（典型应用题专项讲义）专题6 方阵问题练习题（学生版+教师版）（含答案解析）-小学生数学典型应用题专项训练

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、方阵问题。
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．
2、数量关系。
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=（每边人数-1）×4
每边人数=四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数×每边人数
空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2
内边人数=外边人数-层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=（每边人数-层数）×层数×4．
【典例一】同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有 人．
A．72B．76C．80
【分析】因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数每边人数，由此即可解答．
【解答】解：，
，
（人，
答：最外圈一共有76人．
故选：．
【点评】此题考查了空心方阵问题中：四周点数每边点数的灵活应用．
【典例二】有32名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 名学生。
【分析】把32名学生看作32个点，利用空心方阵的最外围每边点数（最外层四周点数，即可解决问题。
【解答】解：
（名
答：每边各有9名学生。
故答案为：9。
【点评】此题考查了空心方阵中每边点数（四周点数这个公式的灵活应用。
【典例三】同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？
【分析】根据题意，方阵最外层每边有10名同学，则其4个点上人员是重复的，即最外层人数每边人数，实心方阵总人数每边人数每边人数，代入数据求解即可。
【解答】解：
（名
（名
答：最外层一共有36名学生，整个方阵一共有100名学生。
【点评】本题考查了方阵问题，牢记公式是解题的关键。
一．选择题（共6小题）
1．四年级同学举行队列表演，共组成5个方队，每个方队排成6行，每行6人。其中最外圈的同学穿黄色运动服，一共要准备黄色的运动服 套。
A．180B．120C．100D．20
【分析】根据题意，先用每行的人数乘4再减去四个角重复计算的人数求出每个方阵外圈的人数，再乘5即可求出5个方阵外圈一共有多少人，即要准备黄色的运动服多少套，据此选择即可。
【解答】解：
（人
（人
答：一共要准备黄色的运动服100套。
故选：。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数每边点数的灵活应用。
2．同学们排成一个正方形方阵表演节目，最外层每边站了20人，站在最外层的同学一共有
A．80人B．78人C．76人
【分析】方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数，据此解答。
【解答】解：
（人
故选：。
【点评】本题考查了方阵问题的应用。
3．如果需要用148粒水晶装饰一个正方形年画边框，要求四个角必须有一粒，那么每条边框上有 粒水晶。
A．36B．37C．38
【分析】水晶总粒数减去四个角上的4粒，再平均分给四条边，求出每条边分了多少粒，再加上角上的两粒即可。
【解答】解：
（粒
（粒
答：每条边框上有38粒水晶。
故选：。
【点评】此题主要考查了方阵问题的解法，要熟练掌握。
4．在一个正方形场地四周种树，四个角都种一棵，这样每边都种有24棵，四周共种 棵。
A．92B．96C．100
【分析】每边都种有24棵，四条边种棵，再减去四个角上重复算的4棵即可。
【解答】解：
（棵
答：四周共种92棵。
故选：。
【点评】此题主要考查了植树问题的应用，要熟练掌握。
5．在学校组织的“庆六一”团体操表演中，当表演方队是一个正方形时，小芳的位置用数对表示是，参加团体操表演的至少有 人。
A．64B．48C．36D．24
【分析】小芳的位置用数对表示是，即小芳在第6列第8行，因为方队是一个正方形，列数与行数相等，所以最少有8行8列，根据方阵总点数每边点数每边点数，由此计算即可。
【解答】解：（人
答：参加团体操表演的至少有64人。
故选：。
【点评】此题考查数对表示物体位置的方法和“方阵总点数每边点数每边点数”应用。
6．若干名学生排成8列长方形队列，若增加120人或减少120人，都能组成一个新的正方形队伍，那么原来学生有 人
A．902B．136C．240
【分析】根据题干可知，设原来每一列中有人，则8列一共有人，增加120人后组成一个方阵：总人数人可以表示为：；减少120人后组成一个方阵：总人数可以表示为：，这里和一定都是4的倍数；由此可得：，由此利用平方差公式可以变形为：，由此利用240的因数情况进行讨论推理，得出、的值即可解决问题。
【解答】解：设原来每一列中有人，则8列一共有人，
增加120人后组成一个方阵：总人数为：；
减少120人后组成一个方阵：总人数为：，这里和一定都是4的倍数；
由此可得：，
所以，
，所以：
当，时，满足，
则（人，即原有904人；
当，时，满足，
则，即原有136人；
所以原有是904人或是136人。
故选：。
【点评】方阵问题中：总人数都是完全平方数，此题关系复杂，需要学生认真审题，找准等量关系利用平方差公式和合数分解质因数的方法灵活解答。
二．填空题（共10小题）
7．同学们排成行数与列数相同的方阵做早操，再增加2列就增加了16人，原来方阵最外面一圈有 28 人。
【分析】再增加2列，那么原来每列有（人；然后根据最外层四周点数每边点数进一步解答即可。
【解答】解：（人
（人
答：原来方阵最外面一圈有28人。
故答案为：28。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数每边点数的灵活应用。
8．六一儿童节那天，学校举行团体操表演。六年级学生排成一个实心方阵。最外层每边站了13个人。最外层一共有 48 名学生，整个方阵一共有 名学生。
【分析】排成的是一个实心方阵，说明每排有13人，一共有13排。
【解答】解：（名
（名
答：最外层一共有48名学生，整个方阵一共有169名学生。
故答案为：48，169。
【点评】本题是一道有关整数的乘（除加、减的两步混合运算、两位数乘两位数的题目。
9．一个正方形花坛，每条边上摆4盆花（如图），四周一共需要 12 盆花；如果每条边上摆盆花，一共需要 盆花。
【分析】每条边摆4盆，四个角都要摆，则每条边在边上的有2盆，加上4个角上的4盆，共有盆。正方形花坛每条边摆盆花，一共摆行列。
【解答】解：每条边上摆4盆花，四周一共需要：
（盆
正方形花坛每条边摆盆花，一共摆行列，共需要：（盆
故答案为：12；。
【点评】本题主要考查了方阵及用字母表示数，注意四周和一共需要盆数的区别。
10．在一正方形盒子里放棋子，外面一圈摆完，需要40个棋子，一边是 11 个棋子；当外面摆完，里面还能放 颗棋子．
【分析】根据“最外层四周点数每边点数”求出一边有几个棋子；当外面摆完，求里面还能放多少颗棋子，根据“总点数每边点数每边点数”解答即可。
【解答】解：
（个
（颗
答：一边是11个棋子；当外面摆完，里面还能放81颗棋子。
故答案为：11；81。
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数每边点数每边点数；最外层四周点数每边点数的灵活应用。
11．如图1每边有 3 个〇，共有 个〇；图2每边有 个〇，共有 个〇．
【分析】如果正方形的四角不摆〇，需要的〇最多，如果正方形的四角都摆〇，需要的〇最少，再利用方阵最外层四周点数每边点数或最外层四周点数每边点数计算出最外层四周个数即可．
【解答】解：如图1每边有3个〇，共有：
（个
图2每边有〇：（个
共有：（个
答：如图1每边有3个〇，共有12个〇；图2每边有2个〇，共有8个〇．
故答案为：3，12；2，8．
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数每边点数的灵活应用．
12．同学们排成方阵做操，在方阵中，小红站的位置是，她后面还有5个同学．这个方阵一共有 144 人．
【分析】小红站的位置是，说明她是在第1列第7行；还有5个同学，说明一共有行，由于是方阵，所以每行、每列都有12个同学，用12乘上12即可求出总人数．
【解答】解：小红站的位置是，说明她是在第1列第7行；
（人
（人
答：这个方阵一共有144人．
故答案为：144．
【点评】本题先根据小红所在的位置，找出找这个方阵的总行数，进而根据总人数行数列数进行求解．
13．幼儿园小朋友做游戏个小朋友围成一个正方形，每边人数都相等，四个顶点都有人，每边各有 10 人．
【分析】此题可以看做是空心方阵问题，把36名小朋友看做36个点，利用空心方阵的最外围每边点数（最外层四周点数，即可解决问题．
【解答】解：
（人
答：每边各有10人．
故答案为：10．
【点评】此题考查了空心方阵中每边点数（四周点数这个公式的灵活应用．
14．三（1）班有28名同学参加“六一”儿童节团体操表演，要排成一个正方形方队，至少要减少 3 名同学，或至少要增加 名同学．
【分析】因为方阵总人数每边人数每边人数，所以排成一个正方形方阵的人数，是一个完全平方数，；，所以最接近28的完全平方数是：25和36，由此即可解答．
【解答】解：因为最接近28的完全平方数是：25和36，
（名，
（名，
答：至少要减少3名同学，或至少要增加8名同学．
故答案为：3，8．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数每边点数每边点数；先确定出组成正方形方阵需要的人数即可解答．
15．一群同学围坐在一张边长为3米的方桌周围，如果每隔1米坐一人，每个角上都要坐，那么每条边上坐 4 人，这张方桌周围一共坐了 人．
【分析】用边长除以两个人的间距，再加上1人，可得每边的人数是人，然后根据“方阵公式：四周的人数（每边的人数”代入数据解答即可．
【解答】解：（人；
（人；
答：每条边上坐3人，这张方桌周围一共坐了12人．
故答案为：4，12．
【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数（每边的人数，每边的人数四周的人数，中实方阵的总人数每边的人数每边的人数，空心方阵的总人数（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数，外层边长数中空边长数实面积数．
16．三（1）班有32位同学，排成一个正方形方阵，最少要减少 7 人，或最少要增加 人．
【分析】因为方阵总人数每边人数每边人数，所以排成一个正方形方阵的人数，是一个完全平方数，；，所以最接近32的完全平方数是：25和36，由此即可解答．
【解答】解：因为最接近32的完全平方数是：25和36，
（人，
（人，
答：最少要减少7人，或最少要增加4人．
故答案为：7；4．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数每边点数每边点数；先确定出组成正方形方阵需要的人数即可解答．
三．解答题（共12小题）
17．同学们排成了一个正方形方阵，后来减少了一行一列共19人．原来共有多少人？
【分析】根据“减少了一行一列共19人．”和一行一列有一个人处在交点可得原来每边的人数：（人，然后根据“中实方阵的总人数每边的人数每边的人数，”，可得原来的总人数是：（人；据此解答．
【解答】解：（人，
（人；
答：原来共有100人．
【点评】本题关键是求出原来每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数（每边的人数，每边的人数四周的人数，中实方阵的总人数每边的人数每边的人数．
18．运动会彩旗方阵组成一个长35米，宽21米的长方形。先在4个角各站一名队员，然后在4条边上每隔相同的距离站一名队员，最少要多少名队员？
【分析】要使队员最少，每相邻两个队员间的距离就要最大，实际上就是求35和28的最大公因数；然后计算长边上和宽边上各要站多少名队员，最后相加即可解答。
【解答】解：
所以，35和21的最大公因数是7；
（名
如图：
答：最少要16名队员。
【点评】本题考查了用求最大公因数的方法解答应用题的能力。
19．围棋盘的最外层每边能放19枚棋子。最外层一共可以摆放多少枚棋子？
【分析】利用“空心方阵最外层总点数每边点数”解答即可。
【解答】解：
（枚
答：最外层一共可以摆放72枚棋子。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数每边点数的灵活应用。
20．如图，一个“”的方阵，横向观察或纵向观察都可以用“”的算式求出圆形的总个数是25。请你再从另外的角度观察这个方阵，根据不同的观察角度，写出两个不同的加法算式求和。
加法算式
加法算式
【分析】从对角线的角度观察和从构成正方形的角度观察，即可得出两种加法。
【解答】解：①如图：
从对角线的角度观察，加法算式为：
②如图：
从构成正方形的角度观察，加法算式为：
故答案为：；。
【点评】本题主要考查了方阵问题，注意从不同角度观察并得出加法算式。
21．学校六一庆祝会上，在一个长、宽的长方形舞台外沿，每隔挂一束气球（一束气球有3个），靠墙（长边）的一面不挂，但四个角都要挂．一共需要多少个气球？
【分析】由于靠墙的一面不挂，但四个角都要挂，所以此题可看作是两端都植的植树问题，全长是米，用求得间隔数，再加上1就是气球的束数，再乘3就是需要的气球总个数；据此解答．
【解答】解：
（束
（个
答：一共需要48个气球．
【点评】解题关键是明确属于两端都植的植树问题，植树棵数间隔数．
22．学校选了一批同学参加团体操表演，把这些同学排成一个三层的空心方阵，多了12个同学，再选40个同学参加，正好在排成的空心方阵外多排了一层，成为四层空心方阵．共有多少人参加团体操表演？
【分析】由题意可知，增加的最外层需要人，由于每隔一层，每边人数的差是2人，相邻两层人数差是8人，所以原来三层空心方阵的最外层共有人，根据“每边的人数四周的人数”可得最外层每边有人，再根据空心方阵的总人数（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数，即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：增加的最外层需要：（人，
原来三层空心方阵的最外层共有：（人，
最外层每边有：（人，
（人
（人
答：共有120人参加团体操表演．
【点评】本题关键是求出最外层每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数（每边的人数，每边的人数四周的人数，中实方阵的总人数每边的人数每边的人数，空心方阵的总人数（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数，外层边长数中空边长数实面积数．
23．四年级共选出64名同学参加运动会的开幕式，他们排成一个方阵入场，这个方阵的最外层一共多少人？
【分析】先根据方阵总人数每边人数每边人数，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵最外层四周人数每边人数计算出最外层四周人数即可．
【解答】解：因为，所以64人组成的方阵的每边人数是8人，
，
，
（人；
答：这个方阵的最外层有28人．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数每边点数每边点数；最外层四周点数每边点数的灵活应用．
24．设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，求最外层每边应安排多少人？
【分析】因为中空方阵中，总人数（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数，如果设最外层每边人数是人，由此根据参加表演的总人数是360，层数是6，由此即可列出方程，求出的值，即可得最外层每边人数．
【解答】解：设最外层的每边人数是人，则：
，
，
，
，
答：最外层每边人数是21人．
【点评】此题考查了中空方阵中，总人数（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数这个计算公式的灵活应用．
25．学校运动会上，四年级二班的同学先组成了一个每行5人，一共5行的方阵．后来发现人数太少，于是每一行每一列都各增加一个人，现在比原来多了多少人？（先画出方阵图，再列式解答）．
【分析】每一行每一列都各增加一个人，说明现在每一行每一列都有人，根据“总人数每边人数每边人数”，分别求出两次的总人数，再求差即可．
【解答】解：画图如下：
（人
答：现在比原来多了11人．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数每边点数每边点数的灵活应用．
26．国庆节期间学校摆了一个正方形花坛（如图所示），最外层共有多少盆花？用两种方法解答．
【分析】此题属于空心方阵问题，根据四周点数（每边点数，或四周点数每边点数计，即可解答此题．
【解答】解：方法一：
（盆
方法二：
（盆
答：最外层共有28盆花．
【点评】此题考查了空心方阵中四周点数每边点数和四周点数（每边点数的计算应用．
27．六一儿童节快到了，学校摆了一个方阵花坛，这个花坛最外层每边各放20盆花，最外层一共摆了多少盆花？整个方阵呢？
【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆20盆，可以看做每边点数为20的方阵问题，根据最外层四周的总点数每边点数，即可解决问题．
【解答】解：
（盆
答：最外层一共摆了76盆．
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周的总点数每边点数的灵活应用．
28．（1）在上海世博会开幕式中有方队表演，表演时需要变换队形，由48人组成的体操队如果排成长方形队形，可以有几种排法？填写下表．
（2）如果站成方队，至少去掉多少人？或者至少增加多少人？谈谈你的想法．
【分析】（1）共有48人，排成长方形队形，要求可以有几种排法，可列表枚举得解；
（2）如果要站成方队，则方队的总人数应是完全平方数，最接近48的是36和49，据此解答．
【解答】解：（1）如果排成长方形队形，因为，所以可得：
（2）如果要站成方队，则方队的总人数应是完全平方数，最接近48的是36和49，
（人
（人
答：如果要站成方队，至少要去掉12人，或者至少增加1人．
【点评】解答此题关键是明确，如果要站成方队，则方队的总人数应是完全平方数．第一种
第二种
第三种
每行人数
第一种
第二种
第三种
每行人数
24
16
12