（人教A版）高二数学下学期期末考点复习训练专题14 列联表与独立性检验（重难点突破+课时训练）（2份，原卷版+解析版）

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二、考点梳理
1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为
分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2．2×2列联表
假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为
2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
3．等高堆积条形图
常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响.
(1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，
观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类
变量之间有关系.
(2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道
两个分类变量有关系的概率大小.
4．独立性检验
(1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示.
则.
(2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简
称独立性检验.
(3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
三、题型突破
重难点题型突破1 列联表的应用
例1．（1）下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
（2）（多选题）针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数可能为（ ）
参考公式：附．
A．25B．45C．60D．75
（3）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表：
给出下列4组数据：
① ；② ；
③ ；④ ．
则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是______．（填序号）
【变式训练1-1】某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向全体学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制成等高条形图（如图所示），则下列说法正确的是（ ）
参考公式：，．A．参与调查的学生中喜欢攀岩的女生人数比喜欢攀岩的男生人数多
B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C．若参与调查的男、女生人数均为100人，则能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关
D．无论参与调查的男、女生人数为多少，都能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关
【变式训练1-2】（多选题）某校团委对“学生性别和喜欢运动是否有关”进行了一次调查，其中被调查的男､女生人数相同，男生喜欢运动的人数占男生人数的，女生喜欢运动的人数占女生人数的，若有95%的把握，但没有99%的把握认为“是否喜欢运动和性别有关”，则被调查人中男生可能有（ ）
附：
，其中.A．25人B．45人C．60人D．75人
【变式训练1-3】长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植．在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下列联表（单位：份），其中且．
注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一．根据现行国家标准规定，马克隆值可分为A，B，C三个级别，A级品质最好，B级为标准级，C级品质最差．
当时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则的最小值为______．
附：
重难点题型突破2 独立性检测的应用
例2．年月日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了人进行分析，得到下表（单位：人）：
(1)将上表中的数据填写完整；
(2)判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？
附：，其中.
【变式训练2-1】某大学滑冰协会为了解本校学生对滑冰运动是否有兴趣，从本校学生中随机抽取了300人进行调查，经统计，被抽取的学生中，男生与女生的人数之比是2∶1，对滑冰运动有兴趣的人数占总数的，女生中有55人对滑冰运动有兴趣.
(1)完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关联？
(2)该协会滑冰项目有3名男教练和2名女教练，为了推广滑冰运动，该协会计划筹备5天的宣传活动，若每天从这5名教练中随机选出2人作为滑冰运动的宣传员，求这5天中恰有2天选出的2人是女教练的概率.附：（），.
四、课堂训练
1．已知随机事件与的样本数据的2×2列联表如下：
其中，均为大于4的整数，若在犯错误的概率不超过0.01的前提下“判断和之间有关系”时，则（ ）附：
A．6B．7C．8D．9
2．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量的观测值最小的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选题）下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
4．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．对于随机事件A和B，若，则事件A与事件B独立
C．回归分析中，若相关指数越接近于1，说明模型的拟合效果越好；反之，则模型的拟合效果越差
D．用等高条形图粗略估计两类变量X和Y的相关关系时，等高条形图差异明显，说明X与Y无关
5．某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门200名销售人员进行调查，所得数如下表所示：
根据上述数据能得出结论：有______以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．
6．2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新型冠状病毒灭活疫苗已获国家药监局批准附条件上市．在新型冠状病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对某种新型冠状病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
计算可知，在犯错误的概率最多不超过______的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新型冠状病毒感染的效果”．
参考公式：，．
7．高考改革，迎来了“3+1+2”的新高考模式.“3”指的是语文、数学、英语三科必考；“1”指的是学生从物理和历史两科中选考一科；“2”指的是学生从化学、生物、地理和政治四科中选考两科.某中学为了了解高一年级1000名学生的选科意向，随机抽取了100名学生，并统计了他们的选考意向，制成如下表格：
(1)补全上表，根据小概率α＝0.01的独立性检验，能否认为选考物理与性别有关？
(2)以选考科目为基准，按分层抽样的方式从这100名学生中抽取10人，然后再从这10人中随机抽取3人，记这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
8．为了研究人对红光或绿光的反应时间，某实验室工作人员在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，切断计时器，这就能测得反应时间．该试验共测200次红光，200次绿光的反应时间，若以反应时间是否超过为标准，统计数据如下表：
(1)试判断是否有的把握认为反应时间是否超过与光色有关；
(2)在红光测试数据中，先按反应时间分层抽取8个数据，再从这8个数据中随机抽取2个，求这2个数据的反应时间都不超过的概率．附：，其中．
专题14 列联表与独立性检验
A组 基础巩固
1．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了位老年人，结果如下表，经计算得到，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
B．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
C．有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
D．有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关
2．某初级中学有700名学生，在2021年秋季运动会中，为响应全民健身运动的号召，要求每名学生都必须在“立定跳远”与“坐位体前屈”中选择一项参加比赛．根据报名结果知道，有的男生选择“立定跳远”，有的女生选择“坐位体前屈”，且选择“立定跳远”的学生中女生占，则参照附表，下列结论正确的是（ ）
附：
，n＝a＋b＋c＋d．A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关
C．有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关
D．有95%的把握认为选择运动项目与性别有关
3．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得.附表：
下列说法正确的是（ ）
A．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”
4．在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）
A．散点图和残差图B．残差图和列联表
C．散点图和等高堆积条形图D．等高堆积条形图和列联表
5．某艺术馆为了研究学生性别和喜欢国画之间的联系，随机抽取80名学生进行调查（其中有男生50名，女生30名），并绘制等高条形图，则这80名学生中喜欢国画的人数为（ ）
A．24B．32C．48D．58
6．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于分为优秀，分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下列联表：
附：，其中．
根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（ ）
A．B．C．D．
7．在一次高三模拟考试后，数学老师为了调查数学成绩与学习数学兴趣之间的关系，将某班同学的数学成绩绘制成如图所示的等高堆积条形图（表示对数学感兴趣，表示对数学不感兴趣，表示数学成绩不好，表示数学成绩好），则（ ）
A．数学成绩与学习数学兴趣关系较强
B．数学成绩与学习数学兴趣关系较弱
C．数学成绩与学习数学兴趣无关系
D．数学成绩与学习数学兴趣关系难以判断
8．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生的人数可能为（ ）．
临界值表：
附：．
A．30B．54C．62D．75
9．某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生（其中男生60名，女生40名），并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为_______．
10．根据如图所示的等高条形图可知吸烟与患肺病________关系(填“有”或“没有”).
11．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表.则根据列联表可知：
参考公式：独立性检验统计量，其中.
下面的临界值表供参考：
有___________的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
12．某学生为了研究高二年级同学的体质健康成绩与学习成绩的关系，从高二年级同学中随机抽取30人，统计其体质健康成绩和学习成绩，得到列联表如下：
有___________的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关.
附：，
13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
，.
14．为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下列联表：
根据表中的数据，及观测值（其中），参考数据：
则在犯错误的概率不超过________前提下，认为选择舞蹈与性别有关.
15．随着数字化信息技术的发展，网络成了人们生活的必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前大学生每天上网情况，某调查机构对某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网时间超过8小时的被称为“有网瘾”，否则被称为“无网瘾”，调查结果如下：
(1)将上面的2×2列联表补充完整，再判断是否有99.9的把握认为“有网瘾”与性别有关，说明你的理由；
(2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取2人参加座谈会，求这2个人恰有1人“有网瘾”的概率．参考公式：，其中
参考数据：
16．因新冠肺炎疫情线上学习期间，儿童及青少年电子产品的使用增多、户外活动减少，进而增加了近视发生和进展的风险．2022年春季由于奥密克戎及其变异株传染能力强、感染后缺乏特异性症状等特点，让奥密克戎防控难上加难．某市也受到了奥密克戎病毒的影响，全市中小学生又一次居家线上学习，该市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用分层抽样方法随机抽取了该市120名中学生，已知该市中学生男女人数比例为，统计了他们的视力情况，结果如表：
(1)请把表格补充完整，并判断是否有的把握认为近视与性别有关？
附：，其中．
(2)如果用这120名中学生男生和女生近视的频率分别代替该市中学生男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立．现从该市中学生中任选4人，设随机变量表示4人中近视的人数，试求的分布列及其数学期望．
B组 能力提升
17．（多选题）疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
附表及公式：
，．
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ）
A．注射疫苗发病的动物数为10
B．某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为
C．能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率约为80%
18．（多选题）某工厂有25周岁及以上工人300名，25周岁以下工人200名．统计了他们某日产品的生产件数，然后按“25周岁及以上”和“25周岁以下”分成两组，再分别将两组工人的日生产件数分成5组“，，，，”加以汇总，得到如图所示的频率分布直方图．规定生产件数不少于80件者为“生产能手”，零假设：生产能手与工人所在的年龄组无关．（ ）
注：，
A．该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间内
B．日生产件数的平均数“25周岁及以上组”小于“25周岁以下组”
C．从生产不足60件的工人中随机抽2人，至少1人25周岁以下的概率为
D．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立
19．（多选题）为推动实施健康中国战略，树立大卫生､大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：
(1)请利用所给数据求“健走先锋”职工数y与月份x之间的回归直线方程，并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；
(2)为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中有放回简单随机抽查70人，得到如下列联表：
依据的独立性检验，判断“健走先锋”称号是否与性别有关，并分析性别对“健走先锋”的影响.
参考公式：，.（其中）
20．一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富，该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”，根据实际评选结果得到了下面的列联表：
(1)根据列联表判断有多大的把握认为是否为“网红乡土直播员”与性别有关系；
(2)在“网红乡土直播员”中按性别用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中选3人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的3名“乡土直播推广大使”中女性人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
21．在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．
(1)请完成下列22列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为，当取最大值时，求k的值．附：其中
22．茶是中国颇受青睐的传统饮品．于爱茶的人而言，不仅迷恋于茶恬淡的气味与味道，泡茶工序带来的仪式感也是个修身养性静心的方式．但是细细品来，茶饮复杂的味型之中，总能品出点点的苦和淡淡的涩，所以也有人并不喜欢饮茶．在人们的固有印象中，总觉得中年人好饮茶，年轻人对饮茶持有怎样的态度呢？带着这样的疑问，高二3班的小明同学做了一项社会调查．调查针对身边的同学与方便联系的家长，共回收了200份有效问卷．为了提高统计工作的效率，小明只记录了问卷中三项有效数据，
(1)请将上面的信息表格补充完整（请在答题卡中画表格作答）；
(2)从这200人中随机选取2人，已知选取的2人中有人喜欢饮茶，求其中有学生的概率；
(3)请利用独立性检验相关的知识帮小明同学形成这次调查的结论．
公式：
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
总计
年龄不小于60岁
a
b
a＋b
年龄小于60岁
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
0.05
0.01
3.841
6.635
0.05
0.01
3.841
6.635
A级或B级
C级
合计
甲地
a
50
乙地
50
合计
80
20
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
冰雪运动爱好者
非冰雪运动爱好者
合计
女性
男性
合计
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
55
合计
300
总计
12
30
总计
10
32
42
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
能按时完成销售任务
不能按时完成销售任务
合计
具有相关大学学历
57
42
99
不具有相关大学学历
36
65
101
合计
93
107
200
被新型冠状病毒感染
未被新型冠状病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828
选考物理
选考历史
共计
男生
60
女生
20
共计
40
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
反应时间不超过的次数
反应时间超过的次数
红光次数
150
50
绿光次数
120
80
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
需要志愿者
不需要志愿者
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
优秀
非优秀
合计
甲班人数
乙班人数
合计
0.050
0.010
3.841
6.635
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行用
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
体质健康成绩高
体质健康成绩低
总计
学习成绩高
17
2
19
学习成绩低
3
8
11
总计
20
10
30
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
篮球
舞蹈
合计
男
13
7
20
女
2
8
10
合计
15
15
30
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
有网瘾
无网瘾
合计
女生
10
男生
20
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
近视
不近视
合计
男生
30
女生
40
合计
120
2.706
3.841
6.635
0.10
0.05
0.01
未发病
发病
总计
未注射疫苗
30
注射疫苗
40
总计
70
30
100
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
“健走先锋”职工人数
120
105
100
95
80
性别
健走称号
合计
健走先锋
健走之星
男员工
28
12
40
女员工
12
18
30
合计
40
30
70
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
网红乡土直播员
乡土直播达人
合计
男性
10
40
50
女性
20
30
50
合计
30
70
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
上课转笔
上课不转笔
合计
优秀
25
合格
50
合计
100
k
喜欢饮茶
不喜欢饮茶
合计
家长
60
120
学生
50
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828