2025年高考数学大题题型归纳精讲(新高考通用)第06讲数列中的恒成立和存在性问题练习(学生版+解析）

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考法一：数列中的恒成立问题
满分秘籍
数列的“存在性和恒成立问题”的本质是不等式的问题，是高考中的热点问题。在出题上，经常巧妙的植入数列的求和中。因此数列的恒成立问题可以采用不等式的方法来求解，比如可以进行“参变分离”后等价转化为函数的最值问题进行求解。
例题分析
【例1-1】恒成立与分组求和
已知数列an的前n项和为Sn，点n,Sn在曲线x2-2x+y=0上.
(1)证明：数列an为等差数列；
(2)若bn=-1nan，数列bn的前n项和Tn满足mTn-2≤Tn对一切正整数n恒成立，求实数m的值.
【例1-2】恒成立与裂项相消求和
已知各项均为正数的数列an满足2Sn=an+1，其中Sn是数列an的前n项和.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若对任意n∈N+，且当n≥2时，总有14S1+1S2-1+1S3-1+⋅⋅⋅+1Sn-1m2-m+727恒成立，求实数m的取值范围.
【例1-4】恒成立与数列的函数特性
在①Sn=2bn-1，②-4bn=bn-1(n≥2)，③bn=bn-1+2(n≥2)，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．
已知数列{an}为等比数列，a1=23，a3=a1a2，数列{bn}的首项b1=1，其前n项和为Sn， ，是否存在k∈N*，使得对任意n∈N*，anbn≤akbk恒成立？
变式训练
【变式1-1】在①2Sn=3an-3；②a1=3,lg3an+1=lg3an+1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
设数列an的前n项和为Sn，满足________，bn=3n-9an+1,n∈N*．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若存在正整数n0，使得bn0≥bn对∀n∈N*恒成立，求n0的值．
【变式1-2】在数列an中，a1=1,an+1=1-14an,bn=12an-1，其中n∈N*．
(1)证明数列bn是等差数列，并写出证明过程；
(2)设cn=2bn2n+1，数列cn的前n项和为Tn，求Tn；
(3)对∀n∈N*，使得bnn+1≤n+3λ恒成立，求实数λ的最小值．
【变式1-3】已知数列an的前n项和为Sn，a1=3，Sn+1Sn=3n+1-13n-1，n∈N*.
(1)求S2，S3及an的通项公式；
(2)设bn=an+1an-1an+1-1，数列bn的前n项和为Tn，若Tn≤λan-1对任意的n∈N*恒成立，求λ的最小值.
【变式1-4】已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn满足2Sn=an+1，数列bn满足bn=1an+1an+1+1.
(1)求an的通项公式；
(2)设数列bn的前n项和为Tn，若5m-242022成立的n的最小值．
【变式2-3】已知数列{an}是正项等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn＝1．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)如果cn＝anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．
【变式2-4】已知数列an满足a1=12，2an+1+an=3，数列bn满足b1=1，nbn+1-n+1bn=n2+n.
（1）数列an，bn的通项公式；
（2）若cn=bn+1-bnan，求使c1+c2+c2+⋅⋅⋅+cn≤2021成立(cn表示不超过cn的最大整数)的最大整数n的值.
真题专练
1．在公差不为零的等差数列an中，a1=1，且a1,a3,a13成等比数列，数列bn的前n项和Sn满足Sn=2bn-2.
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=bn-an，数列cn的前n项和Tn，若不等式Tn+n2-n>lg21-a对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.
2．已知数列an的前n项和为Sn，a1=-165，且5an+1+Sn+16=0．
(1)求数列an的通项；
(2)设数列bn满足4bn+n-5an=0n∈N*，记bn的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
3．已知数列an的前n项和为Sn，当n≥2时，SnSn-an+1=Sn-1.
(1)证明：数列1Sn是等差数列；
(2)若a1=12，数列2nSn的前n项和为Tn，若mTn≤n2+16⋅2n+1恒成立，求正整数m的最大值.
4．在数列an中，a1=-32，2an=an-1-2n-2n≥2.
(1)证明：数列an+2n是等比数列；
(2)记数列nan+2n的前n项和为Tn，若关于n的不等式n2-Tn≤λn+2n+1恒成立，求实数λ的取值范围.
5．已知等比数列an的前n项和为Sn,an+1=Sn+2n∈N*.
(1)求数列an的通项公式；
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为Tn，若不等式(-1)nλln2-14nn∈N*.
7．已知数列an中，a1=2,nan+1-n+1an=2n2+nn∈N+
(1)证明：数列ann是等差数列，并求数列an的通项公式；
(2)设bn=2n+1anan+1，数列bn的前n项和为Tn，若TnN，都有an>δ.
(1)若an=2n+1，bn=2+cs(n)（n=1，2，），判断数列{an}，{bn}是否是无界数列；
(2)若an=2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，都有a1a2+a2a3+...+anan+1