广东省惠州市光正实验学校2025届高三（下）质检数学试卷（含答案）

这是一份广东省惠州市光正实验学校2025届高三（下）质检数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列不等式中成立的是( )
A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若a>b>0，则a2>b2
C. 若aa>bD. b>a>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数y=x−1x的说法正确的是( )
A. 定义域为x∈R|x≠0B. 值域为R
C. 在定义域上为增函数D. 奇函数
10.下列说法正确的是( )
A. 实数x，y满足：x+y+y−1i=2x+3y+2y+1i，则x=4且y=−2
B. 复平面内z=m2−8m+15+m2−5m−14im∈R的对应点位于直线y=x上，则m=293
C. 在复数范围内，方程x2+4x+5=0的解是x=−2+i
D. 在复平面内指出与复数z1=1+2i，z2= 2+ 3i，z3= 3− 2i，z4=−2+i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，则这4个点在同一个圆上
11.当实数m变化时，关于x的方程m−1x2+3−my2=m−13−m表示的曲线的形状可能是( )
A. 一条直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知sin7π2+α=35，那么csα= ．
13.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4.由此可估计这批袋装食盐的合格率为 .【参考数据：Pμ−σ≤x≤μ+σ=0.6827；Pμ−2σ≤x≤μ+2σ=0.9545；Pμ−3σ≤x≤μ+3σ=0.9973】
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列an满足：a1=m(m为正整数)，an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时．
(1)当m=17时，试确定使得an=1需要多少步雹程；
(2)若a8=1，求m所有可能的取值集合M．
15.(本小题12分)
已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=3n−1，令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PA//平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
17.(本小题12分)
有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率．
18.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0,c)，△EFA的面积为b22．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段AE上，FQ=32c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM//QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
(i)求直线FP的斜率；
(ii)求椭圆的方程．
19.(本小题12分)
已知函数fx=ae2x+a−2ex−x．
(1)当a=2时，求f(x)在x=0处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8.B
9.ABD
10.ABD
11.ABC
12.−35/−0.6
%/0.9545
14.当m=17时，即根据上述运算法得出：
17→52→26→13→40→20→10
→5→16→8→4→2→1
故当m=17时，使得an=1需要12步雹程；
(2)若a8=1，根据上述运算法进行逆推，
a7=2,a6=4,a5=8或a5=1；
若a5=8，则a4=16,a3=32或a3=5；
当a3=32时，a2=64,a1=128或a1=21；
若a3=5时，a2=10,a1=20或a1=3；
当a5=1，则a4=2,a3=4,a2=8或a2=1；
当a2=8时，a1=16；
当a2=1时，a1=2，
故a8=1,m所有可能的取值集合M=2,3,16,20,21,128．

15.(1)设等差数列an的公差为d，
由a2n=2an+1，可得a1+2n−1d=2a1+2n−1d+1，可得a1−d+1=0①，
由S4=4S2可得4a1+3×4d2=42a1+2×12d，整理可得2a1=d②，
联立①②可得a1=1，d=2，所以，an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1．
(2)因为bn=3n−1，则cn=anbn=2n−1⋅3n−1，
所以，Tn=1⋅30+3⋅31+5⋅32+⋯+2n−1⋅3n−1，
3Tn=1⋅31+3⋅32+⋯+2n−3⋅3n−1+2n−1⋅3n，
上式−下式得−2Tn=1+2×31+32+⋯+3n−1−2n−1⋅3n
=1+61−3n−11−3−2n−1⋅3n=−2+2−2n⋅3n，
因此，Tn=n−1⋅3n+1．

16.(1)在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD,DC⊂底面ABCD，
则PD⊥AD,PD⊥DC，由底面ABCD是正方形，得AD⊥DC，
以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
设DC=2，则A2,0,0,B2,2,0,P0,0,2,E0,1,1，
PA=2,0,−2,DB=2,2,0,DE=0,1,1，设平面EDB的法向量为m=x1,y1,z1，
则DB⋅m=2x1+2y1=0DE⋅m=y1+z1=0，令y1=−1，得m=1,−1,1，则PA⋅m=2−2=0，
而PA⊄平面EDB，所以PA//平面EDB．
(2)由(1)知，PB=2,2,−2，由PB⋅DE=0+2−2=0，得PB⊥ED，
又EF⊥PB，且EF∩DE=E,EF,ED⊂平面EFD，
所以PB⊥平面EFD．
(3)由(1)知，C0,2,0，且CB=2,0,0,PC=0,2,−2，
设平面CPB的法向量为n=x2,y2,z2，则CB⋅n=2x2=0PC⋅n=2y2−2z2=0，取y2=1，得n=0,1,1，
DB=(2,2,0),DP=(0,0,2)，而CA=2,−2,0，则DB⋅CA=2×2−2×2=0,DP⋅CA=0，
即DB⊥CA,DP⊥CA，则PBD的一个法向量为CA=2,−2,0，
因此cs⟨n,CA⟩=n⋅CA|n||CA|=−2 2⋅2 2=−12，而0≤⟨n,CA⟩≤π，则⟨n,CA⟩=2π3，
所以平面CPB与平面PBD的夹角为π3．

17.设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，则Ω=A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得
P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，
P(B|A1)=0.06，P(B|A2)=P(B|A3)=0.05．
(1)由全概率公式，得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05
=0.0525．
(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．
P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)P(B)
=0.25×．
类似地，可得
P(A2|B)=27，P(A3|B)=37．
【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率，解题关键是引入字母表示事件，B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，把所求概率事件用B,Ai表示后根据条件概率公式计算．

18.(Ⅰ)设椭圆的离心率为e.由已知，可得12c+ac=b22.又由b2=a2−c2，可得2c2+ac−a2=0，即2e2+e−1=0.又因为00，得c=2．
所以，椭圆的方程为x216+y212=1．

19.(1)当a=2时，函数fx=2e2x−x，f0=2，
则f′x=4e2x−1，则f′0=4−1=3，
所以f(x)在x=0处的切线方程为y=3x+2．
(2)由题意知，f(x)的定义域为R，
f′x=2ae2x+a−2ex−1=2ex+1aex−1，显然2ex+1>0恒成立，
①若a≤0，则f′x0，令f′x=0，解得x=−lna．
当x∈−∞,−lna时，f′x0；
所以fx在−∞,−lna上单调递减，在−lna,+∞上单调递增．
综上，当a≤0时，fx在R上单调递减；
当a>0时，fx在−∞,−lna上单调递减，在−lna,+∞上单调递增．
(3)若a≤0，由(2)知，fx至多有一个零点；
若a>0，由(2)知，当x=−lna时，fx取得最小值为f−lna=1−1a+lna．
设gx=1−1x+lnx，则g′x=1x2+1x=x+1x2>0，
故gx=1−1x+lnx在0,+∞上单调递增，又g1=0．
(i)当a∈1,+∞时，f−lna=1−1a+lna≥0，故此时fx没有两个零点；
(ii)当a∈0,1时，f−lna=1−1a+lna−2e−2+2>0，
故fx在−∞,−lna上有一个零点；
当x>ln3a，由ex>eln3a可得ex>3a即aex>3，得aex−3>0，则aex+a−3>0，
故exaex+a−3>0，即ae2x+aex−3ex>0，又易知ex>x,
则ae2x+aex−3ex+ex−x>0，即ae2x+a−2ex−x>0,
因此fx在−lna,+∞上也有一个零点．
综上，若fx有两个零点，实数a的取值范围为0,1．