（模块化思维提升）专题5-环形跑道问题-小升初数学思维拓展行程问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题5-环形跑道问题-小升初数学思维拓展行程问题专项训练（通用版），共15页。试卷主要包含了环形跑道问题，解题方法等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、环形跑道问题。
从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．
环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长．
2、解题方法。
（1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差
（2）简单题利用公式
（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差。
【典例一】甲，乙，丙三个同学绕圆形跑道赛跑，甲跑完一圈用1分钟，乙跑完一圈要1分30秒，丙跑完一圈要1分15秒，现三人同时从同地出发多少分钟后三人又同时回到出发地？他们再次相遇时各跑了几圈？
【分析】甲跑1圈要1分钟即60秒，乙跑1圈要1分30秒即90秒，丙跑1圈要1分15秒即75秒，当三人跑到各跑一周所用时间的最小公倍数的时间时，三人就会从起点出发后第一次在起点汇合．用三人跑到各跑一周所用时间的最小公倍数的时间除以三人跑到各跑一周所用时间，即可得他们再次相遇时各跑了几圈．
【解答】解：1分钟秒，1分15秒秒，1分30秒秒，
，
，
．
所以60，75，90的最小公倍数为：．
900秒分钟．
即至少经过15分钟三人又在原出发点汇合．
（圈，
（圈，
（圈，
答：现三人同时从同地出发15分钟后三人又同时回到出发地，他们再次相遇时甲跑了15圈，乙跑了10圈，丙跑了12圈．
【典例二】小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过40秒两人相遇，跑道的周长是多少米？
【分析】直接根据数量关系式：路程速度和相遇的时间，列式解答即可．
【解答】解：
（米；
答：跑道的周长是400米．
【典例三】如图所示为含有一端直路和一圈组成的封闭环形路，有甲、乙两辆汽车同时从点同向出发（走到圆形环路后，都按逆时针方向走），连续行驶．、长5千米，圆周长30千米，每辆汽车总是沿（转圆周走）走，已知甲车速度是乙车速度的，求甲、乙两车第一次迎面相遇的位置与点的距离．
【分析】因为走到圆形环路后，都按逆时针方向走，所以甲、乙两车第一次迎面相遇的地方应该在之间，走一个全程应该为千米，由于已知甲车速度是乙车速度的，所以乙车走一个全程，甲车走个全程，乙车走2个全程，甲车走个全程，乙车走3个全程，甲车走个全程，即将相遇，即相遇时应该共同走个全程，据此列式解答即可．
【解答】解：
（千米）
（千米）
答：甲、乙两车第一次迎面相遇的位置在之间，到点的距离为千米．
一．选择题（共3小题）
1．小红和爷爷在圆形街心花园散步。小红走一圈需要6分，爷爷需要8分。如果两人同时同地出发，相背而行，12分时两人的位置如下面 图。
A．B．C．D．
2．小强和爷爷一起在圆形跑道上散步，小强走一圈要6分钟，爷爷走一圈要8分钟。照这样计算，如果两人同时从同地相背而行，第12分钟，右面 图，能正确表示两人现在的位置。
A．B．C．
3．甲和乙同时从点背向出发沿400米环行跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米．那么，这两人最少用 分钟再会在点相遇．
A．8B．5C．40D．80
二．填空题（共13小题）
4．有一个200米的环形跑道，甲、乙两个人同时从同一个地点同方向出发．甲以每分钟46米的速度步行，乙以每分钟146米的速度跑步．则乙第二次追上甲用了 分钟．
5．一个圆形池塘如图，老鼠在池塘中心即圆心处，猫在岸上点处。现老鼠在点沿着半径向点逃跑，同时，猫从点沿着箭头方向追。已知猫的速度5米秒，老鼠的速度1.5米秒，那么 会先到达点。
6．如图，等边三角形的边长为100米，甲自点，乙自点同时出发，按顺时针方向沿着三角形的边行进．甲每分钟走60米，乙每分钟走90米，在过每个顶点时各人都因转弯而耽误10秒钟，那么乙在出发 秒之后追上甲．
7．如图，某公园墙外的小路形成一个规则的正方形，甲、乙两人分别从正方形的顶点、出发，沿逆时针方向紧贴围墙绕小路匀速行走，已知甲、乙绕围墙行走一圈各需要30分钟、60分钟，甲、乙同时出发，乙出发最少用 分钟刚好和甲在同一条边上．
8．在圆形路线上，小明从点，小强从点同时出发，反向而行．6分钟后，小明和小强相遇，再过4分钟，小明到达点．又再过8分钟，又与小强再次相遇．问：小明环行一周要 分钟．
9．正方形操场四周栽了一些树，顶点处的树为每条边上的第1棵树．甲乙二人同时从一个顶点出发，向不同的方向走去（如图），甲的速度是乙的2倍，乙在拐了第一弯之后的第6棵树处与甲相遇．操场四周一共栽了 棵树．
10．作为晚间体育活动，我绕着街区散步一圈，我妹妹沿着同一方向同一路线跑了几圈．我们同时出家门也同时进家门．在这中间，我妹妹超过我两次，如果她沿着相反方向绕着街区跑，而且我们两个人都保持原来的速度．她会从我身旁跑过 次．
11．小丽和小明一起练习慢跑，路线是如图所示的一个公共点的两个圆形跑道．大圆的直径为48米，小圆的直径为30米，小丽跑小圆形跑道，小明跑大圆形跑道．某天，他们俩同时由地出发，以相同的速度慢跑，当小丽跑 圈时，两个人相距最远．
12．一条圆形跑道，长400米，甲、乙从同一地点同时反向而行，甲的速度是90米分，乙的速度是60米分，运动20分钟的时候，两人相遇了 次。
13．甲、乙、丙三人沿着长为500米、宽为250米的长方形场地跑步，三人以的速度之比匀速顺时针跑步。当甲进入场地时乙已跑完圈，丙到场地时已落后甲100米。问当乙跑完2圈时，甲与丙的位置关系 。
14．小李在北江中学的400米环形跑道上跑了一圈，已知他开始跑得较快，后来较慢，在前一半时间里每秒跑6米，后一半时间里每秒4米，那么，小李在后一半时间里一共跑了 米．
15．甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，相向而行，每隔24秒相遇一次，已知甲跑完一圈用40秒；如果他们同向而行，每隔 秒钟相遇一次．
16．，，三人环湖跑步，从同一个地点出发，，同一个方向跑，向另一个方向跑，的速度为5.4千米时，的速度为4.2千米时，出发之后半小时，，相遇，又过5分钟，相遇，环湖一周的路程是 ．
三．解答题
17．甲、乙两人在400米的环形跑道上跑步．两人同时同地出发朝相反的方向跑．第一次相遇后．经过2分钟两人第二次相遇，已知甲平均每分钟跑105米．乙平均每分钟跑多少米？
18．小华和小明沿着400米的环形跑道跑步，小华的速度是220米分，小明的速度是180米分。
（1）如果他们同时从同一地点出发，同向而行，那么几分钟后小华第一次追上小明？
（2）如果他们同时从同一地点出发，反向而行，那么几分钟后两人第一次相遇？
19．甲、乙两人在环形跑道上赛跑，跑道全长400米．如果甲的速度为4米秒，乙的速度为2米秒．两人同时同地同向而行，那么第一次相遇时，甲、乙各跑了多少米？
20．李芳和张明从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边相向而行，10分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张明每分钟走85米．这个圆形场地的直径是多少米？它的占地面积是多少公顷？
21．某小学环形跑道长400米，小明平均每秒跑8米，小军平均每秒跑5米，现在两人同时从起点出发，多长时间后两人在起点相遇？
22．甲乙二人同时沿着一个圆形跑道向相反的方向走（甲快乙慢），乙每分钟走75米，经过12分钟后在离中点60米处两个人相遇，这条跑道长多少米？
23．甲乙两位同学在学校环形跑道上跑步，两人在同一地点往相反方向跑，甲每分钟跑52米，乙每分钟跑48米，4分钟后两人第一次相遇，学校环形跑道是多少米？
24．小军和小强每天坚持跑步，小军每秒跑6米，小强每秒跑4米．
（1）如果他们从200米跑道的两端同时出发，相向而行，几秒两人相遇？
（2）如果他们从400米环形跑道的同一地点沿逆时针方向同时出发，多少时间后小军比小强整整多跑2圈？
25．甲、乙二人在400米的圆形跑道上进行10000米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为8米秒，乙的速度为6米秒，当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加0.5米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距离终点多少米？
26．两人在环形跑道上从同一地点同方向同时起跑，甲跑一圈要15分钟，乙跑一圈要21分钟，至少几分钟后他们又在起跑点相遇？
27．某市体育中心有一条环绕体育中心的小路，小路长．小玥和小婷同时同地沿小路反向而行，小玥每分走，小婷每分走，经过多长时间两人相遇？
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【答案】【分析】把圆形街心花园的周长看作单位“1”，小红走一圈需要6分钟，平均每分钟走圈，爷爷走一圈需要8分钟，平均每分钟走圈，根据速度和时间总路程，据此求出12分钟时两人走了多少圈，进而确定两人的位置，据此解答。
【解答】解：
（圈
因为两人12分钟走了3圈半，所以两人相距半圈的距离。
由此可以确定两人的位置在图象的位置。故选：。
2．【答案】
【分析】把圆形跑道的周长看作单位“1”，小红走一圈需要6分钟，平均每分钟走圈，爷爷走一圈需要8分钟，平均每分钟走圈，根据速度和时间总路程，据此求出12分钟时两人走了多少圈，进而确定两人的位置，据此解答。
【解答】解：
（圈
因为两人12分钟走了3圈半，所以两人相距半圈的距离。
由此可以确定两人的位置在图象的位置。故选：。
3．【分析】这个题属于背向而行的环形运动问题，要求在原出发点的点相遇，我们可以这样思考，甲从点出发，再次回到点，所需要的时间为分钟，每次回到点所需要的时间为5的倍数．同理，乙每次回到点所需要的时间为的倍数，两人同时从点出发，再次同时回到点所需要的最少的时间为5和8的最小公倍数40．
【解答】解：①甲回到点需要：
（分；
②乙回到点需要：
（分；
③两人再在点相遇需要：
（分．
答：两人最少用40分钟会再在点相遇．故选：．
二．填空题（共13小题）
4．【分析】因为甲、乙两人是沿环形跑道同时同地同方向出发，所以当乙第2次追上甲时，乙比甲多跑了2圈，由此求出他们的路程差，再求出它们的速度差，再利用路程速度时间，即可求得结果．
【解答】解：
（分钟）答：乙第二次追上甲用了 4分钟．故答案为：4．
5．【答案】猫。
【分析】根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出圆周长的一半，也就是猫需要跑的距离，老鼠跑的距离就是圆的半径，根据时间路程速度，分别求出各自需要的时间，然后进行比较，用时间少先到达。
【解答】解：设圆形水池的半径为米。
（秒
（秒
答：猫会先到达点。故答案为：猫。
6．【分析】甲的速度米分米秒，乙的速度米分米秒．根据题意可知，乙要追上甲，需要多走100米还要多转一个转弯，但在转弯处还要耽误10秒钟，此时甲又多走出10米，所以甲、乙的距离差为米；由此可知，乙追上甲时共需时间：（秒．
【解答】解：60米分米秒，90米分米秒，
（秒答：乙在出发220秒之后追上甲．故答案为：220．
7．【分析】①当甲从走到处，用的时间：（分（分，可得乙7.5分走在边的中点；②甲从处到处用的时间为：（分（分，可得乙又用7.5分走在边的点；再相加即可求解．
【解答】解：①当甲从走到处，用的时间：
（分
（分
乙7.5分走在边的中点；
②甲从处到处用的时间为：
（分
（分
乙又用7.5分走在边的点； 这时甲与乙都在边上．
③共用时间：（分． 答：乙出发最少用15分钟刚好和甲在同一条边上．故答案为：15．
8．【分析】根据题意，第一次相遇后，小明经过4分钟到达点，也就是小明用4分钟可以走完小强用6分钟走过的路程；从第一次相遇到第二次相遇，所经过的时间是分钟，也就是两人都走了12分钟，那么小明再走小强12分钟的走过的路程就是走了一圈，小强12分钟走过的路小明可以用分钟走完；这时小明走一圈的时间就是分钟．
【解答】解：根据题意可得：小明用4分钟可以走完小强用6分钟走过的路程；
从第一次相遇到第二次相遇，所经过的时间是（分钟）；
小强12分钟走过的路小明走完可以用：（分钟）；
小明环行一周的时间是：（分钟）．
答：小明环行一周要20分钟．故答案为：20．
9．【答案】60。
【分析】由于甲速是乙速的2倍，所以乙在拐了第一弯时，甲正好拐了两个弯，即两个人开始同时沿着最下边走。乙走过了6棵树，也就是走过了5个间隔，所以甲走过了个间隔，即正方形操场一边上的间隔数是，则四周一共有个间隔，根据植树问题中，围成一个封闭的图形植树时，植树棵数间隔数，所以一共栽了60棵树。
【解答】解：根据题干分析可得，四周一共有间隔：
（个
所以一共植树60棵。
答：操场四周一共栽了60棵树。故答案为：60。
10．【分析】根据题意可知，同一方向中相遇了2次，如果两个人都保持原来的速度不变按相反方向绕着街区跑，相遇次数为同方向的2倍．
【解答】解：因为同一方向中相遇了2次，如果两个人都保持原来的速度不变按相反方向绕着街区跑，相遇次数为同方向的2倍；
所以（次；
答：她会从我身旁跑过4次．故答案为：4．
11．【分析】圆内的任意两点，以直径两端点的距离最远．即小丽到点、小明到点时，两个人的距离最远．小圆周长为，大圆周长为，一半为．问题转化为求和的“最小公倍数”问题．
【解答】解：和的最小倍数，即为30与24的最小公倍数再乘以．
，；
则30与24的最小公倍数是：；
，，即小丽在小圆上跑了4圈后，小明在大圆上跑了5个圆周长，即到了点，此时两个人相距最远．
故答案为：4．
12．【答案】7。
【分析】用跑道的总长除以速度和等于1次相遇的时间，20里面有几个相遇时间就相遇几次。
【解答】解：
（次答：运动20分钟的时候，两人相遇了7次。故答案为：7。
13．【答案】丙在甲的前面相距2350米。
【分析】由题意可得，当甲进入场地时乙已跑完圈，就是乙跑了（米，丙到场地时已落后甲100米，根据比例关系可得，此时乙又跑了50米。当乙跑完2圈时，乙跑了米，根据速度比可得甲与丙的所跑的路程，甲与丙的位置关系即可求。
【解答】解：当甲进入场地时乙已跑完圈是：
（米
丙到场地时已落后甲100米，根据比例关系可得，此时乙又跑了50米。
当乙跑完2圈时，乙从处跑起，跑了
（米
根据速度比可得，同样的时间，甲跑了（米
乙跑了（米
此时甲与乙相距（米答：丙在甲的前面相距2350米。故答案为：丙在甲的前面相距2350米。
14．【分析】先求出小李跑一圈所用的时间，再求出他前一半的时间跑的路程和后一半时间跑的路程，即可求出跑后一半路程用的时间．
【解答】解：设小李跑一圈用的时间是秒．


；
小李前40秒跑的路程是：（米，
后40秒跑的路程是：（米，
故答案为：160．
【点评】解答此题的关键是，找出题中的数量关系，根据数量关系，列式解答即可．
15．【分析】每隔24秒相遇一次，也就是说两人每24秒能合跑一圈．甲跑一圈是40秒，那么在24秒的时间里，他能跑圈，也就是说剩下的0.4圈是乙在24秒内跑的，于是乙跑0.4圈需要24秒，跑一圈需要秒，现在他们同向而行，要相遇则必须是甲刚好超过了乙整数圈，设跑道一周的长度为1，则甲每秒跑圈，乙每秒跑圈，根据路程速度差追及时间可知，每隔秒，两人就相遇一次．
【解答】解：设跑道一周的长度为1，
乙跑一圈需要：
，
，
（秒．
则甲每秒跑圈，乙每秒跑圈，
，
（秒．答：如果同向而行，两人每隔120秒相遇一次．
16．【答案】4.2千米。
【分析】因为，与相反方向跑，所以，，相遇及，相遇都是相遇问题，从，相遇到，相遇的5分钟内，，走过的总路程就是出发半小时后，之间的距离，根据速度和时间路程，可以求出的速度，再根据，相遇，路程和速度和时间，可求出路程和，即环湖一周的路程。
【解答】解：半小时小时，5分钟小时
出发半小时后，之间的距离：
（千米）
的速度为：
（千米时）
环湖一周的路程为：
（千米）答：环湖一周的路程是4.2千米。
三．解答题
17．【分析】根据题意，第一次和第二次相隔2分钟，即第一次相遇到第二次相遇，他们相遇时间是2分钟，合走了一圈即400米，用相遇路程除以相遇时间可以求出他们的速度和，然后再减去甲的速度即可．
【解答】解：根据题意可得：
他们的速度和是：（米分）；
乙的速度是：（米秒）．答：乙平均每分钟跑95米．
18．【答案】（1）10分钟；（2）1分钟。
【分析】（1）小华第一次追上小明，也就是比小明多跑一圈，利用路程米）除以速度差求得时间即可。
（2）反向跑步，第一次相遇，两个人所行的路程就是400米，然后再除以速度和即可。
【解答】解：（1）
（分钟）
答：10分钟后小华第一次追上小明。
（2）
（分钟）答：1分钟后两人第一次相遇。
19．【分析】甲的速度为4米秒，乙的速度为2米秒，则甲每秒比乙多跑米，又两人同时同地同向而行，那么第一次相遇时，甲正好比乙多跑了一周即400米，则需要时间为秒，然后用相遇时所需时间分别乘两人速度即得各跑了多少米．
【解答】解：
（秒
（米
（米答：甲跑了800米，乙跑了400米．
20．【分析】两人的速度和是每分钟米，同一地点出发，沿着场地的边相向而行，10分钟后两人相遇，则圆形场地的周长是米，圆的直径周长，则这个场地的直径是，进而求出半径后，根据圆的面积计算即可．
【解答】解：
（米
（平方米）196250平方米公顷答：这个圆形场地的直径是500米；它的占地面积是19.625公顷．
21．【分析】小明跑一圈的时间是秒，小军跑一圈的时间是秒，所以小明每隔50秒回到起点一次，小军每隔80秒回到起点一次，两人下次相遇的时间即是50与80的最小公倍数，据此解答即可．
【解答】解：（秒
（秒
两人下次相遇的时间即是50与80的最小公倍数，
50和80的最小公倍数是400．
答：400秒后两人在起点相遇．
22．【分析】两人相遇时，一共走了一圈，用乙每分钟走的路程乘上12分钟，求出相遇时乙走了多少米；两人在离中点60米处相遇，由于甲比乙快，那么相遇时甲比乙就多走了两个60米，用乙走的路程加上2个60米，即可求出甲走的路程，再把甲乙走的路程相加即可求出这条跑道长多少米．
【解答】解：（米
（米
答：这条跑道长1920米．
23．【分析】两人相遇时，共行了一周，根据速度和相遇时间共行路程可知，这个学校环形跑道是千米．
【解答】解：
，
（米．
答：学校环形跑道是400米．
24．【分析】（1）小军每秒跑6米，小强每秒跑4米，先求出两人的速度和，再依据时间路程速度即可解答；
（2）可知两人速度差为每秒2米，路程差为米，根据关系式：路程差速度差追及时间，解决问题．
【解答】解：（1）
（秒
答：20秒钟后两人相遇．
（2）
（秒
答：400秒钟后小军比小强整整多跑2圈．
【点评】本题主要考查学生依据速度，时间以及路程之间数量关系解决问题的能力．
25．【分析】要求领先者到达终点时，另一人距终点多少米，应先求得另一人已经跑了多少米，再求领先者到达终点时的时间和另一人此时的速度，要求领先者到终点的时间，应求出他距终点的路程和此时的速度，再依据数量关系即可列式计算．
【解答】解：甲追乙1圈时，甲跑了：
（米
此时甲、乙的速度分别变为米秒和米秒；
甲追上乙2圈时，甲跑了：
（米
此时甲、乙的速度分别变为米秒和米秒，这时乙快甲慢；
乙第一次追上甲时，甲跑了：
（米
乙跑了：（米
此时，甲、乙的速度分别变为米秒和米秒；
乙跑到终点还需：
（秒
乙到达终点时，甲距终点：
（米．
答：领先者到达终点时，另一人距终点米．
26．【分析】此题关键是起点再起点相遇，实际上是求15与21的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即15和21这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
【解答】解：因为：，
，
所以15和21的最小公倍数是：；
答：至少105分钟后他们又在起跑点相遇．
27．【分析】两人在环形的道路上反向行走，两人相遇时走的路程就是这条环形小路的长度，用小路的长度除以速度和，即可求出相遇时间．
【解答】解：
（分
答：经过30分两人相遇．
【点评】解决本题关键是明确两人的路程和就是小路的长度，再根据相遇时间总路程速度和求解．