（模块化思维提升）专题4-等积变形（位移、割补）-小升初数学思维拓展几何图形专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题4-等积变形（位移、割补）-小升初数学思维拓展几何图形专项训练（通用版），共18页。试卷主要包含了等积变形的主要方法等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、等积变形的主要方法：
（1）三角形内等底等高的三角形；
（2）平行线内等底等高的三角形；
（3）公共部分的传递性；
（4）极值原理（变与不变）。
【典例一】如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．求小路的占地面积？
【分析】无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分14×2，横的部分20×2，计算重叠2×2，则小路面积为（20+14）×2-2×2=64（平方米）．
【解答】解：小路面积为：（20+14）×2-2×2=64（平方米），
答：小路的占地面积64平方米．
【点评】利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横的长方形和重叠的小正方形，进而解答．
【典例二】如图，五边形是一片荒地的示意图，陈家承包后想将其中的小路改成直路，然后在直路，然后在直路两旁分别种植不同的蔬菜，并使改道前后路两旁的面积，保持不变，请你左图中画出这条直路．（图中体现画法
【分析】利用尺规作图做，如图
根据两条平行线之间的垂线段相等和同底等高的三角形的面积相等，可得，由此作图即可．
【解答】解：画法如图所示，连接，
过点作，
交于点，
连接，
即为所求直路的位置．
【典例三】和都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向注水，求
（1）2分钟容器中的水有多高？
（2）3分钟时容器中的水有多高．
【分析】已知容器的底面半径是容器的2倍，高相等，容器的容积就是容器的4倍；因此，单独注满容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后中的水位是容器高的一半，即（厘米）（其余的水流到容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度．
【解答】解：（1）容器的容积是：（立方厘米），
容器的容积是：（立方厘米），
，
即容器的容积是容器容积的4倍，
因为一水龙头单独向注水，一分钟可注满，
所以要注满容器需要4分钟，
因此注满、两个容器需要（分钟），
已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，
2分钟后中的水位是容器高的一半，即（厘米）；
（2）因为注满、两个容器需要（分钟），
所以（分钟）时，、容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米，
2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的，
3分钟后，实际上（分钟）水位是同时上升的，
，
（厘米），
（厘米）；
答：2分钟时，容器中的高度是6厘米，3分钟时，容器中水的高度是7.2厘米．
一．选择题（共4小题）
1．我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积，其原理是：把一个图形分割、移补，而面积保持不变。下面没有用到这个原理的是
A．B．
C．D．
2．一个圆柱形橡皮泥，底面积是，高是，如果把它捏成同样底面积大小的圆锥，这个圆锥的高是 ．
A．2B．3C．18D．36
3．轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成内径（内侧直径）为10厘米，外径（外侧直径）为30厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的长是
A．4.25厘米B．5厘米C．4厘米D．4.5厘米
4．如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是，圆的周长是 ．
A．18.84B．75.36C．37.68
二．填空题（共10小题）
5．如图，为正六边形，为其内部任意一点，若、的面积分别为3和12，则正六边形的面积是 ．
6．一个圆柱铅块和一个圆锥铅块等底等高，它们可以熔铸成一个长8厘米、宽3厘米、厚2厘米的长方体，那么圆柱的体积是 立方厘米，它们的体积相差 立方厘米．
7．（如图）运用了数学思想方法是 ，你还知道哪些数学思想方法？再列举一个 。
8．把一个底面半径2厘米、高1.5厘米的圆柱形钢锭，铸成底面积大小不变的圆锥形钢锭，圆柱的高和圆锥的高的比是 ．
9．用6米、8米、10米、16米、20米、28米分别作为如图的6条边的边长，当这个图形的面积最大时，过点画一条直线把图形分成面积相等的两部分，这条直线与边界的交点为，从点沿边界走到点，较短的路线是 米．
10．图中阴影部分的面积是 ．（图中的三角形是等腰直角三角形，
11．一级台阶的长10米、宽0.8米、高0.5米，从一楼到二楼有12级台阶，二楼到六楼每层有18级台阶，台阶的表面积 平方米．
12．一张长方形铁皮长32厘米，宽10厘米，把它围成一个圆柱体， 做底面周长， 做高，所围成的圆柱体的体积最大．长方形围圆柱体有两种围法，但所围成的圆柱体 没变．
13．如图，大正方形的边长是，小正方形的边长是，那么图中阴影部分的面积是 。
14．用一块正方形玻璃来修补窗户，需要在相邻的两边分别划掉5厘米和2厘米，共划掉298平方厘米，原来正方形玻璃的面积是 平方厘米，剩下部分的面积是 平方厘米．
三．解答题
15．如图四边形中，角和角都是直角，边和边的长度相等，从点到边的垂线段长为10厘米，求四边形的面积．
16．如图1、图2所示，梯形上底长3厘米，下底长6厘米，高为3厘米，为边上任意一点，求阴影部分的面积。
你认为东东的想法怎么样？写出你这样判断的理由。
17．有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米．现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积．
18．如图，不断地将楔形木片分成面积相等的三角形．这时，任意地确定左端最初的三角形后，后面的尺寸自然地就确定了．设下侧的边为①、②、③，等等，问：
（1）如果①号边长为，从第几号边开始长度将变到以下？
（2）此时的边长是多少？
19．有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体一共能锯多少个？这些小正方体表面积和是多少？
20．如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29厘米的黄色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形．红、黄两张三角形纸片面积之和是多少？
21．如图所示的多边形是由一个三角形和三个长方形组成的．已知三个长方形的面积分别是12平方厘米、4平方厘米和6平方厘米．三角形面积是多少平方厘米？
22．给一个直角楼梯铺地毯，如图所示（图中阴影处不铺），至少需要多少平方米的地毯？（单位：米）
23．把高5厘米的圆柱底面分成若干等份，把圆柱切开拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱增加20平方厘米．求原来圆柱的体积．
24．有两个高度相等的容器和，已知容器半径是6厘米，容器的半径是8厘米，现在把容器装满水，然后全部倒入容器中，测得容器中的水深比容器高的低了3厘米．求、两个容器的高是多少厘米？
25．有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米．把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数）
26．把长为1.2米长的圆柱形钢材按的比例截成三段底面都相同的小圆柱，所得三段小圆柱的表面积之和比原来增加了56平方厘米，设这三段小圆柱钢中，最长一段小圆柱的体积为立方厘米，最短一段小圆柱的体积为立方厘米，求．
27．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到△，，，，．
（1）求线段、所扫过的图形的面积；（结果保留
（2）画出线段所扫过的图形并用阴影表示出来，然后求出阴影部分的面积．（结果保留
28．把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
29．开发商准备在一块地面上盖商品房，这块长方形地形情况如图，甲处比乙处高50厘米．现在要把这块地推平整，要从甲处取下多少厘米厚的土填在乙处上？
30．一块如图所示的长方形地，已知甲地比乙地高50厘米，现在想把这块地推平整，要从甲地推下多少厘米厚的土填在乙地上？
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【答案】
【分析】根据题意，我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理来计算平面图形的面积，根据数学常识即可完成判断。
【解答】解：观察图形可知，不是根据“出入相补”原理来推导的。
故选：。
2．【分析】根据题意可知，圆柱形橡皮泥捏成圆锥形后，体积不变，根据，所以先求出橡皮泥的体积，然后根据就能求出圆锥的高．
【解答】解：
（厘米）
答：这个圆锥的高是18厘米．故选：．
3．【分析】根据圆柱的体积底面积高求出圆柱形钢锭的体积，轧制成无缝钢管，体积不变，无缝钢管的底面是环形，根据环形的计算公式求出底面积，然后用体积除以底面积即可．
【解答】解：1米厘米
（厘米）
（厘米）
（厘米）
（厘米）
答：这种无缝钢管的长是4.5厘米．故选：．
4．【分析】求圆的周长，需要求出圆的半径；由图形可知长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径；因为已知圆的面积和长方形面积相等，又由已知阴影部分的面积是，可求长方形的面积，即可求出圆的半径，据此解答即可．
【解答】解：
；
，
．答：圆的周长是．
二．填空题（共10小题）
5．【分析】假设到 的距离为，到 的距离为，到的距离为，则．再假设正六边形边长为，中心到各边的距离为，则；然后利用面积公式可得出的面积的面积和，再与正六边形比较，得出正六边形的面积是的面积的面积和的三倍，从而得出答案．
【解答】解：假设到 的距离为，到 的距离为，到的距离为，则．再假设正六边形边长为，中心到各边的距离为，则；
的面积的面积
，
正六边形的面积，
所以正六边形的面积的面积的面积）
；
答：正六边形的面积是45，故答案为：45．
6．【分析】根据题意，长方体的体积就是圆柱铅块和圆锥铅块的总体积，即（立方厘米）；因此等底等高的圆锥体的体积是圆柱体体积的，因此圆柱的体积为（立方厘米），它们的体积相差（立方厘米），解决问题．
【解答】解：总体积：
（立方厘米），
圆柱的体积：
，
，
，
（立方厘米）；
，
，
（立方厘米）．
答：圆柱的体积是36立方厘米，它们的体积相差24立方厘米．
7．【答案】转化思想，小数乘小数的计算方法。
【分析】①求多边形的内角和，将其分割、转化成三角形再求内角和即可，用到了转化思想；
②推导平行四边形的面积公式时，将其转化成长方形，再根据长方形的面积进行推导即可，用到了转化的思想；
③推导圆柱的体积公式时，将其转化成长方体，再根据长方体的体积计算方法进行推导即可，用到了转化的思想。
④例如：小数乘小数的计算方法。
【解答】解：根据分析可知，3幅图运用了数学思想方法是转化思想。
例如：小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，用到了转化的思想。
故答案为：转化思想，小数乘小数的计算方法。
8．【分析】由题意知，圆柱形钢锭铸成圆锥形钢锭，它们只有高度发生了变化，体积和底面积没有变，可利用体积相等的字母公式求得高的比即可；也可先求出体积，再求出圆锥的高，最后求它们的比．
【解答】解：设圆柱和圆锥的底面积都为，由体积相等的关系得：
，
；
或：，
，
（厘米）；
；
故答案为．
9．【分析】因为这个图形的面积最大，所以和边应最小，设边为6米，则边为8米，根据图形，其他的边长分别为米，米，米，米．然后求出图形的面积，画出点，求出最短路线．
【解答】解：如图
由以上分析可知各边长，那么这个图形的面积是：
，
，
（平方米）；
通过计算，过点画一条直线把图形分成面积相等的两部分，点应距离点4米．
因此，从点沿边界走到点，较短的路线是：
（米；
答：从点沿边界走到点，较短的路线是40米．
故答案为：40．
【点评】此题确定出各边的长度是解答的关键，同时要掌握组合图形的面积计算．
10．【分析】如图所示，将图的左半部分绕着两个扇形的交点逆时针旋转后，阴影部分的面积就等于半径为的半圆的面积减去直角边为的等腰直角三角形面积，利用三角形和圆的面积公式即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积为：
，
，
，
．答：阴影部分的面积是107平方厘米．故答案为：107平方厘米．
11．【分析】根据题意可知：每级台阶的上面是长方形，长10米，宽0.8米，高0.5米；台阶的表面积包括每级台阶的上面，而且还包括每级台阶的前面．因此先求一级台阶的面积，再乘台阶总数量即可．
【解答】解：
（级
（平方米）答：台阶的表面积1092平方米．故答案为：1092．
12．【解答】解：设长为 宽，体积为，
所以得出 选大的体积最大．
所以一张长方形铁皮长32厘米，宽10厘米，把它围成一个圆柱体，（长方形的长）做底面周长，（陈冠希的宽）做高，所围成的圆柱体的体积最大．
长方形围圆柱体有两种围法，但所围成的圆柱体（侧面积）没变．故答案为：长方形的长，长方形的宽，侧面积．
13．【答案】50。
【分析】连接，阴影部分面积三角形面积三角形面积三角形面积；三角形的底厘米，高厘米；三角形的底厘米，高厘米；三角形底厘米，高厘米。
【解答】解：连接，阴影部分面积三角形面积三角形面积三角形面积。
（平方厘米）
故答案为：50。
【点评】本题有多种方法，本解法运用拆分的方法，把阴影分部拆分成几个部分
14．【分析】根据题意，按下图所示先分割，再拼补，所以原正方形的边长为（厘米）．所以原正方形的面积为（平方厘米），剩下部分面积为（平方厘米）．
【解答】解：原正方形的边长为：
（厘米）
原正方形的面积为：（平方厘米）
剩下部分面积为（平方厘米）
答：原来正方形玻璃的面积是 1936平方厘米，剩下部分的面积是 1638平方厘米．
故答案为：1936，1638．
三．解答题
15．【分析】此题通过旋转的方法，把三角形以点为中心顺时针旋转90度，得到如图形：
【解答】解：将三角形以点为中心顺时针旋转90度，如图，四边形的面积与新得到的正方形相等，所以面积为：
（平方厘米）．答：四边形的面积是100平方厘米．
16．【答案】东东的想法是正确的。
原因如下：点分成底在边上的两个三角形，如题目中的图1、图2，它们的高相等，两个底的和是。
根据三角形的面积底高可知阴影部分两个三角形的面积和三角形的面积。
所以无论落在何处，面积都是。
【分析】三角形的面积底高，点如果不是、两点，那么点分成底在边上的两个三角形，它们的高相等，两个底的和是，所以这两个三角形的面积和就是以为底，以梯形的高为高的三角形的面积，由此判断。
【解答】解：东东的想法是正确的。
原因如下：点分成底在边上的两个三角形，如题目中的图1、图2，它们的高相等，两个底的和是。
根据三角形的面积底高可知：阴影部分两个三角形的面积和三角形的面积。
所以无论落在何处，面积都是。
17．【分析】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等；正方体的表面积棱长棱长，正方体的体积棱长棱长棱长；已知三个正方体的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米、294平方厘米，先分别求出三个正方体的棱长，把它们熔铸成一个大的正方体铁块，体积不变，由此再求三个正方体的体积之和即可．
【解答】解：（平方厘米），因为，所以棱长是2厘米；
（平方厘米），因为：，所以：棱长是3厘米；
（平方厘米），因为：，所以：棱长是7厘米；
大正方体体积：，
，
（立方厘米）答：这个大正方体的体积是378立方厘米．
18．【分析】通过观察与分析，②的底边是，③的底边是，④的底边是，依此类推，即可求出结果．
【解答】解：①的底边是，
②的底边是，
③的底边是，
④的底边是，
⑤的底边是，
⑥的底边是．
答：从第⑥号边开始长度将变到以下，长度是．
【点评】解答此题的关键是认真观察，找出问题的规律，据此解答．
19．【分析】分别求出长、宽、高里面各有多少个1厘米，然后相乘，就是可以锯成小正方体的个数；先根据正方体的表面积公式求出一个正方体的面积，再乘上正方体的个数，就是正方体的表面积之和．
【解答】解：（个；
（个；
（个；
（个；
，
，
（平方厘米）；
答：一共能锯240个，这些小正方体表面积和是1440平方厘米．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题干分析可得，黄色直角三角形和红色直角三角形是相似三角形，（三个角分别相等的三角形是相似三角形），将红三角形绕点旋转，一直角边与黄三角形直角边重合，就组成了一个新直角三角形，如图所示：红黄三角形的面积之和就是一个大三角形的面积了．
【解答】解：根据题干分析可得：
（平方厘米），
答：这两个直角三角形的面积和是246.5平方厘米．
故答案为：246.5平方厘米．
【点评】此题关键是将红色三角形旋转与黄色三角形组成一个新直角三角形，从而利用三角形面积公式进行计算．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】在解答这道题时，可将整个图形补成一个长方形，如图．根据③是6平方厘米，④是4平方厘米，可知③、④面积之比是，根据③、④面积之比是，可知①、②面积之比是，根据②的面积是12平方厘米、①、②面积之比是，可知①的面积是18平方厘米，而三角形的面积是①的一半，可知三角形的面积是9平方厘米．
【解答】解：如图，设三角形面积为平方厘米，
则
答：三角形面积是9平方厘米．
22．【分析】把楼梯展开，就是一个长方形，宽为2米，长为米，求地毯的面积就是求长为米，宽为2米，长方形的面积．
【解答】解：
（平方米），答：至少需要11.4平方米的地毯．
23．【分析】将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，但拼成的长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，都是5厘米，宽都和圆柱的底面半径相等；已知表面积增加了20平方厘米，就可求出底面半径是多少厘米，进而再求出圆柱的体积即可．
【解答】解：底面半径：（厘米）；
圆柱体积：（立方厘米）；答：圆柱的体积是62.8立方厘米．
24．【分析】容器和半径分别为6厘米和8厘米，从而可以分别求得它们的底面积．设容器的高为厘米，则容器中的水深就是厘米，根据等量关系：水的体积前后没有改变，利用圆柱的体积公式即可列出方程解决问题．
【解答】解：设容器的高度为厘米，则容器中的水深就是厘米．由题意得：
，
，
，
，
，
．
所以容器的高是16厘米；
因为容器、的高度相等，所以容器的高度也是16厘米．答：、两个容器的高都是16厘米．
25．【解答】解：
（立方分米）
（分米）答：高是1.2分米．
26．【分析】根据题意知道56平方厘米是指圆柱的4个底面的面积，由此即可求出一个底面的面积，再根据“圆柱形钢材按截成三段”，得出最长的一段占总长的，最短的一段占总长的，进而求出最长的一段与最短的一段的长度，再据最长的一段与最短的一段的长度即可求出最长的一段与最短的一段的体积，进而相减即可得解．
【解答】解：圆柱底面积：（平方厘米）；
最长的一段的高：（米；
最短的一段的高：（米；
最长的一段比最短的一段体积多：0.6米厘米
0.2米厘米
（立方厘米）
答：这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多560立方厘米，即等于560立方厘米．
27．【解答】解：（1）所扫过的图形的面积：
所扫过的图形的面积：
答：所扫过的图形的面积是；所扫过的图形的面积是．
（2）如图：为了便于观察，在格子图中画阴影部分；
黄色阴影部分即为旋转过程中线段所扫过的图形，
线段所扫过的图形如图所示．
根据网格图知：，，，
阴影部分的面积等于扇形与的面积和减去扇形与△，
故阴影部分的面积等于扇形减去扇形的面积，两个扇形的圆心都是90度．
段所扫过的图形的面积：．
答：旋转过程中线段所扫过的图形的面积（阴影部分的面积）是．
28．【分析】长方体表面积比原来圆柱表面积增加20平方厘米，20平方厘米实际上是长方体的左右两个侧面的面积，沿直径把圆柱切开拼成一个体积相等的长方体后，这个长方体的长是圆柱的底面周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高；用这个长方体的一个侧面面积乘这个长方体的长就可以求出它的体积．
【解答】解：（平方厘米），
（厘米），
（立方厘米）；
答：这个长方体的体积是62.8立方厘米．
【点评】本题是考查图形的切拼问题．解答此题的关键是理解拼成的长方体的长是圆柱的底面周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高．
29．【分析】甲处比乙处高出50厘米，根据长方体的体积公式体积长宽高，求出高出的部分的体积，然后再求出这些体积甲乙总面积上能覆盖的高度，最后用50厘米减这个数，即可得解．
【解答】解：50厘米米，
甲高出部分的体积：（立方米），
平铺在甲乙总地面上的高度：（米，
0.5米米米厘米，
答：要把这块地推平整，要从甲处取下20厘米厚的土填在乙处上．
【点评】此题主要是利用等积变形，甲高出部分体积和覆盖甲乙的体积相等，列出等式，即可得解．
30．【分析】首先根据长方体的体积公式，求出长是60米、宽是30米，高是50厘米的长方体的体积是多少；然后用它除以，求出这块地推平整后比原来乙高多少；最后用原来甲地比乙地高的距离减去这块地推平整后比原来乙高的距离，求出要从甲地推下多少厘米厚的土填在乙地上即可．
【解答】解：50厘米米，
（米
（厘米）
答：要从甲地推下20厘米厚的土填在乙地上．
【点评】此题主要考查了等积变形问题，解答此题的关键是熟练掌握长方体的体积的求法．小东是这样想的：为边上任意一点，不妨让点落在点处（如图3所示），这样阴影部分就是三角形，面积是。当点落在其它位置时，虽然阴影部分的形状不同，但面积应该是不会变的，仍是。