2024-2025学年第二学期江苏省南京市七年级期中数学模拟试卷解答

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1．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握同类项，同底数幂的乘法，平方差公式，完全平方公式进行计算是解题的关键．
分别根据合并同类项、平方差公式、同底数幂的乘法及完全平方公式，逐一计算即可．
【详解】A．，原式计算错误，故选项不符合题意；
B． ，原式计算正确，故选项符合题意；
C．，原式计算错误，故选项不符合题意；
D． ，原式计算错误，故选项不符合题意；
故选：B．
2．下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【分析】本题考查平移的性质，理解平移的性质以及图形平移前后的位置和大小变化的规律是正确判断的关键．
根据平移的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．选项A中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项A不符合题意；
B．选项B中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项B不符合题意；
C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，因此选项C符合题意；
D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．若一个多项式的平方的结果为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
根据完全平方公式进行作答即可．
【详解】解：一个多项式的平方的结果为，
，
，
故选：D．
如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，
若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：由平移得，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查有理数数大小比较，涉及负指数幂、零次幂及有理数的乘方，熟练掌握负指数幂、零次幂及有理数的乘方是解题的关键．根据负指数幂、零次幂及有理数的乘方可进行求解，即可比较大小．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
6．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，
并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，
且，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解；
【详解】解：设，，
，，
，．
根据，得，
，
，
又，
，
即阴影部分的面积为．
故选：B
二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，
则把数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】∵，
故答案为：．
8．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用计算即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
9．若，，则 ．
【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【分析】根据（，是正整数）可得，再代入，计算即可．
【详解】解：，
故答案为：20．
10．如图，将周长为6的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为 ．
【答案】8
【分析】根据平移的性质可得AD=BE=CF=1，DF=AC，再由四边形的周长为AB+BF+DF+AD，即可求解．
【详解】解：根据题意得：沿方向平移1个单位得到，
∴AD=BE=CF=1，DF=AC，
∵的周长为6，
∴AB+BC+AC=6，
∴四边形的周长为AB+BF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=6+1+1=8．
故答案为：8
11．若（x+3）（2x﹣5）＝2x2+bx﹣15，则b等于 ．
【分析】根据多项式乘多项式的法则把左边展开，再根据对应项系数相等求解即可．
【解答】解：∵（x+3）（2x﹣8），
＝2x2+x﹣15，
＝3x2+bx﹣15，
∴b＝1．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为 ．
【分析】根据完全平方公式即可求得答案．
【解答】解：∵9x2+kx+7是一个完全平方式，
∴kx＝±（2×3x×6）＝±12x，
∴k＝±12，
故答案为：±12．
【点评】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
若边长分别为a，b（）的两个正方形按如图所示摆放，
则图中阴影部分的面积为 ．（用含a，b的式子表示）．

【答案】/
【分析】本题考查了列代数式，根据图形补成一个长方形，将去三个三角形即可求出阴影部分的面积，观察图形所给条件并列式是解答本题的关键．
【详解】解析：如图补成一个长方形，

．
14．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长．
【详解】解：沿方向平移得到，
，，
，
阴影部分的周长为．
故本题答案为：12．
15.如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若，求的度数
【答案】/度
【分析】本题考查了折叠，平行线的性质，理解折叠的性质，掌握平行线的性质运用是关键．
根据折叠和平行线的性质得到，，由此即可求解．
【详解】解：沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
16 .已知长方形ABCD可以按图所示方式分成九部分，
在a，b变化的过程中 （请将所有正确的编号填在横线上）．
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
②长方形ABCD的长宽之比可能为2；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
【分析】假设长方形的长宽比是2，推导出与已知的矛盾，排除②，根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．
【解答】解：如图：
①四边形AEFG、FHKM，故①正确；
②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，
若该长方形的长宽之比为5，则a+2b＝2（8a+b），
解得a＝0．这与题意不符；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+7b，
所以a＝b，所以九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+5b）＝60，
整理，得a+b＝10，
∴四边形GHWD的面积为100，长方形ABCD的面积大于100．
综上所述，正确的是：①③．
故答案为：①③．
三.解答题（共10小题，满分68分）
17．（8分）计算题：
（1）；
（2）（2a）3+（﹣a）8÷（﹣a）5．
【分析】（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算加法即可；
（2）根据积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则进行计算即可求解．
【解答】解：（1）
＝1+2﹣8
＝2；
（2）（4a）3+（﹣a）8÷（﹣a）5
＝8a3﹣a4
＝7a3．
18．（8分）计算
（1）（y﹣2x）（x+2y）
（2）（a﹣b+1）（a+b﹣1）
【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案；
（2）利用平方差公式结合完全平方公式求出答案．
【解答】解：（1）（y﹣2x）（x+2y）
＝xy+6y2﹣2x8﹣4xy
＝2y8﹣3xy﹣2x7；
（2）（a﹣b+1）（a+b﹣1）
＝[（a﹣（b﹣8）][a+（b﹣1）]
＝a2﹣（b﹣5）2
＝a2﹣b3+2b﹣1．
19．（5分）先化简，再求值：已知a2﹣5a﹣1＝0，求代数式（a﹣3）2﹣a（a﹣1）+（a+2）（a﹣2）的值．
【分析】先应用整式的混合运算法则进行计算可得原式＝a2﹣5a+5，再由已知a2﹣5a﹣1＝0，可得a2﹣5a＝1，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（a﹣3）2﹣a（a﹣6）+（a+2）（a﹣2）
＝a7﹣6a+9﹣a5+a+a2﹣4
＝a6﹣5a+5
∵a8﹣5a﹣1＝6，
∴a2﹣5a＝7，
原式＝1+5＝5．
20．（6分）完成下面的证明过程．
已知：如图，，求证：平分．
证明：（已知），
（ ），
（ ），
又（已知），
（ ），
平分（ ）
【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行同位角，内错角相等，通过等量代换可得，根据角平分线定义即可得出结论．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
平分（角平分线定义），
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义．
（6分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，
的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，
点、、的对应点分别是点、、．

(1)请画出平移后的；
(2)连接、，这两条线段之间的关系是 ；
(3)平移后，扫过的面积 ．
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
(3)
【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)
【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质．
（1）利用平移变换的性质分别作出各个点的对应点，再依次连接即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）利用分割法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，连接、，、平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）连接，扫过的面积为四边形的面积，
扫过的面积为：，
故答案为：．

（6分）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，
通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，
请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．）
解：，，且，
，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较的大小，并说明理由；
(3)若，，，求a，b，c之间的等量关系．
【答案】(1)C
(2)；理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可；
（2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案；
（3）根据根据同底数幂的乘法法则得，即可解答
【详解】（1）解：，，且，
，
上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则，
故答案为：C；
（2）解：∵，，，且，
∴；
（3）∵，
，
∴，
即．
故答案为：．
（7分）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，
如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，
连接．

(1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ；
(2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)的度数为
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
（1）由折叠得出，，由平角的性质可得，再由，即可求解；
（2）同（1）的方法求出，再由即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，，
，，
，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
，，，
，
．
24．（7分）问题提出
在学完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，王老师向同学们提出了这样一个问题：
你能求代数式﹣x2+2x+3的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3
＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4
因为（x﹣1）2≥0，
所以﹣（x﹣1）2≤0．
所以当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0．
所以当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+4的值最大，最大值是4．
所以﹣x2+2x+3的最大值是4．
尝试应用
（1）求代数式﹣x2+14x+10的最大值，并写出相应的x的值．
拓展提高
将一根长24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，
那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有；若没有，请说明理由．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时x的值即可；
设一段为x，则另一段为24﹣x，表示出两个正方形的面积之和S，
利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出最小值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）﹣x2+14x+10
＝﹣（x2﹣14x+49）+59
＝﹣（x﹣4）2+59，
当x＝7时，原式有最大值；
（2）设一段为x，则另一段为24﹣x，
根据题意得：
S＝（）2+（6﹣）2
＝x2﹣3x+36
＝（x﹣12）2+18，
当x＝12时，S有最小值，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度12cm，
这两个正方形面积的和为18cm6．
25. （7分）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，
如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，
得到的等式为______；
①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为的大正方形，
用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为______；
②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值．
如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，
通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当时，代数式的值．

【答案】（1）；（2）①；②；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析．
（1）由图形面积的两种不同表示方法可得等式；
（2）①由图形面积的两种不同表示方法可得等式；
②由等式利用代入法即可求解；
（3）由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解．
【详解】解：（1）大长方形的长为，宽为，面积为，
也可表示为四个长方形的面积，，，的和，
∴，
故答案为：；
（2）①如图3，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，
用不同的方法表示这个大正方形的面积，
得到的等式为；
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴；
（3）如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体，
整体上大正方形的体积为，
组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为，
∴得到的等式为；
∵，，
．
26. （8分）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，
交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）．

(1)如果，求的度数；
(2)如果，则________；
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)30
(3)，见解析
【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可；
（2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可；
（3）设，然后类似（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解∶根据题意，得，
∴，
∵折叠， ，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
故答案为：30；
（3）解：
理由：设，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴．