（模块化思维提升）专题7-数的整除特征-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题7-数的整除特征-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版），共16页。试卷主要包含了数的整除特征等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数。
2、数的整除特征。
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．
（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．
【典例一】下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）
A、AAABAA B、ABABAB C、ABBABB D、ABBABA
【分析】这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除
【解答】解：B=0，
ABABAB能被2和5整除，
A+A+A的和一定是3的倍数，
ABABAB也一定能被3整除，
故选：B．
【点评】此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．
【典例二】有一个四位数3AA1能被9整除，A是（ ）。
【分析】已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．
【解答】解：根据题意可得：
四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；
因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；
当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意；
当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意；
所以，A代表7，这个四位数是3771．
答：A是7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．
【典例三】如果六位数2009□□能被128整除，那么它最后的两位数是什么？
【分析】根据除法的计算方法的应用，结合题意用2009□□除以128，用被除数的前三位200除以128商1，余数72，落下被除数的9，用729除以128，商5，余数是89，落下被除数的□，用89□除以128，商6，余数最大是127，所以□最大填5，再落下□，用127□除以128，商最大是9，128乘9等于1152，不能整除，所以用89□除以128，商7，128乘7等于896 所以□填6，最后□填0，能被128整除，解答．
【解答】解：根据整除的意义，
，
所以200960能被128整除，它最后的两位数是6，0．
【点评】此题考查的是整除的意义．
一．选择题（共8小题）
1．某班有一个小图书馆，共有300多本图书，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即1，2，，小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，这个图书馆里至少有 本图书．
A．381B．382C．383D．384
2．下面是用字母表示的三种形式的六位数、、表示三个数字，且不等于，形如 的六位数，一定能被3整除．
A．B．C．
3．下面四个数都是六位数，是的自然数，是0，一定能被3和5整除的数是
A．B．C．D．
4．从1到2000共2000个整数里面，是3的倍数但不是5的倍数的数有 个
A．532B．533C．534D．535
5．请你在121这个数后面补上3个数字组成一个6位数，使这个数能被3、4、5整除，并且要求这个数值尽量小，这个数是
A．1212000B．121080C．121110D．121140
6．下列4个数都是六位数，是大于0小于10的自然数，是0，一定能同时被2、3、5整除的数是
A．B．C．D．
7．已知、、都是整数，则下列三个数中，整数的个数
A．至少有一个B．仅有一个C．至少有二个
8．计算、四个同学给出了四个不同的答案，只有一个正确，一个同学利用学过的一些数的倍数的特征很快找到了它，它是
A．632254965B．632244965C．632234965D．632213965
二．填空题（共8小题）
9．1996年的5月2日是小华的9岁生日．他爸爸在1996的右面添了一个数字，左面添了一个数字组成了一个六位数．这个六位数正好能同时被他的年龄数、出生月份数和日数整除．这个六位数是 ．
10．把100拆成两个自然数之和，其中一个是7的倍数，另一个是11的倍数，那么两个数中较大的一个是 。
11．要使6位数15□□□6能够被36整除而且所得的商最大，□□□内应填 ．
12．从0、1、4、5、6五个数字中，选四个数字组成一个能同时被2、3、5整除的最小四位数是
13．有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位忘记了，但是这个六位数能被11和13整除，那么这个号码是 。
14．有一个自然数，若能被3整除，能被5整除，能被7整除，则在中满足上述条件的有 个。
15．两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除， ．
16．如果各位数字都是1的某个整数能被3333333整除，那么该整数中1的个数最少有 个．
三．解答题
17．有一类四位数，每一个四位数都能被11整除，并且每一个四位数的各位数字之和都是20，则这类数中，最小的数是多少？
18．试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答是“能”，则只要举出一种排法；如果回答是“不能”，则需给出说明。
19．有7袋米，它们的重量分别是 12、15、17、20、22、24、26公斤．甲先取走一袋，剩下的由乙、丙、丁取走．已知乙和丙取走的重量恰好一样多，而且都是丁取走重量的2倍．那么甲先取走的那一袋的重量是多少公斤？
20．在的自然数中，能被2整除或者被5整除的数一共有多少个？
21．是一个可被66整除的六位数，求的值．
22．某数能被 10、12、15 整除，且所得的三个商数总和是1365，求此数．
23．1，2，3，4，5，6每一个使用一次组成一个六位数，使得三位数，，，能依次被4，5，3，11整除．求这个六位数．
24．在六位数372□1□的两个方框中分别填入数字，使得这个六位数既是5的倍数也是3的倍数，这个六位数可能是多少？用你喜欢的方式表达你的思考过程．
25．某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？
26．用分别写有数字1、3、7、8的四张卡片可以排出24个不同的四位数，其中可以被22整除的四位数有几个？各是多少？
27．从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？
28．从自然数1，2，3，，2015中，取出个数，所取的数中任意三个数之和能被15整除。求的最大值。
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【答案】
【分析】2、3、8的最小公倍数是24，所以这些书号都是24的倍数．小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，所以这个图书馆里至少有，所以至少384本书，据此解答即可．
【解答】解：2、3、8的最小公倍数是24，所以这些书号都是24的倍数
（本
故选：。
【点评】本题的关键是求出2、3、8的最小公倍数是24．
2．【答案】
【分析】用十进制表示出结果，提公因式分组分解，找出公有的因数，再进一步分解质因数即可求得问题的答案．
【解答】解：、，
，
，
，
此数一定能被11整除，但不一定能被3整除；
、，
，
，
，
因为，
所以此数一定能被3整除；
、，
，
，
此数不一定能被3整除．
方法、，无法确定是否能被3整除；
、，能够确定一定能被3整除；
、各个数位的数字和是，无法确定是否能被3整除。
故选：。
【点评】此题主要考查利用十进制、分组分解因式以及分解质因数研究数的整除性．
3．【答案】
【分析】个位上的数字是0，能被5整除，不管是比10小的哪个自然数，的和一定是3的倍数，所以也一定能被3整除，所以选．
【解答】解：，
能被5整除，
的和一定是3的倍数，
也一定能被3整除，
故选：．
【点评】此题主要考查能被3、5整除的数的特征，一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除，一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．
4．【答案】
【分析】先求出能被3整除的数的整数个数，所有3的倍数，去掉15的倍数即是3的倍数又是5的倍数，即可求出是3的倍数但不是5的倍数的数个数：
1至2000这些整数，是3的倍数的共有666个．，
又是3的倍数又是5的倍数那么就是15的倍数．，
个．
【解答】解：，
从1到2000共2000个整数中，是3的倍数的共有666个
，
15的倍数有133个，
是3的倍数但不是5的倍数的数个数
（个，
故选：。
【点评】解决此题关键是先求出能被3整除的数的个数，能被15整除的数的个数，进一步得解．
5．【分析】先找出能被4、5整除的数和能被3整除的数的特征，综合以上数的特征并根据这个数值尽可能小，再确定此数．
【解答】解：能被4、5整除，这个数的个位上一定是0，
能被4整除的数，末尾两位能被4整除，因此十位上一定是偶数，
能被3整除的数，各位上数字的和能被3整除，，最少差2就能被3整除，
所以这个数最小是121020，．
故选：．
【点评】此题考查数的整除特征及其运用，明确：能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除；能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除；能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除．
6．【答案】
【分析】这个六位数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管是比10小的哪个自然数，的和一定是3的倍数，所以一定能被3整除，所以选
【解答】解：，
能被2和5整除，
的和一定是3的倍数，
也一定能被3整除，
故选：。
【点评】此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．
7．【分析】根据偶数与奇数的定义可知，如果它们的和的是偶数则除以2的商为整数，如果它们的和为奇数，则它们数和除以2的商不为整数，因此完成本题要根据，，的奇偶性的不同情况来判断它们数和的奇偶性，从而得出它们的数和除以2时，商是否是整数．
【解答】解：当，，都为偶数时，则，，的和为偶数，
那么，， 都为整数；
当，，都为奇数时，则，，的和为偶数，
那么，， 都为整数；
当，，中有一个偶数，两个奇数时，，，的和中有两个为奇数，一个为偶数，
那么，， 只有一个为整数；
当，，中有一个奇数，两个偶数时，，，的和中有两个为奇数，一个为偶数，
那么，，只有一个为整数；
所以，如果，，是三个任意整数，那么，， 中至少有一个为整数．
故选：．
【点评】完成本题要在了解数和的奇偶性的基础上完成：偶数偶数偶数，奇数奇数偶数，偶数奇数奇数．
8．【答案】
【分析】等式左边55779是3的倍数，那么的积也应该是3的倍数；据此选择即可。
【解答】解：632254965是3的倍数，
632244965不是3的倍数，
632234965不是3的倍数，
632213965不是3的倍数，
所以只有632254965是正确的。
故选：。
【点评】解答此题通过发现55779是3的倍数，根据能被3整除的特征判断。
二．填空题（共8小题）
9．
【分析】因为5、2、9的最小公倍数是90，所以这个六位数能被90整除，则这个六位数的个位数字是0，再根据能被9整除的特征：各个数位上的数字之和能被9整除可知，最高位上的数字应该是2，据此即可解答问题．
【解答】解：，2，，这个六位数应能被90整除，所以个位是0，十万位是2．
所以这个六位数是219960．
故答案为：219960．
【点评】此题主要考查整除的意义，及根据整除的意义和数的整除的特征解决有关的问题．
10．【答案】56。
【分析】把100写成7与一个数的乘积加上11与一个数的乘积的和，即，由此求出两个自然数，然后进行比较。
【解答】解：因为
所以这两个数中较大的一个数是56。
古答案为：56。
【点评】关键是把100进行裂项，即写为：。
11．【分析】要使6位数15□□□6能够被36整除而且所得的商最大，千位上也要最大，再根据能被4整除的数的特征确定十位数字，再根据能被9整除的数的特征确定百位数．
【解答】解：为使商最大，则被除数也应最大，故千位上可填入9；又被除数是4的倍数，故十位应填入1，3，5，7，9．此时对应的百位数应填入5，3，1，8，6．故三个方柜中的数为987．
故答案为：987．
【点评】本题主要考查数的整除特征，熟练掌握能被4和9整除的数的特征是解答本题的关键．
12．【分析】根据2、3、5的倍数的特征可知：能同时被2、3、5整除的数的特征是：个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数．据此解答．
【解答】解：要先满足个位上是0，要使这个四位数最小，就要选取另外4个数中较小的3个数，因为，，10和11都不是3的倍数，所以只有符合要求；
所以这个最小的四位数是1560．
故答案为：1560．
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征．注意个位上是0的数同时是2和5的倍数．
13．【答案】285714。
【分析】先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商是1997.90209，将小数去掉，在整数上加1，（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得出答案。
【解答】解：先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209；
然后将小数去掉，在整数上加1（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得285714。
答：这个号码是285714。
故答案为：285714。
【点评】此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700到285799之间。
14．【答案】5。
【分析】由题意可知：该数能被3整除，加1能被5整除，加2能被7整除，根据剩余定理，这些数字之差一定是，5，的倍数，由此列举即可。
【解答】解：该数能被3整除，加1能别5整除，加2能被7整除，根据剩余定理，这些数字之差一定是，5，的倍数；该自然数在中的有：54、159、264、369、474，共5个。
故答案为：5。
【点评】此题属于数的整除特征，明确这些数字之差一定是，5，的倍数，是解答此题的关键。
15．【分析】，所以两个四位数和的乘积能被8和9整除，是奇数，所以只能能被8整除，最大为1238，，所以，则；又因为，8不能被9整除，所以只能能被9整除，然后根据能被9整除的数的特征，进一步解答即可．
【解答】解：，所以两个四位数和的乘积能被8和9整除，
是奇数，所以只能能被8整除，最大为1238，
所以，则；
又因为，8不能被9整除，所以只能能被9整除，
，所以6需要再加上3，才能被9整除，即3123被9整除，那么；
所以，；
答：．
故答案为：5．
【点评】了解能被8、9整除数的特征是完成本题的关键．
（1）能被9整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被9整除，那么它必能被9整除．
（2）能被8整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8整除，那么它必能被8整除．
16．【分析】先把3333333分解质因数，然后再根据能被7、3整除的数的特征推算即可．
【解答】解：．
因为要被1111111这个七位数整除，所以这个整数中1的个数应是7的整数倍．又要被3整除，各个数字之和一定是3的整数倍，由于各位数字都是1，
故数字1的个数应是3的整数倍，
因此，这个整数中1的个数，是7与3的公倍数，最小是．
这个整数中1的个数最少有21个．
故答案为：21．
【点评】本题考查了能被7、3整除的数的特征的灵活应用．
三．解答题
17．【答案】则这类数中，最小的数是1199。
【分析】能被11整除的数的特征：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
【解答】解：假设它的奇数位数字之和为，则偶数位数字之和是，被11整除则奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除；
当符合条件；
此时，即百位和个位的和为10，十位上和千位数的和为10；
要使得这个数最小，千位上是1，十位上是9，百位数是1，个位数是9；
所以最小是1199。
答：则这类数中，最小的数是1199。
【点评】学生需熟记能被11整除的数的特征。
18．【答案】不能。
【分析】根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能。
【解答】解：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，
按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，
其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数。
从而一共会有不少于40个数是3的倍数。但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数；
导致矛盾，所以不能。
答：不能。
【点评】此题主要考查的是在1至100的100个自然数中能被3整除的有多少。
19．【分析】因为乙和丙买走的重量一样多，且都是丁的2倍，所以乙丙丁三人买走的重量是丁的5倍；而7袋大米的总重量是千克，从136千克里减去5的倍数，剩下的就是甲买走的重量．反过来说，从136千克里减去甲买走的那一袋大米的重量，剩下的重量一定是5的倍数，要使136减去一个数后和得数能被5整除，这个数的个位数字一定是1或者6，而这7袋大米的重量中只有26的个位是6，因此甲买走的那一袋大米的重量是26千克
【解答】解：由于剩下的由乙、丙、丁三人买走，乙和丙买走的重量恰好相等，都是丁的2倍，
即乙，丙，丁三人买走的重量比为，
所以，甲买走一袋后剩下的重量应是的倍数．
而总重量为：千克，
从136中减去一个数后和得数能被5整除，则这个这个数的个位数字一定是1或者6，
这7袋大米的重量中只有26的个位是6，
所以，甲买走的那一袋大米的重量是26千克．
答：甲买走的那一袋大米的重量是26千克．
【点评】根据条件得出甲买走一袋后剩下的重量是5的倍数是完成本题的关键．
20．【分析】在1至200这200个自然数中，能被2整除的数有个；能被5整除的数有个，又既能被2整除又能5整除的自然数则能被整除，即共有个．根据容斥原理可知，能被2或5整除的自然数一共有个．
【解答】解：能被2整除的数有个；
能被5整除的数有个；
又既能被2整除又能5整除的自然数则能被整除，即共有个．
所以能被2或5整除的自然数一共有个．
答：能被2整除或者被5整除的数一共有120个．
【点评】分别求出在1至200这200个自然数中，能被2或5整除的自然数各有多少个是完成本题的关键．
21．
【分析】把66分解质因数得，能被66整除，也能被2、3、11整除．能被11整除数的特征是：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括，那么，原来这个数就一定能被11整除．由此推知；
能被3整除数的特征是：各位数字的和都能被3整除．由此推知，能被3整除，即，能被3整除，则或4或7；
能被2整除数的特征是：个位数为偶数．由此推知．则，．
【解答】解：把66分解质因数得，能被66整除，也能被2、3、11整除．
由能被11整除，推知；
由能被3整除，推知，能被3整除，则或4或7；
由能被2整除，推知．则；
所以．
答：的值为8．
【点评】本题的关键是把66分解质因数后，准确理解被2、3、11整除数的特征．
22．
【分析】首先根据题意，这个数能被 10、12、15 整除，判断出这个数是10、12、15的公倍数，然后求出10、12、15的最小公倍数，设出所求的数，根据三个商的总和是1365解答即可．
【解答】解：根据题意，这个数能被 10、12、15 整除，所以这个数是10、12、15的公倍数．
因为10、12、15的最小公倍数是60，所以可设这个数为，
则，，，可得三个商的总和是：，解得，所以这个数为．
答：此数为5460．
【点评】此题考查了学生数的整除特征以及最小公倍数的掌握情况；根据题意，这个数能被 10、12、15 整除，判断出这个数是10、12、15的公倍数是解答本题的关键．
23．
【分析】偶数中4的倍数，后两位能被4整除、能被3整除的数各个数位和为3的倍数、能被11整除的数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数、能被5整除的数末位数为0或5，由此特点解答即可．
【解答】解：根据整除的特点可得：，或，，，4，，
又、、、、、只能取1到6的数，
由，，
可得：，，
又，只能取或，
则，
又，
可得：，
所以代入可得：，，，，，．
则这个数是数是324561．
【点评】本题主要考查了数的整除特征，难度较大，主要是要掌握能被4，5，3，11整除数的特征，然后结合这6个数的取值范围进行分析即可．
24．【分析】个位上是0或5的数就是5的倍数，所以分两种情况考虑，再根据各位数字之和是3的倍数的数就是3的倍数这一特征再填前面一空．
【解答】解：
当个位是0时，□□，当这个□中填2、5、8的时候这个六位数是3的倍数，因此符合条件的数有：372210、372510、372810；
当个位是5时，□□，当这个□中填0、3、6、9的时候这个六位数是3的倍数，因此符合条件的数有：372015、372315、372615、372915．
答：这个六位数可能是372210、372510、372810、372015、372315、372615、372915．
【点评】此题在列举的时候要注意有条理地分析，做到不重复无遗漏．
25．
【分析】能被2和5整除个位为0，能被9整除所有数字之和可以被9整除，故十位，百位上的数字之和为5或14，故后三位可能形式为050，140，230，320，410，500，590，680，770，860，950，能被4整除的后三位数也能被4整除，能被8整除的，后三位必能被8整除，可排除其它，只剩下320，680，再考虑能被7整除，验证只有320满足条件．
【解答】解：能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除的数是1993320，即它的最后三位数是320；
答：它的最后三位数是320．
【点评】本题是考查能被2、3、4、5、6、7、8、9整除的数的特征．关键是根据能被2、5的数据特征确定个位，再根据能被9整除的数的特征确定十位和百位上的数，再用排除法排除不符合条件的．
26．【分析】，即这样的四位数要能同时被2、11整除，个位是偶数的数都能被2整数，能被11整除数的特征为：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括，那么，原来这个数就一定能被11整除．据此可知，由1、3、7、8组成的能被22整除的数个位数必须是8，又，所以这样的数有两个：1738，3718．
【解答】解：，即这样的四位数要能同时被2、11整除．
根据能被2，11整除数的特征可知，由1、3、7、8组成的能被22整除的数个位数必须是8，
奇位上的数字和与偶位上的数字和相减的差能被11整除，
，
所以这样的数有两个即：1738，3718．
答：其中可以被22整除的四位数有2个，分别是1738，3718．
【点评】了解能被2、11整除数的特征是完成本题的关键．
27．【分析】设，，，是所取出的数中的任意4个数，
则，
，
其中，是自然数．
于是．
说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同．
设这个余数为，则：
，
，
，其中，，是整数．于是．因为18能被整除，所以18能被整除，即6能被整除，推知，6，12．
因为，
所以，从1，2，，1000中可取6，24，42，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除．
故最多可取出56个数，使得所取出数中任三个数之和能被18整除．
【解答】解：设，，，是所取出的数中的任意4个数，
则，
，
其中，是自然数．
于是．
说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同．
设这个余数为，则：
设这个余数为，则：，
，
，其中，，是整数．于是．因为18能被整除，所以18能被整除，即6能被整除，推知，6，12．
因为，
所以，从1，2，，1000中可取6，24，42，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除．
故最多可取出56个数，使得所取出数中任三个数之和能被18整除．
【点评】本题主要考查能被18整除数的特征．
28．【答案】135。
【分析】设、、、是所取出的任意四个数。由题意有，，其中，、为正整数。所以，，上式表明，所取出的数中任意两数之差是15的倍数，即所取的每个数除以15所得的余数相同。设这个余数为。于是，，。其中，、、是整数，，则因为能被15整除，所以，能被15整除，即能被5整除。因此，，5或10。当时，可取15，共134个数，符合题意；当时，可取5、20，共135个数，符合题意；当时，可取10，25，、2005共134个数，符合题意。综上可知，最大值是135。
【解答】解：经分析可知：
当选取：5、20，时，所取的数中任意三个数之和能被15整除。
一共有。
的最大值为135。
【点评】本题考查数的整除特征。分类讨论解决即可。