)证明数列 是等比数列；
(2)若数列 的通项公式为 ,求数列 的前n项和.
19．在数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
参考答案
1．【答案】D
【详解】依题意，.
故选：D
2．【答案】A
【详解】由题意知，设等比数列的公比为，
则，即，
解得，.
所以.
故选：A
3．【答案】C
【详解】由，知，又，
则，
，解得（舍），或.
故选：C.
4．【答案】D
【详解】由，
因，代入得，，
即，解得，或.
故选：D.
5．【答案】D
【详解】由等差数列的通项公式可得：，∵从第10项开始为正数，∴，解得，∴公差的取值范围是，
故选：D.
6．【答案】B
【解析】由题意可得，两式左右两端分别相加，根据等差数列的性质，可求的值，再根据等差数列前项和公式，求项数.
【详解】由题意可得，
以上两式左右两端分别相加，可得.
数列是等差数列，，
.
又.
故选：.
7．【答案】A
【解析】，是方程的两根，根据韦达定理可得，，
，可得，利用是的等比中项，即可求解.
【详解】由题意可得，，则，
所以，又，故.
故选:A.
8．【答案】C
【详解】在等差数列中，，其前项和为，
，
，解得，
则．
故选：C．
9．【答案】AD
【详解】设等比数列的公比为，
，则是以为公比的等比数列，A对；
时，，则不是等比数列，B错；
，时，，
此时不是等比数列，C错；
，所以，是公比为的等比数列，D对.
故选：AD．
10．【答案】BC
【详解】 ， ，所以B正确
又 , , ,所以A错误

，故C正确
,故D错误
故选：BC
11．【答案】ABC
【详解】等比数列的各项均为正数，，，
，
，若，则一定有，不符合，
由题意得，，，故AB正确，
，，
，，故C正确，D错误，
故选：ABC．
12．【答案】
【详解】
等比数列中，，，
则．
故答案为：8．
13．【答案】10或11
【详解】∵an=﹣n2+10n+11，∴a1=20＞0
an=﹣n2+10n+11=﹣（n﹣5）2+36
当（n﹣5）2＜36时，
an=﹣（n﹣5）2+36＞0
当（n﹣5）2＞36时，
an=﹣（n﹣5）2+36＜0
当n=11时，an=0
∴当Sn最大时，有：n=10，11．
故答案为10或11．
14．【答案】1
【详解】由等差数列的性质可得，，
所以.
15．【答案】(1)
(2)，最小值为
【详解】（1）为等差数列的前项和，，．
，
解得，，
数列的通项公式．
（2）．
时，的最小值为．
16．【答案】
【详解】
17．【答案】(1)
(2)或4，
【详解】（1）
设的公差为，则，
，
故的通项公式为．
设，则为等比数列．
，，
设的公比为，则，故．
则，即．
．
故的通项公式为．
（2）
由题意，应为数列的最大项．
由．
当时，，，即；
当时，，即；
当时，，，即
综上所述，数列中的最大项为和．
故存在或4，使，都有成立．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，所以，即，为常数，
故数列是等比数列．
（2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，即，
所以，
故，
所以，
两式相减得，，
所以．
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则
当时，，
当时，，
与相减，得，
所以，又，所以，
所以当时，，
当时，满足上式，当时，上式不成立，
所以
（2）知，
因为，
所以当时，，
当时，
．
显然当时，上式成立，所以．