高考数学第二轮复习专题练习 专题9.5 统计图的相关计算大题专项训练（30道）（教师版）

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1．（2022·北京·统考模拟预测）某校高三共有500名学生，为了了解学生的体能情况，采用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生进行体能测试，整理他们的成绩得到如下频率分布直方图：
(1)估算：若进行高三学生全员测试，测试成绩低于50的人数；
(2)已知从样本中的男同学中随机抽取1人，该同学成绩不低于70的概率为12；从样本中成绩不低于70的学生中随机抽取1人，该学生为男生的概率也为12．试估计该校高三学生中男同学和女同学人数的比例．
【解题思路】（1）从频率分布直方图中可求成绩不低于50的频率0.9，进而可求成绩低于50的频率0.1，再用500×0.1=50即可求解；
（2）先求样本中成绩不低于70的人数，再求样本中成绩不低于70的男同学人数，进而可求样本中男同学人数，易得女同学的人数，即可得出比例.
【解答过程】（1）依题意，
样本中成绩不低于50的频率为0.01+0.02+0.04+0.02×10=0.9，
所以成绩低于50的频率为0.1，
所以估计总体中成绩低于50的人数为500×0.1=50（人）．
（2）样本中成绩不低于70的频率为0.04+0.02×10=0.6，
所以样本中成绩不低于70的人数为0.6×100=60（人）．
因为从样本中成绩不低于70的学生中随机抽取1人，该学生为男生的概率为12，
所以样本中成绩不低于70的男同学有30人，
又因为从样本中的男同学中随机抽取1人，该同学成绩不低于70的概率为12，
所以样本中有男同学60人，进而有女同学40人，
所以估计总体中男同学和女同学人数的比例为3:2．
2．（2023秋·四川遂宁·高二期末）某次人才招聘活动中，某公司计划招收600名新员工.由于报名者共2 000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如图:
已知图中左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列.根据频率分布直方图解答以下问题:
(1)求m；
(2)估计此次笔试的平均成绩.
【解题思路】（1）根据频率和为1计算得到答案.
（2）根据平均数的公式计算得到答案.
【解答过程】（1）根据频率分布直方图各小长方形面积之和为1，
18+14+12+1×10m+0.2+0.15+0.05=1，解得m=0.032.
（2）由频率分布直方图，得样本数据的平均值可估计为
35×0.04+45×0.08+55×0.16+65×0.32+75×0.20+85×0.15+95×0.05=67.1，
此次笔试的平均成绩可估计为67.1分.
3．（2023·高一课时练习）重庆因夏长酷热多伏旱而得名“火炉”，八月是重庆最热、用电量最高的月份．下图是沙坪坝区居民八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]．
(1)求直方图中的x；
(2)在用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在[240,260)的用户应抽取多少户？
【解题思路】（1）根据频率之和为1求得x.
（2）根据分层抽样的知识求得正确答案.
【解答过程】（1）依题意，0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025×20=1，
解得x=0.0075.
（2）用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四组用户频率的比为：
0.0125:0.0075:0.005:0.0025=5:3:2:1，
所以，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在[240,260)的用户应抽取11×55+3+2+1=5户.
4．（2023·甘肃武威·统考一模）为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为60，70，70，80，80，90，90，100，并画出如图所示的频率分布直方图.
(1)估计所有参赛学生的平均成绩(各组的数据以该组区间的中间值作代表)；
(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线.
【解题思路】(1)利用频率分布直方图频率和为1计算m=0.02，再计算平均数；
(2) 获得表彰的学生人数的频率为50500=0.1，进而可得最低分数线在90,100内，再进行求解.
【解答过程】（1）由10×0.01+0.03+m+2m=1，得m=0.02.
这100名参赛学生的平均成绩约为0.01×10×65+0.03×10×75+0.04×10×85+0.02×10×95=82分，
故估计所有参赛学生的平均成绩为82分.
（2）获得表彰的学生人数的频率为50500=0.1，
设获得表彰的学生的最低分数线为x，由分数在区间90，100的频率为10×0.02=0.2，可知x∈90,100，
由100-x×0.02=0.1，得x=95，
故估计获得表彰的学生的最低分数线为95分.
5．（2023秋·江西上饶·高一期末）从某中学随机抽样1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,12，12,14.
(1)求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；
(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；
（2）结合（1）中结论，求得8,10，10,12，12,14频率之和即可得解n.
【解答过程】（1）依题意，结合频率分布直方图，
该周课外阅读时间在8,10的频率为：1-2×(0.025+0.050+0.075+0.150+0.075+0.025)=0.2，
所以该样本数据的平均数为2×(0.025×1+0.050×3+0.075×5+0.150×7+0.075×11+0.025×13)+0.2×9=7.3.
（2）阅读时间超过8小时的概率为0.2+2×(0.075+0.025)=0.4，
所以估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率为0.4.
6．（2022秋·广西·高二学业考试）某中学组织学生到某电池厂开展研学实践活动，该厂主要生产型号为2号的干电池．为了解2号干电池的使用寿命，在厂技术员的指导下，学生从某批次2号干电池中随机抽取50节进行测试，得到每一节电池的使用寿命（单位：h）数据，绘制成如下的统计表．请根据表中提供的信息解答下列问题．
(1)求表中a，b，c的值，并将如下频率分布直方图补充完整；
(2)试估计该批次2号干电池的平均使用寿命．
【解题思路】（1）根据：样本容量×频率=频数，结合频率和为1计算得到a，b，c的值，并根据频率分布表画出频率分布直方图；
（2）由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，即可求出平均寿命．
【解答过程】（1）a=50×0.08=4，
c=1-(0.08+0.28+0.4+0.08)=0.16 ，
b=50×0.16=8，
所以区间20,25对应的频率/组距为0.165=0.032，
频率分布直方图如图所示：
.
（2）根据频率分布直方图，计算平均寿命为：
7.5×0.016×5+12.5×0.056×5+17.5×0.08×5+22.5×0.032×5+27.5×0.016×5 =16.9，
所以该批次2号干电池的平均使用寿命为16.9h．
7．（2022秋·湖南永州·高二期中）心绞痛是冠状动脉供血不足，心肌急剧地暂时缺血与缺氧所引起的以发作性胸痛或胸部不适为主要表现的临床综合征．在某地随机调查10位心绞痛患者第一次出现症状的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)估计这组数据的平均数；（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）
【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可得出a的值；
（2）根据频率分布直方图中的数据，列出式子，计算即可得出答案.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，0.005×10+0.015×10+0.020×10+a×10+0.015×10+0.010×10+0.005×10=1，
所以a=0.030.
（2）由频率分布直方图可知，这组数据的平均数为
25×0.05+35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.1+85×0.05=53.5.
8．（2022秋·云南楚雄·高二阶段练习）镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=认可程度平均分100）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中x的值和中位数（保留2位小数）；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
【解题思路】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得x，在频率分布直方图中频率0.5对应的数为中位数；
（2）由低于80分的学生中三组学生的人数比例进行计算；
（3）由频率分布直方图求出平均值后与认可系数比较可得．
【解答过程】（1）由图可知：x+0.015+0.02+0.03+0.025=110,∴x=0.01，
中位数：80+0.5-0.1+0.15+0.20.3×10=80+53=2453 ≈81.67；
（2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.2=2:3:4，
则应选取评分在60,70的学生人数为：30×32+3+4=10（人）
（3）由图可知，认可程度平均分为：
55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5