湖南省双峰县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考模拟 数学试题（含解析）

这是一份湖南省双峰县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考模拟 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，每题5分．，填空题，每题5分．，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题，每题5分．
1. 设是两个集合，则“且”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得.
【详解】因“且”“” “”，
故“且”是“”的充要条件.
故选：A
2. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的性质，将分式不等式转化为整式不等式组来求解.
【详解】，则不等式解集为.
故选：B
3. 在中，点是上靠近点的四等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用三角形法则变形计算即可.
【详解】如图所示，

中，.
已知点是上靠近点的四等分点，所以.
在中，，代入，可得.
.
又因为，，所以.
故选：D.
4. 对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求得结果.
【详解】，
当且仅当时，即时，等号成立．
5. 设，下列关于的说法正确的是（ ）
A. 是偶函数，是奇函数
B. 的零点相同，都是
C. 的单调递增区间是
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、零点、复合函数单调性以及值域等相关概念，通过对函数和的性质分析来判断各个选项的正误.
【详解】已知，其定义域为，关于原点对称.
且，所以是奇函数.
，，所以是偶函数，故A选项错误.
令，即，也就是，因为，所以，解得，则的零点是.
令，则，由前面计算可知，所以的零点也是.
函数的零点是一个数，而不是一个点，所以B选项错误.
令，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，则在上单调递增.
，当时，单调递增.
当时，，且在上单调递增，
所以且单调递增，根据复合函数“同增异减”的原则，
在上单调递增，故C选项错误.
令，则，那么.
将进行配方可得，
所以，成立，故D选项正确.
故选：D.
6. 设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分别分析命题和命题成立时的取值范围，再根据命题，中至少有一个是真命题，求出的取值范围.
【详解】命题：，的定义域是，
即对于任意，恒成立.
当时，不恒成立.
当时，二次函数要恒大于，
则需满足a>0Δ=20242−4×a×20250，故角是锐角．
故答案为：锐角.
四、解答题
15. 设，求：
（1）的值域，周期；
（2）的对称轴、对称中心；
（3）的单调区间．
【答案】（1）值域：，周期：，且；
（2）对称轴为直线，；对称中心为，；
（3）单调递增区间为；单调递减区间为.
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示，利用辅助角公式整理可得正弦型函数，利用整体思想，根据正弦函数的值域、周期、对称轴、对称中心以及单调区间，分别建立方程与不等式，可得答案.
【小问1详解】
由，
则，
易知，最小正周期，则周期为，且.
【小问2详解】
由（1）可得，
令，，解得，；
令，，解得，.
所以函数的对称轴为直线，；对称中心为，.
【小问3详解】
由（1）可知，
令，，解得，；
令，，解得，
所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为．
16. 在中，设，点是线段中点，点是线段的靠近点的三等分点．
（1）求的值；
（2）请用来表示
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性分解与数量积运算律有，再分别求出模长，利用向量的夹角公式即可求得结果.
（2）由三点共线，可设，利用向量相等列出等式即可求得结果.
【小问1详解】
，注意到，
所以，
，
，
所以；
【小问2详解】
由三点共线，可设，
由于不共线，所以只能，
所以.
17. 在中，设．
（1）求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用边化角与和两角和的正弦公式即可化简求值.
（2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果.
【小问1详解】
由正弦定理得
，
整理得：，
即：，又因为，
所以,又，所以；
【小问2详解】
，
解得：，
故
18. 在中，点在线段上，平分．
（1）尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：；
（2）若，，则是多少？
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别在和中，利用正弦定理得出等式，借助于诱导公式化简，将两式作比即得；
（2）根据（1）推得，由向量运算得到，再利用向量模的运算律计算即得.
【小问1详解】
利用正弦定理证明：设，则，，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
因，两式相比，可得：；
【小问2详解】
由（1）得，故,于是,
两边平方得：，
故
19. 设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”．
（1）设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由；
（2）若在上是“可逆函数”，求实数的值；
（3）若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：．
【答案】（1）是“可逆函数”；不是“可逆函数”，理由见解析‘
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用“可逆函数”定义即可判断；
（2）利用函数的单调性与值域之间的包含关系以及“可逆函数”定义即可求得结果；
（3）对参数a分情况讨论，再对对称轴讨论即可证明结论.
【小问1详解】
已知，定义域为,对于任意的，
设，由，得，因为对于任意，
且唯一，所以是“可逆函数”；
已知，定义域，令，则，
由，即，得，那么，即，
判别式，方程无解，所以不是“可逆函数”
【小问2详解】
由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“可逆函数”，
则在定义域上是“可逆函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得；
即当且仅当的值域是的值域的子集，
定义的值域、的值域分别为，
所以在定义域上是“可逆函数”当且仅当；
由题意在上是可逆函数，
首先当时，单调递减，此时，
由可逆函数定义可知，不包含0，即（1）；
从而在时的值域为，
由题意，
所以要满足题意，还需满足（2）；
只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得，
【小问3详解】
情形一：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是可逆函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形二：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是可逆函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形三：当时，注意到的对称轴为，则，
（i）当时，，
由二次函数性质可知存在使得，即此时，
若在定义域上是可逆函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
（ii）当时，由二次函数性质可知，
即此时，注意到，
若在定义域上是可逆函数，
首先，其次结合，可得应该满足；
结论得证；
【点睛】方法点睛：新定义函数的思考方向：首先，深入理解新定义，逐字逐句分析其内涵，明确所涉及的概念、规则等关键信息.其次，将新定义与熟悉的函数知识建立联系，例如函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的图像特征（如开口方向，对称轴、最值点等）以及函数的运算规律.再者，运用分类讨论思想，根据题目条件和参数的不同取值范围，分别进行分析.
随机放大招，感兴趣的同学请看过来哦！
总结：设分别是定义在闭区间上的连续函数．
（i）若，使；
（ii）若，使；
（iii）若，使；
（iv）若，使
总结变式：设在区间上的值域为在区间上的值域为．
①若，使；
②若，使，其中是某一个常数；
③若，使；
④若，使．
聪明的你能明白其中的逻辑吗？请仔细思考，相信你能想通，这可大有用处呢！
闭区间可以改成开区间吗？小于或等于改成小于呢？总的来说不管怎么改，一定要仔细考虑端点值该不该取，这对于求取值范围或者最值类问题很容易出错的地方！
最后感谢各位老师和同学使用本试卷，如果各位老师同学有优化意见也可以提，我们将继续努力提升出卷水平！最后来几个年份分解养养眼！
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