湖南省双峰县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考模拟 数学试题（PDF版）

这是一份湖南省双峰县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考模拟 数学试题（PDF版），共16页。试卷主要包含了单选题，每题5分.，填空题，每题5分.等内容，欢迎下载使用。
一、单选题，每题5分.
1.设是两个集合，则“且”是“”的（A）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
详解：“且” “” “”
2.不等式的解集是（B）
A.B.
C. D.
详解：
3.在中，点是靠近点的四等分点，设，则（D）
A. B.
C. D.
详解：思路一：越靠近，系数越大，故；思路二：老老实实画图分解.
4.对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（B）
A.B.
C.D.
详解：思路一：，等号成立当且仅当；
思路二：，等号成立当且仅当.
5.设，下列关于的说法正确的是（D）
A.是偶函数，是奇函数
B.的零点相同，都是
C.的一个单调递增区间可以是
D. ，
详解：显然分别是奇函数、偶函数故A错误，零点不是点故B错误；
的单调递增区间是，不是，故C错误，
显然的值域是，，故D正确.
6.设，命题的定义域是，命题的值域是，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（D）
A. B.
C. D.
命题是真命题当且仅当，命题是真命题当且仅当，故所求范围为.
7.设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（C）
A.的周期是
B. 的一个对称中心可以是
C.的一个单调递增区间可以是
D. 的一条对称轴可以是
详解：，对于A，，故A表述正确，观察BCD选项可知，用检验法最快，由于 ，故BD表述正确，对于C，，但前面有负号，故的一个单调递减区间可以是，故选C.
8.在中，设，则下列说法错误的是（D）
A.B.边上的高是
C. 外接圆的周长是D. 内切圆的面积是
详解：，解得故A正确，
对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确；
对于C，外接圆的周长是，故C正确；
对于D，内切圆的面积是
二、多选题，每题6分，全对得满分，部分选对得2或3分，有选错的得0分.
9.已知，把向量的起点移到同一个点，设，以为邻边构造平行四边形，则下列说法正确的是（ABD）
A.B.
C.在上的投影向量是D.平行四边形的面积为
详解：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；
对于C，在上的投影向量是，故C错误；
对于D，所求面积为，故D正确.
10.已知，则下列说法正确的是（ACD）
A.三点共线
B.的重心不在直线上
C.的周长是
D. 外接圆的半径与内切圆的半径之比为
详解：对于A，可以利用三点共线知识，当然也可以求出经过两点的一次函数表达式为，由于，故A正确；
对于B，由重心坐标公式可得的重心坐标为满足，故B错误；
对于C，由模长公式可知所求周长为，故C正确；
对于D，根据第八题CD选项解析提示可知，
要求内切圆半径，只需求出三角形的面积、周长即可，
由等腰三角形三线合一可知，边上的高为，故，
而的周长为，
故内切圆的半径，
要求外接圆半径，只需求即可，故，
故，故D正确.
11.抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（BCD）
A.若，则存在实数使得
B.
C.
D.
详解：对于A，因为不共面，故A错误；对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
三、填空题，每题5分.
12.设，则的最大值是 .
详解：由即可得到答案.
13．设的三边满足关系，则面积的最大值是 .
详解：注意到，故，
所以，等会成立当且仅当.
14．在我们的中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：，
证明它的最直接的方法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，
若，
则是 锐角 （“锐角”、“钝角”、“直角”）三角形.
详解：，故我们只需要考虑角是锐角、直角还是钝角即可，注意到，故角是锐角.
四.解答题
15.设，求：
（1）的值域、周期（4分）；
（2）的对称轴、对称中心（4分）；
（3）的单调区间（5分）.
详解：
（1）；
（2）
（3）单调递增区间：；单调递减区间：.
16．在中，设，点是线段中点，点是线段的靠近点的三等分点.
（1）求的值（7分）；
（2）请用来表示（8分）.
（1），注意到，
所以，
，，
所以；
（2）由三点共线，可设，
由于不共线，所以只能，
所以
17. 在中，设.
（1）求（7分）；
（2）若，求的面积（8分）.
（1）
；
（2），
解得，
故
18．在中，点在线段上，平分.
（1）尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：（8分）；
（2）若，则是多少（9分）？
（1）在中运用正弦定理可得，两式相比可得；
（2）因为平分，故可设，注意到三点共线，
故，所以.
19.设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”.
（1）设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由（4分）；
（2）若在上是“可逆函数”，求实数的值（5分）；
（3）若，使得在定义域上是“可逆函数”，求实数的取值范围（8分）.