第19讲 三角恒等变换（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
二、二倍角公式
①；
②；
③；
三、降幂公式
四、辅助角公式
（其中）．
【常用结论】
拆分角的变形：①；；②；
③；④；⑤．
二、题型分类精讲
题型一 公式的直接应用
策略方法 应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
【典例1】（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．
【详解】
．
故选：B．
【典例2】下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.
【详解】对于A，，A不符合；
对于B，，B不符合；
对于C，，C符合；
对于D，，D不符合.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.
【详解】；
；
原式
.
故选：C
2．（山西省太原市2022届高三第一次模拟数学试题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数和差公式即可.
【详解】

；
故选：D.
3．（四川省成都市玉林中学2023届高三适应性考试数学试题）设，则等于（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】C
【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解
【详解】因为，所以，
故，
故选：C．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由及的范围求出，再根据二倍角的余弦公式可求出.
【详解】因为，所以，
又，所以，所以，即，
因为，所以.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）若为锐角，，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据二倍角的余弦公式与同角三角函数的关系化简得出只关于的式子，即可解得答案.
【详解】为锐角，
，
即，
解得，
故选：B.
6．（2023·广东深圳·校考二模）已知，则的值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.
【详解】由，
则.
故选：D
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）计算：______.
【答案】
【分析】根据两角差的余弦公式计算化简可得原式等于，即可得出结果.
【详解】由题意得，
.
故答案为：.
8．（2023·全国·高三专题练习）若csα＝－，α是第三象限的角，则sin＝____________.
【答案】
【解析】根据同角的三角函数关系式中平方和关系、两角和的正弦公式直接求解即可.
【详解】因为csα＝－，α是第三象限的角，
所以，所以有：
故答案为：
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式和两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.
9．（2023·全国·高三专题练习）____________．
【答案】
【分析】由正切的差角公式，可得，经过等量代换与运算可得答案.
【详解】
．
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则__________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到，，再利用正弦二倍角公式求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：
题型二 辅助角公式的应用
【典例1】求函数的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简，从而求得的最大值.
【详解】
所以，当时取得最大值为.故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·新疆和田·校考一模）该函数的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据辅助角公式化简结合三角函数的性质即得.
【详解】因为，又，
所以函数的最大值是2.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
3．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的辅角公式可得，进而，再根据，分析可得，由此即可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，又，所以，所以，
故.故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的辅角公式，三角函数值的应用，属于基础题.
4．（2023·广西·校联考模拟预测）的值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式变形，再探讨角所在区间即可判断作答.
【详解】，而，则，即有，
所以的值所在的范围是.
故选：A
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最大值为________
【答案】
【分析】根据向量数量积的乘法运算法则计算，结合辅助角公示即可求得最大值.
【详解】因为，，则，，所以的最大值为.
故答案为：.
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若，则__________．
【答案】
【分析】利用辅助角公式得即可求出即可求解.
【详解】因为,
所以 即，所以，所以
故答案为: .
7．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为______．
【答案】2
【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到，从而求出最大值.
【详解】
故函数的最大值为2
故答案为：2
题型三 三角函数式的化简
策略方法
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
【典例1】已知，则的值是（ ）
A．B．不存在C． 或 不存在D．
【答案】C
【分析】结合倍角公式化简、因式分解，即可求的值.
【详解】由得，
故或.
故选：C
【典例2】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【详解】由已知，化简得．
平方得，
所以．
故选：A．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【详解】由已知，化简得．
平方得，
所以．
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简即可求解.
【详解】由，
所以.
故选：D.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角，满足，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
即，即，
所以.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由同角三角函数的平方关系、二倍角公式可得，再由降幂公式、诱导公式可得，即可得解.
【详解】由两边平方得：，
所以即，
所以.故选：B.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式及二倍角公式的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用降幂公式，化简求值.
【详解】，解得：.
故选：B
6．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
，解得，负根舍去.
故选：B
7．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角和正切公式得，再利用二倍角公式化简，根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.
【详解】因为，所以，
则
.
故选：D
二、填空题
8．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）函数的最小正周期为__________．
【答案】
【分析】先将函数化简降次，然后再利用公式求周期.
【详解】，
所以最小正周期为.
故答案为：.
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知为钝角，，则的值为______.
【答案】
【分析】利用二倍角公式可得，再由可得答案.
【详解】因为，
所以，
因为为钝角，所以，所以，
又，所以，
可得，因为为钝角，所以.
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值是______.
【答案】
【解析】利用诱导公式可求得的值，结合同角三角函数的平方关系可求得的值，再利用两角差的正弦公式和二倍角公式可求得结果.
【详解】由于，且，则，
得，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及诱导公式、二倍角公式以及两角差的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
题型四 给值求值问题
策略方法 给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
【典例1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式、倍角余弦公式有，将条件代入求值即可.
【详解】.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角的余弦公式求出，观察角的关系，利用诱导公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
又，
所以.
故选：D.
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数诱导公式结合二倍角余弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】由题意得
,
故选：B
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由题解得，再由求解即可.
【详解】由，解得，
所以.
故选：A.
4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角差与和的正弦公式可得，则，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】因为
即，
所以.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式和商数关系展开后，然后由和差公式可得.
【详解】因为
所以
由，所以，
所以，即
所以，即
故选：A
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出，代入两角差的余弦公式即可.
【详解】由题意可得，
即，，
故.
故选：A.
7．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用降幂公式及诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
8．（2023·全国·模拟预测）已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系求出，，再由二倍角公式求出，最后由计算可得.
【详解】因为，为锐角且，所以，
所以，
所以，
又，
所以.
故选：B
9．（2023·江西九江·统考三模）已知，且，则csβ=（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.
【详解】解法一：∵，∴，
又，∴，
∴
，
故选：D．
解法二：∵，∴，∴，
即
∵
∴，
故选：D．
二、填空题
10．（2023·高三课时练习）已知，则__________.
【答案】
【解析】根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.
【详解】由可得，
则，因此，
从而有，
即.
故答案为：.
11．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知，则________.
【答案】
【分析】由辅助角公式和二倍角的余弦公式化简即可得出答案.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）已知，则__________．
【答案】
【分析】利用两角差的余弦公式展开，即可得到答案；
【详解】
，
故答案为：
13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．
【答案】
【分析】先通过条件确定角的范围，进而可求出，再利用，通过诱导公式以及二倍角的正弦公式化简计算.
【详解】，，
，
，
若，则，与矛盾，
故，
，
故答案为：.
题型五 给值求角问题
策略方法
给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是−π2，π2，选正弦函数．
【典例1】已知，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用角的变换，结合两角差的正弦公式求得，检验各选项即可.
【详解】由，得，
而，
从而或，
当时，只有B符合；当时，四个选项均不符合.
故答案为：B．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（ ）．
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为，是方程的两根，
所以
所以，
因为
所以且，
所以，所以，
所以，
故选:B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得，结合可得结果.
【详解】，，，，
，
又，.
故选：B.
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】首先由两角和的正切公式得出，即可得到的取值；
【详解】解：由题意得，
所以，
所以的值可能为，．
故选：AC
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】先根据，判断角的范围，再根据求；
根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求.
【详解】①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，
所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，
解得，
所以
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值，确定，且，进一步确定，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知都是锐角，，则___________.
【答案】
【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.
【详解】、为锐角，
，
，
由于为锐角，
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则________．
【答案】
【详解】因为,所以,又因为,所以
,所以=
==,又因为,所以β=.
8．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则的值为___________.
【答案】或
【分析】根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得，分类讨论当、时的情况，结合和辅助角公式计算即可.
【详解】由题意知，
则，
即，
当时，，即，
由，得；
当时，，
所以，即，
由，得，所以，得.
故答案为：或
9．（2023·全国·高三专题练习）若，且，，则______.
【答案】
【分析】由已知得，进而求得，再利用角的范围即可求解
【详解】因为，所以，所以.又，，所以，故.
故答案为
【点睛】本题考查两角和与差的正切公式的逆用．考查考生的灵活变通能力，是基础题
①公式的直接应用
②辅助角公式的应用
③三角函数式的化简
④给值求值问题
⑤给值求角问题