湖南省双峰县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考模拟数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省双峰县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考模拟数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省双峰县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考模拟数学试题原卷版docx、湖南省双峰县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考模拟数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
出题人：匡雄 审稿人：蔡志红
一、单选题，每题 5 分．
1. 设 是两个集合，则“ 且 ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得.
【详解】因“ 且 ” “ ” “ ”，
故“ 且 ”是“ ”的充要条件.
故选：A
2. 不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的性质，将分式不等式转化为整式不等式组来求解.
【 详 解 】 ， 则 不 等 式 解 集 为
.
故选：B
3. 在 中，点 是 上靠近点 的四等分点，设 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
第 1页/共 19页
【答案】D
【解析】
【分析】运用三角形法则变形计算即可.
【详解】如图所示，
中， .
已知点 是 上靠近点 的四等分点，所以 .
在 中， ，代入 ，可得 .
.
又因为 ， ，所以 .
故选：D.
4. 对于二维形式的柯西不等式 ，我们证明它的最直接的一种
方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式 证明，例如取 ，并结合
向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求得结果.
【详解】 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立．
第 2页/共 19页
5. 设 ，下列关于 的说法正确的是（ ）
A. 是偶函数， 是奇函数
B. 的零点相同，都是
C. 的单调递增区间是
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、零点、复合函数单调性以及值域等相关概念，通过对函数 和 的性
质分析来判断各个选项的正误.
【详解】已知 ，其定义域为 ，关于原点对称.
且 ，所以 是奇函数.
， ，所以 是偶函数，故 A 选项错误.
令 ，即 ，也就是 ，因为 ，所以 ，解得 ，则 的
零点是 .
令 ，则 ，由前面计算可知 ，所以 的零点也是 .
函数的零点是一个数，而不是一个点，所以 B 选项错误.
令 ，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递增.
，当 时， 单调递增.
当 时， ，且 在 上单调递增，
所以 且单调递增，根据复合函数“同增异减”的原则，
在 上单调递增，故 C 选项错误.
令 ，则 ，那么 .
第 3页/共 19页
将 进行配方可得 ，
所以 ， 成立，故 D 选项正确.
故选：D.
6. 设 ，命题 的定义域
是 R，命题 的值域是 R，设命题 中至少有一个是真命题，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分别分析命题 和命题 成立时 的取值范围，再根据命题 ， 中至少有一个是真命题，求
出 的取值范围.
【详解】命题 ： ， 的定义域是 ，
即对于任意 ， 恒成立.
当 时， 不恒成立.
当 时，二次函数 要恒大于 ，
则需满足 .
解不等式 ，可得 .
所以当命题 为真时， .
命题 ： ， 的值域是 ，
这意味着 能取遍所有大于 的值.
当 时， 能取遍所有大于 的值.
当 时，二次函数 的图象开口向上，
要使其能取遍所有大于 的值，则需 ，
第 4页/共 19页
解不等式可得 ，即 .
当 时，二次函数 的图象开口向下，不能取遍所有大于 的值，
所以当命题 为真时， .
命题 ， 中至少有一个是真命题的反面是 ， 都为假命题.
当 为假命题时， ；当 为假命题时， 或 .
所以 ， 都 假命题时， .
那么命题 ， 中至少有一个是真命题时， ，即 .
故选：D.
7. 设 ，则关于函数 的性质中，下列说法错误的是
（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的一个对称中心可以是
C. 的一个单调递增区间可以是
D. 的一条对称轴可以是
【答案】C
【解析】
【分析】先用向量夹角公式和三角函数的辅助角公式对三角函数的化简、再结合周期计算、对称轴与对称
中心的判断以及单调性的分析判定选项.
【详解】 ，
对于 A，最小正周期为 ，故 A 正确，
观察 BCD 选项可知，用检验法最快，
第 5页/共 19页
由于 ，故 BD 表述正确，
对于 C， ，但 前面有负号，故 的一个单调递减区间可
以是 ，
故选:C．
8. 在 中，设 ，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 边上的高是
C. 外接圆的周长是 D. 内切圆的面积是
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积公式、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆相关知识，结合
已知条件，来逐一分析各个选项.
【详解】对于 A， ，解得 ，故 A 正
确，
对于 B，显然 是等腰三角形，底边上的高是 4，由等面积法可知 边上的高是 ，故 B
正确；
对于 C， 外接圆的周长是 ，故 C 正确；
对于 D， 内切圆的面积是 ，故 D 不正确.
故选：D.
二、多选题，每题 6 分，全对得满分，部分选对得 2 或 3 分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，把向量 的起点移到同一个点，设 ，以 为
邻边构造平行四边形 ，则下列说法正确的是（ ）
第 6页/共 19页
A. B.
C. 在 上的投影向量是 D. 平行四边形 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用向量的模、向量夹角的余弦值、投影向量以及向量构成图形面积的相关知识，通过向量的坐
标运算来分别判断各个选项的正确性.
详解】对于 A， ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， 在 上的投影向量是 ，故 C 错误；
对于 D，所求面积为 ，故 D 正确．
故选：ABD.
10. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 三点共线
B. 的重心不在直线 上
C. 的周长是
D. 外接圆的半径与内切圆的半径之比为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直线 与 的斜率判断 A 的真假；利用三角形的重心公式求重心，判断 B 的真假；利用
两点间的距离公式，求边长判断 C 的真假；利用面积法求三角形的内切圆半径，利用正弦定理求外接圆半
径，可判断 D 的真假.
【详解】对于 A，因为 ， ，所以 三点共线，故 A 正确；
对于 B，由重心坐标公式可得 的重心坐标为 满足 ，故 B 错误；
第 7页/共 19页
对于 C，因为 ， ， ，所以
的周长为 ，故 C 正确；
对于 D，由等腰三角形三线合一可知， 边上的高为 ，故 ，
而 的周长为 ，
故 内切圆的半径 ，
又 因 为 ， 所 以 ， 设 外 接 圆 半 径 为 ， 由 正 弦 定 理 得 ：
，
故 ，故 D 正确．
故选：ACD
11. 抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若
，则 ，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面
我们学过向量的点乘也就是向量的数量积 ，现在我们来定义向量的叉乘运算，设
是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量 ，规定这个新向量的方向与
的 方 向 都 垂 直 ， 新 向 量 的 大 小 满 足 ， 现 在 设
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则存在实数 使得
B.
C.
D
第 8页/共 19页
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用向量相关的一些性质和运算，包括向量共面的判断、向量点积的计算、向量叉积模长的计算
等.对各个选项逐个计算验证即可.
【详解】对于 A，因为 不共面，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 正确．
故选：BCD.
三、填空题，每题 5 分．
12. 设 ，则 的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标公式，结合同角的三角函数关系式，通过换元，将其化简为二次函数，根
据二次函数的单调性即可求得.
【详解】由 ，
设 ，由正弦函数的性质知 ，
故当 ，即 或 时， 的最大值是 .
故答案为： .
13. 设 的三边 满足关系 ，则 面积的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】结合基本不等式，先求 的取值范围，再利用余弦定理，求 的取值范围，进而得 的
取值范围，最后结合三角形的面积公式可求三角形面积的最大值.
【详解】因为 ，所以 （当且仅当 时取“ ”）.
第 9页/共 19页
由余弦定理得： ，故 ，
所以 （当且仅当 时取“ ”）.
故答案为：
14. 在我们的 中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理： ，证明它的最直接
的 方 法 是 利 用 余 弦 定 理 ， 或 者 是 作 一 条 高 并 利 用 锐 角 三 角 函 数 有 关 知 识 即 可 证 明 ， 若
，则 是________（“锐
角”，“钝角”，“直角”）三角形．
【答案】锐角
【解析】
【分析】将已知条件转化为边长之比，再结合余弦定理计算即可.
【详解】 ，
故我们只需要考虑角 是锐角、直角还是钝角即可，
注意到 ，故角 是锐角．
故答案为：锐角.
四、解答题
15. 设 ，求：
（1） 的值域，周期；
（2） 的对称轴、对称中心；
（3） 的单调区间．
【答案】（1）值域： ，周期： ， 且 ；
（2）对称轴为直线 ， ；对称中心为 ， ；
（3）单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
【解析】
第 10页/共 19页
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示，利用辅助角公式整理可得正弦型函数，利用整体思想，根据正
弦函数的值域、周期、对称轴、对称中心以及单调区间，分别建立方程与不等式，可得答案.
【小问 1 详解】
由 ，
则 ，
易知 ，最小正周期 ，则周期为 ， 且 .
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，
令 ， ，解得 ， ；
令 ， ，解得 ， .
所以函数 的对称轴为直线 ， ；对称中心为 ， .
【小问 3 详解】
由（1）可知 ，
令 ， ，解得 ， ；
令 ， ，解得 ，
所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ； 单 调 递 减 区 间 为
．
16. 在 中，设 ，点 是线段 中点，点 是线段 的
靠近点 的三等分点．
第 11页/共 19页
（1）求 的值；
（2）请用 来表示
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性分解与数量积运算律有 ，再
分别求出模长，利用向量的夹角公式即可求得结果.
（2）由三点共线，可设 ，利用向量相等列出
等式即可求得结果.
【小问 1 详解】
，注意到 ，
所以 ，
，
，
所以 ；
【小问 2 详解】
由三点共线，可设 ，
第 12页/共 19页
由于 不共线，所以只能 ，
所以 .
17. 在 中，设 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用边化角与 和两角和的正弦公式即可化简求值.
（2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果.
【小问 1 详解】
由正弦定理得
，
整理得： ，
即： ，又因为 ，
所以 ,又 ，所以 ；
【小问 2 详解】
，
解得： ，
故
第 13页/共 19页
18. 在 中，点 在线段 上， 平分 ．
（1）尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明： ；
（2）若 ， ，则 是多少？
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别在 和 中，利用正弦定理得出等式，借助于诱导公式化简，将两式作比即
得；
（2）根据（1）推得 ，由向量运算得到 ，再利用向量模的运算律计算即得
.
【小问 1 详解】
利用正弦定理证明：设 ，则 ， ，
在 中，由正弦定理， ，
在 中，由正弦定理， ，
因 ，两式相比，可得： ；
【小问 2 详解】
由（1）得 ，故 ,于是
,
两边平方得： ，
第 14页/共 19页
故
19. 设 定义域为 ，若对于任意的 ，存在唯一的 使得 ，则称
在定义域上是“可逆函数”．
（1）设 ，判断 是否是“可逆函数”，并说明理由；
（2）若 在 上是“可逆函数”，求实数 的值；
（3）若 ，使得 在定义域 上是“可逆函数”，求证： ．
【答案】（1） 是“可逆函数”； 不是“可逆函数”，理由见解析‘
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用“可逆函数”定义即可判断；
（2）利用函数的单调性与值域之间的包含关系以及“可逆函数”定义即可求得结果；
（3）对参数 a 分情况讨论，再对对称轴讨论即可证明结论.
【小问 1 详解】
已知 ，定义域为 ,对于任意的 ，
设 ，由 ，得 ，因为对于任意 ，
且唯一，所以 是“可逆函数”；
已知 ，定义域 ，令 ，则 ，
由 ，即 ，得 ，那么 ，即 ，
判别式 ，方程无解，所以 不是“可逆函数”
【小问 2 详解】
第 15页/共 19页
由题意对任意 ，存在唯一 ，使得 ，则称 在定义域上是“可逆函数”，
则 在定义域上是“可逆函数”当且仅当对任意 ，存在唯一 ，使得 ；
即当且仅当 的值域是 的值域的子集，
定义 的值域、 的值域分别为 ，
所以 在定义域上是“可逆函数”当且仅当 ；
由题意 在 上是可逆函数，
首先当 时， 单调递减，此时 ，
由可逆函数定义可知， 不包含 0，即 （1）；
从而 在 时的值域为 ，
由题意 ，
所以要满足题意，还需满足 （2）；
只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当 ，解得 ，
【小问 3 详解】
情形一：当 时， 在定义域 上单调递增，
则 ，
若 在定义域 上是可逆函数，
第 16页/共 19页
首先 ，此时 的值域为 ，
同时注意到 不成立，故 不符合题意；
情形二：当 时， 在定义域 上单调递增，
则 ，
若 在定义域 上是可逆函数，
首先 ，此时 的值域为 ，
同时注意到 不成立，故 不符合题意；
情形三：当 时，注意到 的对称轴为 ，则 ，
（i）当 时， ，
由二次函数性质可知存在 使得 ，即此时 ，
若 在定义域 上是可逆函数，
首先 ，此时 的值域为 ，
同时注意到 不成立，故 不符合题意；
（ii）当 时，由二次函数性质可知
，
即此时 ，注意到 ，
若 在定义域 上是可逆函数，
第 17页/共 19页
首先 ，其次结合 ，可得 应该满足 ；
结论得证；
【点睛】方法点睛：新定义函数的思考方向：首先，深入理解新定义，逐字逐句分析其内涵，明确所涉及
的概念、规则等关键信息.其次，将新定义与熟悉的函数知识建立联系，例如函数的基本性质（单调性、奇
偶性、周期性等）、函数的图像特征（如开口方向，对称轴、最值点等）以及函数的运算规律.再者，运用
分类讨论思想，根据题目条件和参数的不同取值范围，分别进行分析.
随机放大招，感兴趣的同学请看过来哦！
总结：设 分别是定义在闭区间 上的连续函数．
（i）若 ，使 ；
（ii）若 ，使 ；
（iii）若 ，使 ；
（iv）若 ，使
总结变式：设 在区间 上的值域为 在区间 上的值域为 ．
①若 ，使 ；
②若 ，使 ，其中 是某一个常数；
③若 ，使 ；
④若 ，使 ．
聪明的你能明白其中的逻辑吗？请仔细思考，相信你能想通，这可大有用处呢！
闭区间 可以改成开区间吗？小于或等于改成小于呢？总的来说不管怎么改，一定要仔细考虑端点值该
不该取，这对于求取值范围或者最值类问题很容易出错的地方！
最后感谢各位老师和同学使用本试卷，如果各位老师同学有优化意见也可以提，我们将继续努力提升出卷
水平！最后来几个年份分解养养眼！
，
，
第 18页/共 19页
第 19页/共 19页