2024-2025学年湖南省双峰县第一中学高一下学期3月月考模拟数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省双峰县第一中学高一下学期3月月考模拟数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设A,B是两个集合，则“A⊆B且B⊆A”是“A∪B=A∩B”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2.不等式x−2024−x+2025≥0的解集是( )
A. 2024,2025B. 2024,2025C. −∞,2025D. 2024,+∞
3.在▵ABC中，点D是BC上靠近点B的四等分点，设AB=a,AC=b，则AD=( )
A. 14a+34bB. 13a+23bC. 23a+13bD. 34a+14b
4.对于二维形式的柯西不等式(ac+bd)2≤a2+b2c2+d2,a,b,c,d∈R，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式a⋅b≤a⋅b证明，例如取a=a,b,b=c,d，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数fx= x+ 1−2x的最大值是( )
A. 63B. 62C. 36D. 26
5.设fx=2x−12x,gx=[fx]2，下列关于fx,gx的说法正确的是( )
A. fx是偶函数，gx是奇函数B. fx,gx的零点相同，都是0,0
C. gx的单调递增区间是1,+∞D. ∀x∈R,fx+gx≥−1
6.设fx=lnax2+2024x+2025,gx=lgax2+2024x+2025，命题p:∃a∈R,fx的定义域是R，命题q:∃a∈R,gx的值域是R，设命题p,q中至少有一个是真命题，则实数a的取值范围是( )
A. 2025,+∞B. −∞,2024C. −∞,0D. [0,+∞)
7.设a= 3,1,b=−sin2x,cs2x,fx=csa,b，则关于函数fx的性质中，下列说法错误的是( )
A. fx的最小正周期是π
B. fx的一个对称中心可以是π12,0
C. fx的一个单调递增区间可以是−π6,π3
D. fx的一条对称轴可以是x=5π6
8.在▵ABC中，设a=6,c=5,CA⋅CB=18，则下列说法错误的是( )
A. b=5B. AC边上的高是245
C. ▵ABC外接圆的周长是254πD. ▵ABC内切圆的面积是52π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=2,0,a⋅b=6,b=4，把向量a,b的起点移到同一个点，设OA=a,OB=b，以OA,OB为邻边构造平行四边形OACB，则下列说法正确的是( )
A. a=2B. csa,b=34
C. a在b上的投影向量是32aD. 平行四边形OACB的面积为2 7
10.已知O0,0,A1,3,B3,1,C2025,−2021，则下列说法正确的是( )
A. A,B,C三点共线
B. ▵OAB的重心不在直线y=x上
C. ▵OAB的周长是2 10+2 2
D. ▵OAB外接圆的半径与内切圆的半径之比为5 5+58
11.抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若AB=x1,y1,AC=x2,y2，则S▵ABC=12x1y2−x2y1，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积a⋅b=a⋅bcsa,b，现在我们来定义向量的叉乘运算，设a,b是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量c=a×b，规定这个新向量的方向与a,b的方向都垂直，新向量的大小满足c=a×b=a⋅bsina,b，现在设a=1,3,b=1,4,m=2,1,n=13,14，则下列说法正确的是( )
A. 若c=a×b，则存在实数x,y∈R使得c=xa+yb
B. a⋅b=13
C. a×b=1
D. m⋅n a2⋅b2−(a×b)2=520
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a=csθ,1,b=csθ,sinθ，则a⋅b的最大值是__ ____．
13.设▵ABC的三边a,b,c满足关系a+b=2c=8，则▵ABC面积的最大值是 ．
14.在我们的▵ABC中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：a=bcsC+ccsB，证明它的最直接的方
法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，若bcsC+ccsB:acsC+ccsA:bcsA+acsB=64:2024:2025，则▵ABC是 (“锐角”，“钝角”，“直角”)三角形．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设a=1,1,b=sinx,csx,fx=a⋅b，求：
(1)fx的值域，周期；
(2)fx的对称轴、对称中心；
(3)fx的单调区间．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，设AB=a,AC=b,a=3,b=4,a,b=π3，点D是线段BC中点，点E是线段AC的靠近点C的三等分点．
(1)求cs∠EFD的值；
(2)请用a,b来表示CF
17.(本小题15分)
在▵ABC中，设acsC+sinC+ 3ccsA=b+ 3asinC．
(1)求A；
(2)若a= 2,b+c=2，求▵ABC的面积．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，点D在线段BC上，AD平分∠BAC．
(1)尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：ABAC=DBDC；
(2)若AB=1,AC=2，AB⋅AC=1，则AD是多少？
19.(本小题17分)
设fx定义域为Df，若对于任意的x1∈Df，存在唯一的x2∈Df使得fx1fx2=1，则称fx在定义域上是“可逆函数”．
(1)设fx=1x,gx=x+1x，判断fx,gx是否是“可逆函数”，并说明理由；
(2)若ℎx=−2x−1x+2在−32,m上是“可逆函数”，求实数m的值；
(3)若∃m>0，使得sx=ax2+2x−1a∈R在定义域0,m上是“可逆函数”，求证：a0时，s(x)=ax2+2x−1(a∈R)在定义域[0,m],m>0上单调递增，
则Rs=−1,sm，
若s(x)=ax2+2x−1(a∈R)在定义域[0,m]上是可逆函数，
首先sm0不符合题意；
情形二：当a=0时，s(x)=2x−1在定义域[0,m],m>0上单调递增，
则Rs=−1,sm，
若s(x)=ax2+2x−1(a∈R)在定义域[0,m]上是可逆函数，
首先sm