广东省惠州市光正实验学校2025届高三2月月考数学试卷【含答案】

这是一份广东省惠州市光正实验学校2025届高三2月月考数学试卷【含答案】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．下列命题中是假命题的是（ ）
A．已知总体分为两层：其平均数分别为，；两层的个体数分别为，，则总体的平均数为；
B．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是1.76米
C．某人打靶时连续射击两次，与事件“至少一次中靶”互为对立的是“两次都中靶”
D．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为相互独立
3．在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
4．在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
7．在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．在定义域上为增函数D．奇函数
10．下列说法正确的是（ ）
A．实数，满足：，则且
B．复平面内的对应点位于直线上，则
C．在复数范围内，方程的解是
D．在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，，则这4个点在同一个圆上
11．当实数变化时，关于的方程表示的曲线的形状可能是（ ）
A．一条直线B．圆C．双曲线D．抛物线
三、填空题（本大题共2小题）
12．已知，那么 ．
13．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为 ．【参考数据：；；】
四、解答题（本大题共6小题）
14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．
（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．
15．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小．
17．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
18．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.
（i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
19．已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】取特殊值，可知A错误；利用作差法即可判断比较出选项BCD的大小，得出结论.
【详解】对于A，若，则错误，如时，，所以A错误；
对于B，若，则，所以B正确；
对于C，若，则，所以C错误；
对于D，若，则，所以D错误.
故选B.
2．【答案】C
【详解】解：对于A，由题意可知总体平均数为：，故正确；
对于B，将这6个数据从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80.
所以这组数据的平均数为：，故正确；
对于C，由题意可得“至少一次中靶”的对立事件为”没有一次中靶”，故错误；
对于D，由题意可得“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点” 相互独立，故正确.
故选C.
3．【答案】C
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由余弦定理可知，
，
，
AD平分且与BC相交于点D，是等腰三角形，
是中点，，
由图可知向量在上的投影向量为

，
.
故选B.
5．【答案】D
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为
对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确；
对于②：当时，，故②正确；
对于③：第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加，故③错误；
对于④：由题，所以，所以，故④正确；
故选C.
7．【答案】A
【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，
轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：

则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确；
对B：的最小正周期为，故B错误；
对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误；
对D：的最小正周期为，故D错误.
故选A.
8．【答案】B
【详解】由题意得在R上单调递增，
在上单调递增，
又，，故，
，，故，
，故，
故.
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】
定义域为，值域为，A，B正确；
，且，
则
，
，，，
，即．
在上为增函数．
同理，在上为增函数，但此函数不是定义域上的增函数，
故C错误．
设，，
．
是奇函数，所以D正确．
故选ABD.
10．【答案】ABD
【详解】对于选项A：因为，
则，解得，故A正确；
对于选项B：因为复数的对应点为，
要使点在直线上，
则，解得，故B正确；
对于选项C：因为，即，
可得，即
所以方程的解为，故C错误；
对于选项D：在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为，，，，
可得，
所以，，，，这4个点在原点为圆心，为半径的圆上，故D正确；
故选ABD.
11．【答案】ABC
【详解】当时，表示轴；当时，表示轴；所以A正确；
时，方程表示以原点为圆心的单位圆，所以B正确；
或时，方程表示双曲线，所以C正确；
且时，方程表示椭圆，故D错误．
故选ABC.
12．【答案】/
【详解】因为，
，所以．
13．【答案】95.45%/0.9545
【详解】由题意可知，可设误差为，则服从正态分布，
，
故合格率约为95.45%．
14．【答案】（1）12；（2）.
【详解】当时，即根据上述运算法得出：
故当时，使得需要12步雹程；
（2）若， 根据上述运算法进行逆推，
或；
若，则或；
当时，或；
若时，或；
当，则或；
当时，；
当时，，
故所有可能的取值集合．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
（2）因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
（2）由（1）知，，由，得，
又，且平面，
所以平面.
（3）由（1）知，，且，
设平面的法向量为，则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，而，则，
所以平面与平面的夹角为.
17．【答案】（1）0.05；
（2）；；.
【分析】（1）由条件概率公式计算；
（2）由条件概率公式计算.
【详解】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得
P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，
P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
（1）由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.
P(A1|B)＝＝
＝＝，
类似地，可得
P(A2|B)＝，P(A3|B)＝.
18．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）（ⅰ）.（ii）.
【详解】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.
所以，椭圆的离心率为.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.
由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，
即，与直线FP的方程联立，
可解得，即点Q的坐标为.
由已知|FQ|=，有，
整理得，所以，即直线FP的斜率为.
（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为.
由（i）得直线FP的方程为，
与椭圆方程联立消去，
整理得，解得（舍去）
或.因此可得点，进而可得，所以.
由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，
故直线和都垂直于直线.
因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.
所以，椭圆的方程为.
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，函数，，
则，则，
所以在处的切线方程为.
（2）由题意知，的定义域为，
，显然恒成立，
①若，则，此时在上单调递减；
②若，令，解得.
当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）若，由（2）知，至多有一个零点；
若，由（2）知，当时，取得最小值为.
设，则，
故在上单调递增，又.
（i）当时，，故此时没有两个零点；
（ii）当时，，
又，
故在上有一个零点；
当，由可得即，得，则，
故，即，又易知
则，即
因此在上也有一个零点.
综上，若有两个零点，实数的取值范围为.